一種對稱損失函數(shù)下幾何分布參數(shù)的Bayes 估計①

徐瑞標

(武夷學院人文與教師教育學院，福建 武夷山354300)

0 引 言

在參數(shù)估計問題中，參數(shù)估計及其優(yōu)良性一直是非常重要的研究課題.近年來用Bayes 方法取得了一些進展，自文獻［1］中提出了多層先驗分布的想法以來，韓明博士在文獻［2］給出多層先驗分布的構造方法及應用，多層Bayes 方法在參數(shù)估計上取得了一些進展.本文則是研究在一種對稱損失函數(shù)下，幾何分布參數(shù)的Bayes 估計、多層Bayes 估計，并討論Bayes 估計的可容許性及置信下限等相關問題.

1 有關定義及引理

定義1［3］: 在伯努利試驗中，若p 為每次試驗成功的概率，如果進行了k+1 次試驗，則前次k成功且第k+1 次不成功(或失敗)的概率為:

其中，k=0，1，2，…0 ＜p ＜1，，稱隨機變量X 服從幾何分布，其中參數(shù)p 為幾何分布(1)的可靠度(或成功率).

定義2［4］: 設隨機變量X 服從密度函數(shù)為f(x|θ)的分布，其中θ 為參數(shù)，如果δ 是θ 的判決空間中的一個估計，則對稱損失函數(shù)為:

且L(θ，δ)關于參數(shù)θ 和估計量δ 是對稱的，L(θ，δ)關于δ 是嚴凸的，并在δ=θ 處取得唯一的最小值.

定義3［5］: 設隨機變量X 服從密度函數(shù)為f(x|θ)的分布，其中θ 為參數(shù)，參數(shù)δ 的先驗分布為π(θ|a，b)，超參數(shù)a，b 服從密度函數(shù)π(a，b)的分布，則θ 的多層先驗分布密度為:

θ 的多層后驗分布密度為:

那么在對稱損失函數(shù)(2)下，以π(θ)為先驗分布密度的θ 的Bayes 估計稱為多層Bayes 估計.

引理1［6］: 在對稱損失函數(shù)(2)下，對任何先驗分布π(θ)，θ 的Bayes 估計為:

并且如果δB(x)的Bayes 風險有限，則δB(x)是唯一的Bayes 估計.

引理2［7］: 在給定的Bayes決策問題中，假如對給定的先驗分布π(θ)，θ 的Bayes 估計是唯一的，則δB(x)是可容許估計.

2 定理及證明

定理1: 對幾何分布(1)，若p 的先驗分布為共軛分布Beta 分布，即

則在對稱損失函數(shù)(2)下幾何分布參數(shù)p 的Bayes 估計為:

證明: 因為參數(shù)p 的后驗分布由

所以由引理1 可得:

(證畢)

定理2: 對于幾何分布(1)，如果參數(shù)p 的先驗密度函數(shù)π(p|a，b)為Be(a，b)，超參數(shù)(a，b)服從密度為π(a，b)，(其中0 ＜b ＜1，1 ＜a ＜c，c 為常數(shù))，則在對稱損失函數(shù)(2)下參數(shù)p的多層Bayes 估計為:

證明: 因為參數(shù)p 的多層先驗密度函數(shù)為:

參數(shù)p 的多層后驗密度函數(shù)為:

所以在對稱損失函數(shù)(2)下，參數(shù)p 的多層Bayes 估計為:

(證畢)

定理3: 在對稱損失函數(shù)(2)下幾何分布參數(shù)p 的Bayes 估計

是可容許估計.

證明: 因為對稱損失函數(shù)

δ 關于是嚴格凸函數(shù)，則其Bayes 估計必是唯一的，由引理2 可得Bayes 估計δB(k 許估計.

(證畢)

定理4: 對于幾何分布(1)，給定參數(shù)p 的先驗分布Be(a，b)，在對稱損失函(2)下，參數(shù)p 的置信水平1－α 為的Bayes 置信下限θL滿足:

證明: 參數(shù)p 的置信水平為1－α 的Bayes 置信下限θL滿足

則

(證畢)

［1］ Lindley D V，Smith A F M.Bayes Estimate for the Linear Model［J］.Roy.Statist.Soc.(Ser B)，1972，34:1－41.

［2］ 韓明.多層先驗分布的構造及其應用［J］.運籌與管理，1997，6(3):31－40.

［3］ 韓明.二項分布可靠度的Bayes、多層Bayes 估計［J］.數(shù)理統(tǒng)計與應用概率，1996，11(3):232－239.

［3］ 復旦大學.概率論(第一冊)［M］.北京:人民教育出版社，1979.

［4］ 王忠強，王德軍.一種對稱損失函數(shù)下正態(tài)總體刻度參數(shù)估計［J］.應用數(shù)學學報，2004，27(2):310－323.

［5］ 韓明.二項分布可靠度的Bayes、多層Bayes 估計［J］.數(shù)理統(tǒng)計與應用概率，1996，11(3):232－239.

［6］ 韋師.幾種分布參數(shù)的E－Bayes 估計及其應用［D］.南寧:廣西師范學院，2010.

［7］ 茆詩松.高等數(shù)理統(tǒng)計［M］.北京:高等教育出版社，1998:367－372.