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    多個(gè)體系統(tǒng)的二分蜂擁一致性

    2014-04-10 16:19:29季亞雷
    科技創(chuàng)新與應(yīng)用 2014年12期
    關(guān)鍵詞:一致性

    摘 要:文章研究了無(wú)虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的二分蜂擁一致性問(wèn)題。提出的算法保證了二分蜂擁行為,同時(shí)取消了隱函數(shù)。通過(guò)把運(yùn)動(dòng)的集合分成兩族,只要在不同族里的個(gè)體以近似相同的速率往相反的方向運(yùn)動(dòng),兩族就能各自實(shí)現(xiàn)一致性。

    關(guān)鍵詞:多個(gè)體;二分蜂擁;一致性

    引言

    經(jīng)常在生物蜂擁和人類(lèi)集體行動(dòng)中遇到個(gè)體有不同的運(yùn)動(dòng)目標(biāo),或者不同的運(yùn)動(dòng)方向,這些可能是由利益沖突、內(nèi)部不同意見(jiàn)或外部干擾等等所引起[3,4]。Couzin[5]研究整體集合選擇的方向,當(dāng)有些個(gè)體在優(yōu)先權(quán)上不同,而且會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者意見(jiàn)相差不多時(shí),跟隨者將會(huì)平均方向。隨著意見(jiàn)分歧的加大,所有的跟隨者會(huì)從原來(lái)的一個(gè)方向到兩個(gè)完全不同的方向。Conradt[6]調(diào)查在整體行為上的內(nèi)部利益沖突的機(jī)制,特別是同步速率和分裂。整體分裂成兩個(gè)族,發(fā)生在整體的大的沖突上[1]。整體分裂會(huì)有許多有利的例子,如災(zāi)難逃離[6]和自然界捕食者和被捕者的情景。但是在二分機(jī)制的深入研究也在進(jìn)行,而且對(duì)于二分蜂擁設(shè)計(jì)一個(gè)分裂控制方法也是具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。這些促使我們分析性地調(diào)查研究在生物集體運(yùn)動(dòng)和社會(huì)整體行為的分裂現(xiàn)象背后的物理規(guī)則。

    1 基本知識(shí)

    令G(V,?著,A)代表一個(gè)符號(hào)圖,其中,V={1,…,n}為節(jié)點(diǎn)集合;?著?哿V×V為邊集合;A∈Rn×n是圖G的鄰接矩陣,其中aij=±1?圳(j,i)∈?著,否則aij=0。有自環(huán)的圖,文章不考慮。G(A)的路徑?籽是邊集合的連通 ,其中 所有節(jié)點(diǎn)k1,…,kp互相不同的。文章中Rm是一個(gè)m維的實(shí)矢量空間;Im是一個(gè)m×m的單位矩陣,而且1n=[1,…,1]T∈Rn。另外,符號(hào)||·||,?茚分別代表歐幾里德范數(shù),克羅內(nèi)克積。

    2 問(wèn)題描述

    考慮下面的二階多個(gè)體系統(tǒng):

    (1)

    假定位置和速率是的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),分別用 ,時(shí)變網(wǎng)絡(luò)有相同的半徑R,那么個(gè)體i的鄰居可以表示為Ni={j|||qi-qj||

    定義1[1,2]如果多個(gè)體系統(tǒng)(1)作為一個(gè)整體最后分成兩族,以同樣的速率,其中一族中的個(gè)體往相同的方向運(yùn)動(dòng);同時(shí),另一族中的個(gè)體往相反方向運(yùn)動(dòng),稱(chēng)多個(gè)體系統(tǒng)(1)是一個(gè)二分蜂擁。也就是對(duì)于任意的i,j∈E,limt→∞pi(t)=±limt→∞Pj(t)。更進(jìn)一步,在整個(gè)進(jìn)程中,不存在任何沖突,即對(duì)于任意的i,j∈E有 。

    3 一致性分析

    設(shè)計(jì)一個(gè)控制協(xié)議:

    (2)

    在ui中,不僅給出了個(gè)體的位置關(guān)系,也考慮了個(gè)體的速度關(guān)系。同時(shí)取消了隱函數(shù),不同于文獻(xiàn)[1]的情形。

    定理1假設(shè)網(wǎng)絡(luò)Gp(A)是一個(gè)連通的無(wú)向圖,圖G1(t)和G2(t)都是連通的。在(2)作用下,如果GP(A)是平衡圖,網(wǎng)絡(luò)G1(t)和G2(t)是連通的, ,則多個(gè)體系統(tǒng)(1)實(shí)現(xiàn)二分蜂擁一致性。

    證明:由于GP(A)是平衡圖,從引理1中得出存在一個(gè)正規(guī)變換D∈D,D=diag([?滓1,?滓2,…,?滓n]),?滓i∈{±1},那么DTAD是非負(fù)的??紤]變換z=(D?茚Im)p,p=[p■■,…,p■■]T,z=[z■■,…,z■■]T,系統(tǒng)(1)可以重新寫(xiě)為 。

    構(gòu)造一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)函數(shù):

    ,得:

    由于■(t)是半負(fù)定的,zi(t)是有界的,因此,從第二個(gè)方程看出,如果個(gè)體i和個(gè)體j在同一個(gè)族Gl,l∈{1,2};||qij||∈(0,R);個(gè)體間的沖突可以避免,G1(t)和G2(t)是連通的, ,而且■(t)也是有界的。由于 有 。多個(gè)體系統(tǒng)(1)在(2)的作用下,實(shí)現(xiàn)二分蜂擁一致性。

    4 結(jié)束語(yǔ)

    文章設(shè)計(jì)一個(gè)二分蜂擁控制協(xié)議,使得整體分裂為兩個(gè)向相反方向運(yùn)動(dòng)的族。用平衡圖譜理論,可以使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)蜂擁一致性。

    參考文獻(xiàn)

    [1]C.Altafini.Consensus problems on networks with antagonistic interactions[J].IEEE Trans Automatic,2012

    [2]T.Zaslavsky.Signed.graphs.Discrete.Appl.Math[M]. 1982,4(1):47-74

    [3]F.Harary.A matrix criterion for structural balance[J].NavalRes.Logist.Quart, 1960,7:195-199

    [4]L.Conradt,J.Krause,I.D.Couzin,and T.J.Roper.Leading according to need in self-organizing groups[J].The American Naturalist,2009,173(3):304-312

    [5]T.Vicsek and A.Zafeiris.Collective motion.Physics Reports[J], 2012,51(3-4):71-510

    [6]I.D.Couzin,J.Krause,N.R.Franks,and Simon A.Levin.Effective leadership and decision-making in animal groups on the move.Nature[J], 2005,43(3):513-516.

    作者簡(jiǎn)介:季亞雷(1987-),男,江蘇淮安人,安徽理工大學(xué)碩士生,研究方向:多個(gè)體系統(tǒng)的一致性。

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