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    高斯Copula 的一點(diǎn)注記①

    2015-04-14 08:05:44甘勝進(jìn)游文杰涂開仁
    關(guān)鍵詞:福清高斯分布相依

    甘勝進(jìn),游文杰,涂開仁

    (1,2.福建師范大學(xué)福清分校電子與信息工程學(xué)院 福建 福清350300;3.福建師范大學(xué)福清分校經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,福建 福清350300)

    0 引 言

    p 維連續(xù)型隨機(jī)變量X=(X1,X2,…,Xp)T的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x1,x2,…,xp),邊緣分布函數(shù)分別為F1(x1),F(xiàn)2(x2),…,F(xiàn)p(xp),則有:

    其中諸Fi(Xi)~U[0,1],F(xiàn)i(xi)=ui,(u1,u2,…,up)∈[0,1]p.由此可見Copula 函數(shù)把聯(lián)合分布函數(shù)與其邊緣分布函數(shù)連接起來,是[0,1]上均勻分布隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù),能夠有效研究變量間相依性,其在經(jīng)濟(jì)金融、風(fēng)險管理等方面有著這廣泛的應(yīng)用.高斯Copula 函數(shù)是多元正態(tài)分布的Copula 形式,由于隨機(jī)變量的單調(diào)遞增變換不會改變其Copula 函數(shù)形式,故不妨設(shè)X ~Np(0,R),其中R(>0)為相關(guān)系數(shù)矩陣,φ(x),φ(x)分別表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)和密度函數(shù),則高斯Copula 函數(shù)為:

    其Copula 密度為:

    X 的聯(lián)合密度函數(shù):

    1 利用高斯Copula 函數(shù)研究二元正態(tài)變量之間的相關(guān)性

    為計(jì)算方便,不妨對二元高斯Copula 進(jìn)行探討,類似的方法可以推廣到多元,即

    1.1 尾相依系數(shù)

    稱p(X2≤x|X1≤x)為度量在隨機(jī)變量X1實(shí)現(xiàn)條件下X2實(shí)現(xiàn)的概率大小,當(dāng)x →-∞稱此時極限為極下尾相依系數(shù)(TDC),記λL為,為了便于利用Copula 函數(shù)計(jì)算,假設(shè)X1,X2具有相同的邊緣分布為F(x),則:

    性質(zhì)1:λL=0.證明:

    說明兩正態(tài)分布在尾部是漸進(jìn)獨(dú)立的.

    性質(zhì)2: 當(dāng)-1 ≤ρ1≤ρ2≤1,Cρ1(u,v)≤Cρ2(u,v),并且C-1(u,v)=max(u+v-1,0),C1(u,v)=min(u,v),進(jìn)而當(dāng)ρ ≥0,uv ≤Cρ(u,v)≤min(u,v).

    此性質(zhì)的證明需要用到以下引理:

    引 理[2]:(X1,X2,…,Xp)T, (X1′,X2′,…,Xp′)T分別服從Np(0,Σ),Np(0,Σ′)多元正態(tài)分布,若Σ ≥Σ′(≥表示對應(yīng)元素大小關(guān)系),則對于任意的實(shí)數(shù)t1,t2,…,tp,有

    下圖是使用R 軟件繪出u=v 時,C(u,u)對ρ=0.5,0,-0.5 圖像

    1.2 尾Copula 函數(shù).

    另外一種描述尾部相依特征的是尾相依Copula 函數(shù),下尾Copula 函數(shù)定義如下:

    其中

    圖1 Cρ(u,u)分別對ρ=0.5,0,-0.5 圖像

    類似地可以定義上尾Copula 函數(shù),在此不再贅述.當(dāng)u →0 時,稱)為極下尾Copula函數(shù),而這往往是諸多學(xué)者研究的重點(diǎn)[3~4].關(guān)于極尾Copula 計(jì)算,最初由文獻(xiàn)[5]給出相關(guān)計(jì)算定理,文獻(xiàn)[6]在此基礎(chǔ)上稍加改動,更加一般化,定理如下:

    定理1[6]:C(u,v)為[0,1]2連續(xù)函數(shù),并且對于任意的u >0,v >0,有C(u,v)>0,若下列極限存在:

    其中

    事實(shí)上,依據(jù)條件可得

    關(guān)于高斯分布的極下尾Copula 函數(shù)計(jì)算參照文獻(xiàn)[5]方法,可得,故y)=xy,恰好漸進(jìn)獨(dú)立.與下極尾相關(guān)系數(shù)得到的結(jié)論相同.

    2 高斯分布的極值copula 函數(shù).

    二維高斯CopulaC(u,v)的極值Copula 函數(shù)為,為計(jì)算極值Copula 函數(shù),作以下定義:稱b(w1,w2,…,wp)=為X=(X1,X2,…,XP)T尾相依函數(shù),顯然當(dāng)p =1 時,b(w1)=w1,并且b(w1,w2,…,wp)為階數(shù)為1 的齊次函數(shù),即b(tw1,tw2,…,twp)=tb(w1,w2,…,wp),兩邊關(guān)于t 求導(dǎo),然后令t=1 代入得到:

    由尾相依函數(shù)定義可知:

    wI表示由wi,i ∈I 構(gòu)成的集合.文獻(xiàn)[8]證明了C(u1,u2,…,up)的極值Copula 函數(shù):

    性質(zhì)3: 二元正態(tài)分布的極值Copula 函數(shù)CEV(u1,u2)=u1u2

    證明:

    極值Copula 函數(shù)CEV(u1,u2)=u1u2,表明極值變量間也是相互獨(dú)立的.

    [1] Gabriel Frahm.On the Extremal Dependence Coefficient of Multivariate[J].Statistics&Probability Letters,2006,76:1470–1481.

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