不使用微積分求最值的方法

趙金榮

摘要：本文提供了一種方法，用來求出不是二次函數(shù)的函數(shù)的最大值或最小值，不使用微積分，只需要使用恰當?shù)拇鷶?shù)方法及相應的定理即可完成。并提供了典型例題說明這個方法的應用。

關鍵詞：最值問題 多項式函數(shù) 快速驗證

最優(yōu)化是應用數(shù)學的一個分支，主要指在一定條件限制下，選取某種研究方案使目標達到最優(yōu)的一種方法。最優(yōu)化問題在當今的軍事、工程、管理等領域有著極其廣泛的應用。在這類問題中，在題目會有的提問中總會出現(xiàn)“最多”、“最少”、“最長”或“最短”、“至多”或“至少”等問題，這類問題又稱之為“最值問題”，最值問題是普遍的應用類問題，主要解決有“最”字的描述的問題，涉及類目廣泛，是數(shù)學、物理中常見的類型題目。

一般地，最值問題需要使用微積分的技巧，求出不是二次函數(shù)的函數(shù)的最大值或最小值。但是，也有一些涉及多項式或多項式的商的情況，不需要使用微積分，只需要使用恰當?shù)拇鷶?shù)便可以解決。下面的定理可以用來計算某種問題的最值問題（這個定理建立的方式之一在這個項目的最后給出）。

一、最大值問題的解決

定理1如果三個正數(shù)s、t和u是一個常數(shù)，那么這三個數(shù)的乘積取得最大值的充要條件是s=t=u。

在這里，會給大家提供三個例題，用來說明這個定理的應用；然后大家就能夠自己嘗試解決接下來給出的其他問題。

例題1：已知三個正數(shù)的和是1。那么這三個數(shù)的乘積的最大值是什么7設s、t和u表示這三個數(shù)，那么就會有s+t+u=1.根據(jù)定理1.當這三個數(shù)彼此相等時，其乘積最大，所以，在這個例題中，s+t+u=1等價于s+s+s=1，故可以得出s=l/3，由此，t和u也都等于113，那么這三個數(shù)的乘積的最大值是s+t+u=（113）（1/3）（1/3）=1/2.要快速驗證這個結果，取任意三個正分數(shù)或小數(shù)，使三者之和均為1，計算這三個數(shù)的乘積，可以發(fā)現(xiàn)總是小于1/27（當然，假設您挑選的數(shù)值不全部等于1/3。）

例題2：設f（x）=2x（4-x）²。使用標準圖像法，可以發(fā)現(xiàn)這個函數(shù)的圖像的一般形狀，如圖A所示。圖像的一個轉折點是（4，0），在x軸上；第二個轉折點在第一個象限中，其x坐標在4和0之間。要求出第二個轉折點的精確坐標值。首先需要得到f（x）的三個組成因式，也就是2x，2-x和2+x，這三個因式的和的確是一個常數(shù)：2x+（4-x）+（4-x）=8。另外，在開區(qū)間02