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    * -素環(huán)* -Jordan 理想上廣義導(dǎo)子的結(jié)果①

    2015-04-14 08:05:44喬美玉
    關(guān)鍵詞:導(dǎo)子子群廣義

    喬美玉

    (吉林師范大學(xué)研究生院,吉林 長(zhǎng)春130000)

    0 引 言

    一個(gè)可加映射F:R →R 被稱為廣義導(dǎo)子,如果存在一個(gè)導(dǎo)子d:R →R 滿足F(xy)=F(x)y+xd(y)對(duì)所有x,y ∈R.設(shè)R 是一個(gè)帶對(duì)合(R,*)的環(huán),如果對(duì)aRb=aRb*=0 有a=0 或b=0,則稱R 是* -素環(huán).設(shè)R 是環(huán),如果對(duì)所有x,y ∈R,可加映射d:R →R 滿足d(xy)=d(x)y+xd(y)則稱d 為導(dǎo)子.一個(gè)滿足J*=J 的Jordan 理想J 被稱為* -Jordan 理想.Ashraf 研究了滿足條件的帶有結(jié)合導(dǎo)子d 的廣義導(dǎo)子的素環(huán)R 的交換性[1].1981 年Bergen 研究了素環(huán)上導(dǎo)子和Lie 理想的關(guān)系,并得到一些結(jié)論[2].2005 年黃述亮將Ashraf 的結(jié)論推廣到了素環(huán)的Lie 理想上[3].根據(jù)黃述亮的結(jié)果Mahmmoud EL-SOUFI 又得出一些結(jié)論.本文則是將Mahmmoud EL-SOUFI 的結(jié)論推廣到*-素環(huán)上.

    1 主要結(jié)果

    引理1[[5]引理2]: 設(shè)R 是特征不為2 的* -素環(huán),且J 是R 的非零* -Jordan 理想,如果aJb=a*Jb=0 則a=0 或b=0

    引理2[[5]引理3]: 設(shè)R 是特征不為2 的* -素環(huán),J 是R 的非零* -Jordan 理想,如果[J,J]=0 則J ?Z(R).

    引理3[[5]引理4]: 設(shè)R 是特征不為2 的* -素環(huán),J 是R 的非零* -Jordan 理想,如果d 是R 的導(dǎo)子,滿足d(J)=0,則d=0 或J ?Z(R)

    定理1: 設(shè)R 是特征不為2 的* -素環(huán),J 是R 的一個(gè)非零* -Jordan 理想.設(shè)R 中有一個(gè)帶有非零結(jié)合導(dǎo)子d 的廣義導(dǎo)子F,且d 可與* 交換,如果滿足F(u)u=ud(u),u ∈J 則J ?Z(R).

    證明: 由已知,

    由線性變換可得F(u)v+F(v)u=ud(v)+vd(u),對(duì)所有

    在(2)中vu 換v 則有

    在(3)中用wv 換v 并應(yīng)用(3)式可得[u,w]vd(u)= 0,對(duì) 所 有u,v,w ∈J,所 以[u,w]Jd(u)=0,由于d 與* 可交換,且J 是* -Jordan 理想

    所以由引理1 有[u,w]=0 或d(u)=0,u,w ∈J

    設(shè)

    J1={u ∈J|d(u)=0} J2={u ∈J|[u,w]=0,對(duì)所有w ∈J}

    由于J1和J2是J 的兩個(gè)加法子群,并且J=J1∪J2

    又由于一個(gè)群不可以寫成它的兩個(gè)真子群的并,則有J=J1或J=J2

    若J=J1則有d(u)=0,u ∈J,由引理3 可得J ?Z(R)

    若J=J2則有[w,u]=0,u,w ∈J,由引理2可得J ?Z(R)

    綜上所述J ?Z(R)

    [1] M.Ashraf,A.Ali,and R.Rani.On Generalized Derivations of Prime Rings.Southeast Asian BulletinofMathematics,vol.29,no.4,pp.669–675,2005.

    [2] J.Bergen,I.N.Herstein,and J.W.Kerr.Lie Ideals and Derivations of Prime Rings.Journal of Algebra,vol.71,no.1,pp.259–267,1981.

    [3] Huang,S.:Generalized Derivations of Prime Rings.International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences,Article ID 85612,6 pages,Volume 2007.

    [4] Mahmmoud EL-SOUFI,Ahmed ABOUBAKR.:Generalized Derivations on Jordan Ideals in Prime Rings.Turk J Mathe 38,233–239(2014).

    [5] Oukhtite,L.:On Jordan Ideals and Derivations in Rings with Involution.Comment.Math.Univ.Carolin.51,389 –395(2010).

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