八方聯系智慧現渾然一體高效生

☉安徽省靈璧第一中學 鄭良

八方聯系智慧現渾然一體高效生

☉安徽省靈璧第一中學 鄭良

一、問題提出

社會一方面要求教育必須減輕學生負擔，另一方面對人才能力的需求越來越高.如何解決這對矛盾，唯有提高課堂教學效率.“教學效率需從兩個維度來認識：在學生的時間投入方面，指能夠充分利用實踐，全身心、主動地參與數學學習；在數學結果方面，指多方面學習效果——認知成績、理性精神、效率意識、良好的認知結構和數學學習能力.教學效率是相對概念，同樣的學習結果，學習時間較少，則教學效率高.同樣的學習時間，學習的效果好而且多樣，則教學效率高.”［1］反觀我們的課堂，師傳生受的教學現狀使課堂發(fā)展是線性的、波瀾不驚的.這種對知識、思想方法的“填鴨”式灌輸的教學，學生沒能切身體驗到思維歷程和感悟到認知沖突的歷練，從而導致“懂而不會”現象的不斷產生.“探索是數學教學的生命線”（布魯納語），探索是一個曲折的過程，是失敗與成功交融的辯證統(tǒng)一過程，是師生之間的互動過程.追溯成因、探尋解決方案具有重要的現實意義.基于上述分析與思考，筆者選取了如下問題進行探究：

二、情境再現

限于篇幅，下面的所有討論都只對a≠0展開.為真實呈現教學情境，現以師生對話形式再現課堂實錄.

師：對于本題的條件和結論，你有哪些想法？（學生思考后）

生1：對任意不同時為零的實數a，b，f（x）=0至少有一個根在（-1，0）內.設f（x）=0的兩個根分別為x1，x2，且x1＜x2，通過x1∈（-1，0），x2∈（-1，0）分別找出a與b的關系

生2：思路可取，過程繁雜.

師：生1的想法非常自然、接地氣.樸素的解法過程如何呢？絕知此事要躬行.（展示生1的解題過程）

證法1：當a≠0時，則有f（x）=a（3x2+2tx+t-1）.記h（x）= 3x2+2tx+t-1，其Δ=4（t2-3t+3）＞0，設h（x）（f（x））的兩個零

由-1＜x1＜0

①當t≤0時，平方得t2＜t2-3t+3＜t2-6t+9，解得t＜1，則t≤0；

③當t＞3時，不等式無解.

綜上所述，由x1∈（-1，0）得t∈（-∞，2）.

同理，由x2∈（-1，0）得t∈（1，+∞）.因此，當t∈（-∞，1］∪［2，+∞）或t∈（1，2）時，函數h（x）在（-1，0）內分別有1個，2個實數根，即函數y=（fx）在（-1，0）內至少有一個零點.

圖1

生2：生1的處理比較“精細化”，結論中“至少”提示我們可用并集概念“模糊化”進行整體考量，即（-∞，2）∪（1，+∞）=R.生1從數的角度對不等式進行求解，導致只見樹木不見森林，需要分類討論；若能利用形的整體與直觀，運算具有針對性，可提高解題效率.

（師生共同完善生2的解題過程）

生3：結論中“至少有一個零點”中的“至少”提示我們可以嘗試用反證法來證明.

①當x1≥0時，x1x2≥0，x1+x2≥0，故s＞2，與s=0矛盾；

②當x2≤-1時，s=3（x1+1）（x2+1）+3x1x2-1＞2，與s=0矛盾；

③當x1≤-1，x2≥0時，s=3（2x1+1）x2+3x1+2＜0，與s=0矛盾.

綜上所述，假設不成立，即原命題成立.

師：（追問生3，針對如此變形的思維過程，少數學生可能會遺漏③）反設的結果是原結論的反面（補集），必須一一駁斥，能根據具體數式等進行合理變形，導出矛盾是證明的關鍵.

生4：“閉區(qū)間上連續(xù)函數零點定理”是判定“連續(xù)函數y=f（x）在區(qū)間（a，b）內至少有一個零點”的充分不必要條件.欲使函數y=f（x）在區(qū)間（a，b）內至少有一個零點，可轉化為函數y=f（x）在（a，b）的子區(qū)間（c，d）內至少有一個零點.利用二次函數的（最值）性質，可嘗試用區(qū)間的中點與端點的函數值（二分法）進行判斷.綜上所述，函數y=（fx）在（-1，0）內至少有一個零點.生5：生4將f（-1）（f0）巧妙變形，合理分解，只需判2斷的取值范圍，當然還可以將其細化.二次函數的最值只能在端點處或頂點處取得，利用端點和頂點對應的函數值的關系是解題的方向，更能反映問題的本質.

①若t＞2或t＜1時，（f-1）（f0）=-a（2t-2）（t-1）＜0，則函數y=（fx）在（-1，0）內至少有一個零點.

②若t=1時，（fx）=ax（3x+2）的零點分別為-2，0，符3合題意；若t=2時，（fx）=a（3x+1）（x+1）的零點分別為，-1，符合題意.

③若1＜t＜2時，（f-1）（f0）＞0，（fx）的對稱軸所以（fx）在（-1，0）內至少有一個零點.

綜上所述，函數y=（fx）在（-1，0）內至少有一個零點.

師：生5將問題進行分解，對f（-1）f（0）＞0，能結合函數的對稱性、最值，準確定位，合理解剖.下面我們共同探究參考答案的思維歷程.

生6：本題轉化為函數y=f（x）在（-1，0）的子區(qū)間內至少有一個零點.可用待定系數法得到問題的通解，賦值法體現了特殊與一般的邏輯關系.

探究目標：設m，n∈［-1，0］，且m≠n，使得f（m）f（n）＜0.

師：精彩！賦值是操作，是邏輯推理的顯性化.根據題意如何取值往往涉及解方程（組）等.例如，f（x）在（-1，0）內至少有一個零點，必存在一個數，其函數值（-1，0）.

當a≠0，b≠0時，記a=（0，a），b=（b，0），則向量m，n的“故事”，才能做到知其然并知其所以然.

生7：由上面方程組，聯想到共線（反向）向量，可得如下證法.

證法6：當a≠0，b=0時，f（x）=3ax2-a的零在基底｛a，b｝下的坐標分別為m=（2m+1，3m2-1），n=（2n+ 1，3n2-1），由題意知m，n共線（反向）.

師：生7由方程組的結構特征，聯想到向量，（通過坐標變換）從圖形的角度給出解釋.

生8：本題的命題背景為高等數學的羅爾中值定理（若函數F（x）滿足如下條件：①F（x）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；②F（x）在開區(qū)間（a，b）內可導；③F（a）=F（b）.則在（a，b）內至少存在一點ξ，使得F′（ξ）=0）.

證法7：設F（x）=ax3+bx2+（b-a）x，則F′（x）=f（x）=3ax2+ 2bx+b-a.又函數F（x）在閉區(qū)間［-1，0］上連續(xù)，在開區(qū)間（-1，0）內可導，且F（-1）=F（0）=0，由羅爾中值定理可知，至少存在一個實數ξ，使得F′（ξ）=0，即y=f（x）在（-1，0）內至少有一個零點.

三、教學感悟

1.高效課堂應強調先進理念的引領

在界定“高效課堂”時，我們需要不斷地返回到時代精神之中，用新的理念、新的觀點去詮釋課堂，追求的應該是一個動態(tài)的、發(fā)展的過程.如給每個學生話語權，對話是思維交流的重要方式.案例中生1想法樸實，過程稍顯煩瑣，引來學生笑聲，教師不為了進度而剝奪其話語權，取而代之與學生一起聆聽其思維發(fā)生、發(fā)展、完善的過程，生2準確理解并能靈活運用并集概念，對數形結合思想認識深刻，生3變形巧妙說明其對目標與方向把握精準.通過“擠”出學生想法，深入理解學生，以學定教.教師要信賴學生，敢于放手，嘗試通過教師的“無為”促使學生的“有為”，如每個學生均給出不同的證法，課堂上群策群力，還給出其他證法，例如，利用平均值原理0等.同時要善于向學生（教育服務對象）學習，在做好學生學習幫助者的同時堅信每位學生不僅能幫助自己完成教學任務，還能幫助自己提高教學水平.又如，教學評價的目的不是為了證明（互動），而是為了改進.評價的根本目的是反饋交流，促進師生反思、改進，促使其完善、發(fā)展，從而保證課程目標的實現.

2.高效課堂應關注課堂系統(tǒng)的優(yōu)化

研究高效課堂，其目的不是去構建一個普適性的、通用型的教學模式，而是引導教師結合具體的教學情境選擇和創(chuàng)新最優(yōu)化的教學設計.例如，盡可能站在學科系統(tǒng)的高度，著眼于知識之間的聯系和規(guī)律，著重于哲理觀點的升華；選取典型的問題，不斷變式，進行一題多解，多解歸一，多題歸一，使學生能自覺地運用聯系的視角看待問題，透徹地理解分析問題，高端的觀點處理問題，例如，案例中教師穿針引線，引領學生鞏固知識、感悟思想方法、澄清認識，能從局部和整體分析與解答問題，切實提升學生的智慧.烏申斯基說得好：“智慧不是別的，只是組織得很好的知識體系.”當學生的頭腦“強大”了，在問題面前“運籌帷幄”、“縱橫捭闔”，難題自然“無處遁形”、“落花流水”了.

3.高效課堂應聚焦教學行為的轉變

美國當代管理理論大師阿吉里斯曾使用“使用理論”和“信奉理論”兩個不同的概念來區(qū)分人們的“行為”與“認識”之間的差距.即人們口頭上陳述的往往是自己的“信奉理論”，而事實上指導他們行動的卻是“使用理論”.很多教師對轉變教與學方式表示認同，但真實的課堂卻依然如故.這就啟發(fā)我們高效課堂的研究不能局限于觀念的認識，而應該外化為教學的行為.當前教學中，很多教師能向學生交待思維過程，期待學生從看到的過程中領悟問題本質，少數教師只對答案進行告知，缺乏正確的解讀.清末數學家華衡芳主張暴露思維過程，“一切算法無不坦白示人”，一切解法“不求簡奧，不避粗俗，惟使人易明而已”.不避粗俗，是指解題過程中不可避免的彎路；不求簡奧，是指簡奧來自于掙脫困境的反思，否則，學生只能陶醉在“簡奧”之美而受益甚微.“當時，希爾伯特（Hilbert）選聽富克斯（Fuchs）的課.他的課確實與眾不同，給人的印象至深.課前，他不大做準備，因為他習慣于在課上把自己置于險境：對要講的內容，現想現推.正如他的一個學生后來寫的那樣，學生因此而‘得到了一個機會，瞧一瞧最高超的數學思維的實際過程’.”［2］這種教師（原生態(tài)）的真實思維過程，使學生終身受益.教師要躬親示范，促使學生從模仿到自覺領悟.

4.高效課堂應源于三個理解能力的落實

魏書生老師曾說過：“學生的能力是學出來的，不是教師教出來的.”但學生是向教師學習的，教的方式決定著學的方式，教的深刻，學的透徹，教有深度，學有高度.教師的高度決定學生的高度，教師“三個理解”的水平決定著教學的水平.［3］任何教師都想讓自己的學生更出色，但教師的水平成為左右學生發(fā)展的瓶頸.“以己昏昏，豈能使人昭昭.”沒有對數學、教學、學生等準確的理解，理念、行為猶如無源之水，高效課堂乃是空中樓閣.教師要終身學習，不斷研究，積累高效課堂的前提與基礎.如生8給出的羅爾定理就是筆者分層教學指導的結果.如教師對高等數學的理解程度決定著教學的高度、深度與廣度，如羅爾定理的幾何意義、閉區(qū)間套定理的極限逼近思想、洛比達法則等.數學教育學家張奠宙先生說：“在日常的中學數學教學中，能夠用高等數學的思想、觀點、方法去解釋和理解中學數學問題的例子很多，重要的是，作為一名數學教師應該具有這樣的思維意識.”

盡管教學理念得以發(fā)芽生根，局部探究得以實現.但必須提及的是，案例問題的初步思考是在課下進行的，課堂探究方式方法也不成熟，課堂優(yōu)質高效尚未完全落實.教學是科學，也是藝術.教學技能反映著教學作為科學的一面，而教學智慧則展現著教學作為藝術的一面.因此，高效的課堂既需要教師專業(yè)化的行動策略，也需要教師個性化的教育智慧.

本文的撰寫，得到天津師范大學津沽學院劉偉老師、江蘇省睢寧縣古邳中學苗勇老師的幫助，筆者在此表示衷心的感謝！

1.王光明．重視數學教學效率提高數學教學質量——“數學教學效率論”課題簡介［J］．數學教育學報，2005（8）.

2.【美】康斯坦絲·瑞德（ConstanceReid），著．希爾伯特——數學世界的亞歷山大［M］．袁向東，李文林，譯．上海：上?？茖W技術出版社，2006．

3．渠東劍.三談啟發(fā)思維重于誘導結果［J］.中學數學教學參考（上），2015（4）.

5.蘇鴻，主編.高效課堂［M］.上海：華東師范大學出版社，2013.

6.孫維剛.如何讓學生聰明起來［J］.中小學管理，1999（10）.

7.王鋒，鄭良.關于數學“一題多解”教學的辯證思考［J］.中學數學（上），2015（1）.F