例析二次函數(shù)最值問題的解法

趙瑩瑩

【摘要】 初中二次函數(shù)為中考數(shù)學中的重要考點，更是初中高中數(shù)學知識的銜接點，二次函數(shù)常以綜合性的壓軸題目出現(xiàn)，而二次函數(shù)的最值問題又是重要的考試熱點之一，同時二次函數(shù)的最值問題也是初中階段的數(shù)學學習中的一個重點和難點，為了提升學生解決這種類型問題的數(shù)學思維和解題技巧，本文從二次函數(shù)利潤最大、線段的最值問題和二次函數(shù)面積最大這三個問題出發(fā)，試圖歸納該類問題的解題思路、方法與技巧，供中考備考的師生們作為參考，基于此本文展開對二次函數(shù)最值問題的探討。

【關(guān)鍵詞】 二次函數(shù) 最值問題 待定系數(shù)法

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2017）03-168-01

一、“二次函數(shù)利潤最大”問題

例1.[2015·濱州]一種進價為每件40元的T恤，若銷售單價為60元，則每周可賣出300件，為提高利益，就對該T恤進行漲價銷售，經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每漲價1元，每周要少賣出10件，請確定該T恤漲價后每周銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出銷售單價定為多少元時，每周的銷售利潤最大。

分析：用每件的利潤乘以銷售量即可得到每周銷售利潤，即

y=（x-40）[300-10（x-60）]=-10（x-65）2+6250

∵x-60≥0且300-10（x-60）≥0，

∴60≤x≤90，

即當x=65時，y的值最大。

本題是利用二次函數(shù)解決利潤問題，在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題。解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，通過配方成頂點式，利用函數(shù)的性質(zhì)，然后求出最大值。在實際問題中要特別注意自變量的取值要保證實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量的取值范圍。

二、“二次函數(shù)線段最短”問題

例2.（2013廣東，23）已知二次函數(shù)y=x2-2mx+m2-1，

（1）當二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點O（0，0）時，求二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖，當m=2時，該拋物線與y軸交于點C，頂點為D，求C、D兩點的坐標；

（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在一點P，使得PC+PD最短？若P點存在，求出P點的坐標；若P點不存在，請說明理由。

分析：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點O（0，0），代入二次函數(shù)得：m2-1=0∴m=±1，

∴二次函數(shù)的解析式為：y=x2-2x或y=x2+2x

（2）依題意可得：

∵m=2

∴y=x2-4x+3=（x-2）2-1

則二次函數(shù)的頂點為D（2，-1），C點坐標為（0，3）

（3）存在；理由如下：通過數(shù)形結(jié)合，由圖可根據(jù)“兩點之間線段最短”知，當點P是直線CD與x軸的交點時，

PC+PD最短，設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b則有

本題為二次函數(shù)與平面幾何的綜合題，也是中考數(shù)學常見的題型，在題（1）

中要確定二次函數(shù)的解析式，需要構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)m的方程；題（2）需要用配方法求出頂點坐標，題（3）考察的主要是兩點之間，線段最短的應用。

三、“二次函數(shù)面積最值”問題

例3.[2015，安順]如圖，拋物線y=ax2+bx+與直線AB交于點A（-1，0），B（4，52），點D是拋物線A，B兩點間部分上的一個動點（不與點A，B重合），直線CD與y軸平行，交直線AB于點C，連接AD，BD.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點D的橫坐標為m，△ADB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出當S取最大時的點C的坐標。

（1）由題意得

從近幾年各地中考試卷來看，求解面積的最值問題在壓軸題中比較常見，而且通常與二次函數(shù)結(jié)合，使得題目具有一定的難度.其中“鉛垂高，水平寬”就是常用的求解面積最大值的方法（即是三角形的面積等于水平寬與鉛錘高乘積的一半），通過歸納解題方法，可以使得我們擺脫題海戰(zhàn)術(shù)，提高學生的解題能力。同時，善于總結(jié)題目的解決方法能夠加快解題速度，提升效率，達到事半功倍的效果，同時也有利于培養(yǎng)學生的鉆研能力和創(chuàng)新能力。

二次函數(shù)的最值問題一直是初中階段試題中的常見綜合題型，這類題型不僅包含的知識點多，而且融合了一些動態(tài)探索性的問題，它集平面幾何、函數(shù)及方程等相關(guān)知識于一身，題型的靈活性強、難度較大，要求學生需要必備一定的解題經(jīng)驗，在靈活運用基礎(chǔ)知識的同時充分發(fā)揮和運用各種數(shù)學技能去分析和解決問題。

[ 參 考 文 獻 ]

[1]于石.關(guān)于二次函數(shù)實際應用的研究[J].2015（05）.

[2]劉元春.淺談二次函數(shù)的常見題型[J].2009（29）.

[3]楊蕓.二次函數(shù)最值的應用.2005（03）.