線性代數(shù)課堂教學(xué)的幾點(diǎn)體會(huì)

房劍平

摘 要： 作者結(jié)合線性代數(shù)的一些具體的課堂教學(xué)實(shí)例，從課前備課、課堂教學(xué)及課后作業(yè)批閱三個(gè)方面就如何增強(qiáng)線性代數(shù)教學(xué)效果，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣談?wù)勼w會(huì)。

關(guān)鍵詞： 線性代數(shù)課堂教學(xué) 教學(xué)方法 教學(xué)體會(huì)

線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其計(jì)算技巧與數(shù)學(xué)理論對(duì)自然學(xué)科和數(shù)學(xué)學(xué)科本身的發(fā)展起著重要作用，它不僅是一門非常好的數(shù)學(xué)課程，而且是一門非常好的工具學(xué)科，在很多領(lǐng)域都有廣泛的用途。同微積分一樣，它是高等數(shù)學(xué)中兩大入門課程之一，是大學(xué)理工科和部分文科專業(yè)主要的基礎(chǔ)課程。它的理論和方法無論是對(duì)學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的完善還是對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)的提高，以及創(chuàng)新能力的培養(yǎng)都有著十分重要的作用。線性代數(shù)的教學(xué)效果直接影響學(xué)生在實(shí)踐中應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。筆者結(jié)合自己十幾年來的教學(xué)實(shí)踐，從課前備課、課堂教學(xué)及課后作業(yè)批閱三個(gè)方面就如何增強(qiáng)線性代數(shù)教學(xué)效果談?wù)勼w會(huì)。

一、認(rèn)真準(zhǔn)備，精心備課

上課前充分備課是上好課的前提，要提高課堂教學(xué)質(zhì)量和效率，首先要抓好備課這一環(huán)節(jié)。大量的教學(xué)實(shí)踐表明，教師在備課上所花的工夫直接影響授課質(zhì)量。就同一任課教師來說，進(jìn)行觀摩教學(xué)時(shí)教學(xué)效果一般都比平時(shí)好，原因并非觀摩教學(xué)時(shí)教學(xué)能力高，而在于教師備課比平時(shí)充分得多，進(jìn)行了認(rèn)真的籌劃和精心的設(shè)計(jì)。針對(duì)線性代數(shù)課程學(xué)時(shí)少、概念多、抽象度高、思維方式獨(dú)特的特點(diǎn)，教師要在教學(xué)過程中既保證數(shù)學(xué)原理的傳授，又使學(xué)生及時(shí)掌握主要的解題方法，就必須認(rèn)真地籌劃和精心地設(shè)計(jì)每一節(jié)課的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

要備好課，首先要熟悉教材的整體構(gòu)架。具體地指，這冊(cè)教材是怎么樣編寫的，它是以怎么樣的脈絡(luò)為主線的，主要內(nèi)容有哪些，分為幾大版塊，每個(gè)版塊由哪些具體的內(nèi)容構(gòu)成。只有對(duì)教材框架熟悉，我們才可以創(chuàng)造性地加工教材，對(duì)教材科學(xué)地重組、合并、添加及刪除，讓教材符合學(xué)生的實(shí)際，符合學(xué)生的口味。這就是說，我們要“用教材教”，而不是“教教材”。例如大多數(shù)線性代數(shù)教材講行列式的時(shí)候，開始都是以2階與3階行列式引入一般行列式的定義的，如文獻(xiàn)[1]和[2]。如果嚴(yán)格按照課本章節(jié)，那么2階節(jié)行列式還容易讓學(xué)生記住，但是3階行列式對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來說，不但有的6項(xiàng)不容易記住，而且常會(huì)為這些項(xiàng)的正負(fù)號(hào)糾結(jié)。如果熟悉了教材的整體框架，知道這不過是為了引入行列式一般概念而設(shè)的章節(jié)，就完全可以跳過這部分內(nèi)容，直接從逆序數(shù)引入行列式的一般定義，然后再用一般定義看2階與3階行列式，這樣容易讓學(xué)生接受。

要備好線性代數(shù)課程，還要事先對(duì)所教的學(xué)生情況有所了解?，F(xiàn)行的線性代數(shù)教材大多是老版本，但是中學(xué)教材施行的是新課程標(biāo)準(zhǔn)，這就造成大學(xué)教材與中學(xué)教材脫節(jié)的情況，即使是最近出版的線性代數(shù)教材也有這種情況。如在線性代數(shù)教材中講到全排列與逆序數(shù)的時(shí)候，都是默認(rèn)學(xué)生學(xué)過簡(jiǎn)單的排列組合知識(shí)的。但是，實(shí)際上這部分知識(shí)點(diǎn)有些中學(xué)是不作要求的。老師在處理與這部分內(nèi)容相關(guān)的知識(shí)時(shí)，要清楚班級(jí)到底有多少人知道這一知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)具體情況適當(dāng)增加一些排列組合的知識(shí)，這樣更有助于學(xué)生理解所教內(nèi)容。

最后，每次備課都要針對(duì)此節(jié)課知識(shí)點(diǎn)精心設(shè)計(jì)一些課后習(xí)題留給學(xué)生完成。著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“學(xué)數(shù)學(xué)不做題，如入寶山而空手歸。”足見解題對(duì)深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的重要性。線性代數(shù)課程的特點(diǎn)是學(xué)時(shí)少、概念多、抽象度高，課后如果不盡心設(shè)計(jì)一些習(xí)題，則學(xué)生很難真正掌握所學(xué)知識(shí)點(diǎn)。如在線性空間這一章節(jié)中，不少學(xué)生對(duì)線性空間的概念感到很迷茫，難以想象，但是課本[1]上用定義驗(yàn)證線性空間的題目只有針對(duì)2階矩陣的驗(yàn)證是否為線性空間的三個(gè)小題。如果只用書本上的作為習(xí)題，一是驗(yàn)證類型太單一，二是量比較少，因而在這一知識(shí)點(diǎn)上，我會(huì)增加一些課本之外的用定義驗(yàn)證線性空間的習(xí)題。實(shí)踐證明，通過適量做題，學(xué)生對(duì)線性空間的概念認(rèn)識(shí)有所提高。

二、充滿激情，組織教學(xué)

為了更好地組織課堂教學(xué)，首先我們必須盡力地營(yíng)造和諧活躍的課堂氛圍。要營(yíng)造活躍的課堂氛圍，教師一定要用自己的話（要講出自己的理解）講授課程，不照本宣科，語言不僅要生動(dòng)、形象，還要幽默。學(xué)生只有在寬松、和諧、自由的環(huán)境中學(xué)習(xí)，才能思路開闊，思維敏捷，才會(huì)主動(dòng)參與到教學(xué)過程中。好課堂是充滿真情與激情的課堂，一堂缺乏激情的課是無法引起學(xué)生共鳴的課。這里所說的激情，就是老師課堂上內(nèi)容表達(dá)清晰、用語抑揚(yáng)頓挫、全身心投入講課、滿腔執(zhí)情地與學(xué)生互動(dòng)。師生的良性互動(dòng)不但會(huì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，而且會(huì)提高課堂教學(xué)效率。例如講消元法解線性方程組時(shí)，對(duì)于3元或4元線性方程組，因?yàn)閷W(xué)生在中學(xué)就有接觸，所以我讓不同的學(xué)生講這些內(nèi)容，并先讓學(xué)生自己點(diǎn)評(píng)總結(jié)。學(xué)生面對(duì)學(xué)生，可以無拘無束地發(fā)表自己的見解，同學(xué)之間的討論、爭(zhēng)辯、交流大大調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。在學(xué)生討論交流后，我最后給出用矩陣初等變換的方法進(jìn)行消元的教學(xué)內(nèi)容。這樣的學(xué)習(xí)方式，不僅能活躍課堂氣氛，而且能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

其次，要更好地進(jìn)行課堂教學(xué)，還要理解學(xué)生，與學(xué)生做朋友。理解學(xué)生就是要知道隨著高校的擴(kuò)招，一些高等院校在努力探索自己的生存與發(fā)展的同時(shí)，接收了一些低分?jǐn)?shù)考生。這些低分入學(xué)的同學(xué)的基礎(chǔ)比較差，以至于我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況——一個(gè)簡(jiǎn)單的定義或者結(jié)論，有部分同學(xué)無論如何解釋都不懂。在這種情況下，教師首先要有耐心，理解他們?yōu)槭裁床艜?huì)這樣。有了這樣的理解為基礎(chǔ)，學(xué)生才有可能將你當(dāng)做真正的朋友。心理學(xué)研究表明，學(xué)習(xí)興趣是學(xué)習(xí)積極性中最現(xiàn)實(shí)、最活躍的成分。而學(xué)生對(duì)某學(xué)科有興趣在一定程度上取決于對(duì)任課老師喜歡的程度。所以，當(dāng)學(xué)生將你作為他的朋友時(shí)，他在一定程度上就會(huì)喜歡你所教的這門課程，在學(xué)習(xí)中就會(huì)充分發(fā)揮自己的主體作用。

再次，適當(dāng)應(yīng)用多媒體進(jìn)行課堂教學(xué)。對(duì)于多媒體在教學(xué)中的使用，我覺得目前不少高校出臺(tái)的各種政策與采取的措施有些激進(jìn)，在教學(xué)質(zhì)量學(xué)生與專家的測(cè)評(píng)表中、各種級(jí)別的講課比賽中，把是否運(yùn)用多媒體作為衡量教學(xué)水平的指標(biāo)之一，在客觀上產(chǎn)生一種過高定位多媒體作用的傾向。實(shí)際上，傳統(tǒng)的板書模式有著多媒體不可替代的功效，學(xué)生可以從板書過程中解讀出教師對(duì)所寫內(nèi)容的理解思路，進(jìn)而促進(jìn)對(duì)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)。在教學(xué)過程中大量使用多媒體，追求講授速度，而不給學(xué)生充分思考的時(shí)間，這樣不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，不利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力；況且在有限的教學(xué)時(shí)間內(nèi)，學(xué)生接受知識(shí)的容量也是有限的。擴(kuò)招后，數(shù)學(xué)課一般是大課，然而我們的多媒體教室只有不到兩平方米的黑板，教師板書受到限制；即使教室有黑板，多媒體屏幕又一般設(shè)置在教室正前方，屏幕一拉下來，黑板便占去了一大半，留下的可用版面很小。這種多媒體教室實(shí)際上充當(dāng)了強(qiáng)迫教師完全使用多媒體進(jìn)行教學(xué)的角色，它使得數(shù)學(xué)教學(xué)效果大打折扣。因此，在線性代數(shù)教學(xué)過程中，只有對(duì)一些內(nèi)容簡(jiǎn)單的章節(jié)，例如線性空間的定義，我才會(huì)將基本定義、定理的內(nèi)容打上屏幕，證明及解釋過程則板書；而那些學(xué)生不容易掌握的較難的章節(jié)，則使用多媒體教學(xué)。

最后，為了更好地達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果，每次課堂教學(xué)快結(jié)束時(shí)，我都會(huì)預(yù)留5到8分鐘，對(duì)本次課堂教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)。實(shí)時(shí)小結(jié)，有助于學(xué)生掌握課堂教學(xué)內(nèi)容。如講完正定二次型這一小節(jié)內(nèi)容時(shí)，可以預(yù)留點(diǎn)時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生寫出正定二次型（或正定矩陣）的所有等價(jià)命題，并用框圖給出，這樣學(xué)生可以更清楚各個(gè)命題之間的聯(lián)系，從而加深對(duì)正定二次型的理解。

三、用心批閱，及時(shí)反饋

課堂教學(xué)結(jié)束，線性代數(shù)課程教學(xué)并沒有就此結(jié)束。教師還得用心完成預(yù)留作業(yè)的批閱，并及時(shí)反饋?zhàn)鳂I(yè)情況給學(xué)生才算完成一次完整的教學(xué)過程。作業(yè)的批閱如同課堂教學(xué)一樣是學(xué)校教學(xué)工作中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，有著無法替代的特殊作用。它不但可以及時(shí)檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，讓我了解他們存在的不足和需要重視、改進(jìn)的地方，為如何組織下一課的教學(xué)提供有力的依據(jù)，還可以因材施教，為每一個(gè)學(xué)生的教育、培養(yǎng)提供參考意見。通過作業(yè)，我及時(shí)發(fā)現(xiàn)在剛結(jié)束的課堂教學(xué)中存在的問題并想辦法解決問題。如果錯(cuò)的是少數(shù)同學(xué)，我就會(huì)在學(xué)生出錯(cuò)的地方寫出正確的解答過程。如果大部分人都犯類似錯(cuò)誤，我就會(huì)在下次課堂教學(xué)時(shí)進(jìn)行集體訂正。例如在求解齊次線性方程組的時(shí)候，我通過作業(yè)發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生在求基礎(chǔ)解系的時(shí)候不知到怎樣尋求，于是我就在下次課上把如何求解基礎(chǔ)解系重新講解一遍。

同樣，通過認(rèn)真批閱作業(yè)，能夠幫助學(xué)生正視自己，提高學(xué)習(xí)效率。作業(yè)是學(xué)生在學(xué)完每一節(jié)課后檢驗(yàn)自己學(xué)習(xí)情況的一種有效手段和方法，是學(xué)生自己的學(xué)習(xí)成果。學(xué)生可以從自己的作業(yè)成功中獲取自信心，進(jìn)而激發(fā)對(duì)線性代數(shù)學(xué)習(xí)的興趣。

通過作業(yè)的用心批閱，能夠拉近師生距離，建立良好的師生關(guān)系。教師認(rèn)真批閱學(xué)生作業(yè)的這種敬業(yè)精神會(huì)在一定程度上感染學(xué)生。我在批改作業(yè)時(shí)做到一視同仁認(rèn)真對(duì)待，無論是對(duì)成績(jī)較好的學(xué)生還是成績(jī)不理想的學(xué)生交上來的作業(yè)都一絲不茍、認(rèn)真批閱。

總之，批改作業(yè)是每個(gè)教師都必須重視并認(rèn)真對(duì)待的重要工作環(huán)節(jié)，它為提高教學(xué)質(zhì)量、建立良好的師生關(guān)系提供了有利條件，在教學(xué)教學(xué)作中有特殊作用。教師一定要本著為學(xué)生服務(wù)、為教育事業(yè)服務(wù)的精神，兢兢業(yè)業(yè)，認(rèn)真批閱學(xué)生的作業(yè)，耐心教育引導(dǎo)他們?cè)谕瓿勺鳂I(yè)的過程中樹立良好的學(xué)習(xí)態(tài)度和習(xí)慣，為努力學(xué)習(xí)科學(xué)文化知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工科數(shù)學(xué)：線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]上海市教育委員會(huì)組.工程數(shù)學(xué)與教學(xué)軟件：線性代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2005.

[3]成琨，任永泰.提高線性代數(shù)課堂教學(xué)有效性方法的探討[J].大學(xué)教育，5：83-84，2013.

[4]馮進(jìn).線性代數(shù)理論的形成與發(fā)展[J].數(shù)學(xué)傳播，34（1）：81-88，1999.