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    等號的意義

    2015-01-31 05:29:12湖北省武漢大學(xué)附屬中學(xué)何淑平
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年11期
    關(guān)鍵詞:消元因變量等式

    ☉湖北省武漢大學(xué)附屬中學(xué) 何淑平

    等號的意義

    ☉湖北省武漢大學(xué)附屬中學(xué) 何淑平

    在數(shù)學(xué)中,常見的就是“=”了,一個(gè)計(jì)算式中,少不了的就是它,可是,大家真的完全明了它的意義嗎?不盡然.

    在大多數(shù)人眼里,等號刻畫的是它的兩邊的一種相等的數(shù)量關(guān)系,例如:1=1,或者1克=1克.但這是等號的最初等含義.

    1.等號表示一種相等的數(shù)量關(guān)系

    這個(gè)在前面已經(jīng)論述過.

    2.等號表示一種算法

    等號其實(shí)是運(yùn)算的基礎(chǔ),如果運(yùn)算沒有規(guī)定什么是運(yùn)算中兩個(gè)對象的相等,計(jì)算將無法進(jìn)行.

    If the atomic number Z of ZnS is much greater than ,then Eq. (9) can be calculated as the volume density, which was found to be on the order of 3.9 g/cm3. This result is in close agreement with the literature.

    例如,規(guī)定a鄢b=2a-3b,a、b∈R,則可以計(jì)算2鄢(3鄢2)=2×2-3(3鄢2)=4-3×(2×3-3×2)=4.

    這就是所謂規(guī)定新運(yùn)算的基礎(chǔ),其實(shí)就是等號的意義的體現(xiàn).

    3.等號在邏輯上表明一種等價(jià)關(guān)系

    因此它具備等價(jià)關(guān)系的三大核心性質(zhì):自身性,即a=a;反身性,即a=b圯b=a;傳遞性,即a=b,b=c圯a=c.

    4.等號還有兩大特殊意義(等號是方法)

    (1)等號的方程含義.

    含有未知數(shù)的等式稱為方程,這是方程的定義,但是很少有人注意到,其實(shí),所謂的方程就是一個(gè)等式,只是其中含有未知數(shù)而已.反過來,基于上面所指的等號的意義,我們可以從這個(gè)角度來認(rèn)識所謂的方程,就是一個(gè)標(biāo)識符“=”.

    如果我們從方程的角度來認(rèn)識等號的意義,那么此時(shí)的等號就告訴我們兩個(gè)核心的算法結(jié)構(gòu),我們形象地告訴學(xué)生,這個(gè)稱為“等號是方法”.在這種情況下就是:消元和降次.

    我們將這里的等號從方程的角度考慮,未知數(shù)x、y是元,且為多元,因此,等號的意義就是消去其中的某些元(消元),消元的方式有代入消元和加減消元.(解從略)

    例如,已知x2-2x-3=0,求x.

    我們將這里的等號從方程的角度考慮,未知數(shù)x是元,且為一元,因此,等號的意義就是將一元方程降次,而降次的最佳手段就是因式分解.(解從略)

    例如,我們常在解析幾何中看到如下的字眼“圖像的軌跡方程”,這里所謂的方程,其實(shí)就是尋找一個(gè)等式,只不過等式的元,就是圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)而已.

    所以當(dāng)我們在任何地方看到“方程”這個(gè)字眼的時(shí)候,自己一定要明白,其實(shí)就是一種等號確定的思考方式.

    (2)等號的函數(shù)含義.

    函數(shù)其實(shí)簡單而言,就是描述多個(gè)變量之間等量關(guān)系的表達(dá)式.變量因等號而分類,可以簡單地將代數(shù)學(xué)中的結(jié)論如此刻畫,一個(gè)等號從方程的角度可以解出一個(gè)變量的值,而被解出的這個(gè)變量在函數(shù)的觀點(diǎn)下成為因變量,刻畫這個(gè)因變量的其他變量稱為自變量,等號完成了它的第一個(gè)基本使命,將變量進(jìn)行分類(自變量與因變量).

    其次,如果將等號視為函數(shù),那么函數(shù)的處理基本模式就會(huì)自動(dòng)形成(也稱為等號是方法):用三句話概括.

    ①定義域是陷阱.

    解:將等號視為函數(shù),由定義域知x=1,從而y=1.

    ②參數(shù)是關(guān)鍵.

    對一個(gè)函數(shù)對象的討論,其實(shí)是對它的參數(shù)進(jìn)行討論的問題.

    例如,已知y=xa(x≥0,a>0),求證它過定點(diǎn).

    證明:所謂的定點(diǎn),其實(shí)就是與參數(shù)a無關(guān)的點(diǎn),因此定點(diǎn)為(0,0)、(1,1).

    ③圖像是方法.

    處理函數(shù)問題的基本核心技術(shù),就是它的圖像,要習(xí)慣有意識地控制函數(shù)的圖像,并且通過圖像來解決問題.

    如果我們從函數(shù)的角度出發(fā)來解這個(gè)問題,其實(shí)就是兩條直線的交點(diǎn),圖像是方法.

    5.等號是不等號的分界點(diǎn)

    等號的取值,是不等號的分界點(diǎn).核心思想為a≥b,a≤b圯a=b.

    例如,已知不等式x2+ax+b>0的解為x>3或x<1,求方程bx2+ax+1=0的解.

    解:由不等式x2+ax+b>0的解為x>3或x<1,知方程x2+ ax+b=0的解為x=3或x=1,因此a=-4,b=3,所以方程bx2+ ax+1=0的解為或x=1.

    本文試圖從形式上來系統(tǒng)闡述數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)思想,讓數(shù)學(xué)在某種形式下實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一,也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的高度形式化特色,當(dāng)然也將看似不相關(guān)的知識從另外的一個(gè)側(cè)面實(shí)現(xiàn)完美的統(tǒng)一.A

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