* －素環(huán)* －Jordan 理想上廣義導(dǎo)子的結(jié)果①

喬美玉

(吉林師范大學(xué)研究生院，吉林 長(zhǎng)春130000)

0 引 言

一個(gè)可加映射F:R →R 被稱為廣義導(dǎo)子，如果存在一個(gè)導(dǎo)子d:R →R 滿足F(xy)=F(x)y+xd(y)對(duì)所有x，y ∈R.設(shè)R 是一個(gè)帶對(duì)合(R，*)的環(huán)，如果對(duì)aRb=aRb*=0 有a=0 或b=0，則稱R 是* －素環(huán).設(shè)R 是環(huán)，如果對(duì)所有x，y ∈R，可加映射d:R →R 滿足d(xy)=d(x)y+xd(y)則稱d 為導(dǎo)子.一個(gè)滿足J*=J 的Jordan 理想J 被稱為* －Jordan 理想.Ashraf 研究了滿足條件的帶有結(jié)合導(dǎo)子d 的廣義導(dǎo)子的素環(huán)R 的交換性［1］.1981 年Bergen 研究了素環(huán)上導(dǎo)子和Lie 理想的關(guān)系，并得到一些結(jié)論［2］.2005 年黃述亮將Ashraf 的結(jié)論推廣到了素環(huán)的Lie 理想上［3］.根據(jù)黃述亮的結(jié)果Mahmmoud EL－SOUFI 又得出一些結(jié)論.本文則是將Mahmmoud EL－SOUFI 的結(jié)論推廣到*－素環(huán)上.

1 主要結(jié)果

引理1［［5］引理2］: 設(shè)R 是特征不為2 的* －素環(huán)，且J 是R 的非零* －Jordan 理想，如果aJb=a*Jb=0 則a=0 或b=0

引理2［［5］引理3］: 設(shè)R 是特征不為2 的* －素環(huán)，J 是R 的非零* －Jordan 理想，如果［J，J］=0 則J ?Z(R).

引理3［［5］引理4］: 設(shè)R 是特征不為2 的* －素環(huán)，J 是R 的非零* －Jordan 理想，如果d 是R 的導(dǎo)子，滿足d(J)=0，則d=0 或J ?Z(R)

定理1: 設(shè)R 是特征不為2 的* －素環(huán)，J 是R 的一個(gè)非零* －Jordan 理想.設(shè)R 中有一個(gè)帶有非零結(jié)合導(dǎo)子d 的廣義導(dǎo)子F，且d 可與* 交換，如果滿足F(u)u=ud(u)，u ∈J 則J ?Z(R).

證明: 由已知，

由線性變換可得F(u)v+F(v)u=ud(v)+vd(u)，對(duì)所有

在(2)中vu 換v 則有

在(3)中用wv 換v 并應(yīng)用(3)式可得［u，w］vd(u)= 0，對(duì) 所 有u，v，w ∈J，所 以［u，w］Jd(u)=0，由于d 與* 可交換，且J 是* －Jordan 理想

則

所以由引理1 有［u，w］=0 或d(u)=0，u，w ∈J

設(shè)

J1={u ∈J|d(u)=0} J2={u ∈J|［u，w］=0，對(duì)所有w ∈J}

由于J1和J2是J 的兩個(gè)加法子群，并且J=J1∪J2

又由于一個(gè)群不可以寫成它的兩個(gè)真子群的并，則有J=J1或J=J2

若J=J1則有d(u)=0，u ∈J，由引理3 可得J ?Z(R)

若J=J2則有［w，u］=0，u，w ∈J，由引理2可得J ?Z(R)

綜上所述J ?Z(R)

［1］ M.Ashraf，A.Ali，and R.Rani.On Generalized Derivations of Prime Rings.Southeast Asian BulletinofMathematics，vol.29，no.4，pp.669–675，2005.

［2］ J.Bergen，I.N.Herstein，and J.W.Kerr.Lie Ideals and Derivations of Prime Rings.Journal of Algebra，vol.71，no.1，pp.259–267，1981.

［3］ Huang，S.:Generalized Derivations of Prime Rings.International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences，Article ID 85612，6 pages，Volume 2007.

［4］ Mahmmoud EL－SOUFI，Ahmed ABOUBAKR.:Generalized Derivations on Jordan Ideals in Prime Rings.Turk J Mathe 38，233–239(2014).

［5］ Oukhtite，L.:On Jordan Ideals and Derivations in Rings with Involution.Comment.Math.Univ.Carolin.51，389 –395(2010).