談三視圖的教學

王浩

把三視圖列為初中數學教學中的必學內容也是這一輪課改中一個突出的亮點.由于教師自身的知識結構（多數教師沒有學過機械制圖）和缺乏教學經驗等原因，如何落實好課標中規(guī)定的關于三視圖教學的各項目標，很多教師都感到困難.本文就三視圖教學的意義，三視圖的概念、畫法及應用等方面的教學，談談個人的一些經驗和體會.

一、正確認識三視圖教學的意義

三視圖作為“圖形與幾何”領域的內容之一，它與其他“圖形與幾何”的內容一樣，在培養(yǎng)學生的空間觀念和發(fā)展空間想象能力方面有著重要的作用.且三視圖教學中這方面的作用表現為這樣的一種特性：讓學生逐步適應、并學會三維與二維的空間形式的轉換.

三視圖是設計者與制作者之間相互溝通交流的一種不可替代的語言.如設計人員要把他設計的一個螺帽毛坯形狀、尺寸要求告訴工人，把螺帽毛坯畫成如圖1那樣的立體圖. 此圖雖然很有立體感，但仍然無法把螺帽毛坯的底面、側面是怎樣的幾何圖形、中間的圓孔與整個毛坯有怎樣的位置關系等說清楚. 只有用圖2那樣的三視圖，才能清楚地說明螺帽外形是一個正六棱柱，正中位置有一個上下穿透的圓柱形的孔.也正因為三視圖的這種獨特功能，使它在人們生產、生活實踐中有著廣泛的應用.

也許有人認為三視圖的內容太專業(yè)化，質疑作為基礎教育的數學教學的必學內容是否合適？對此我們還需從我國教育事業(yè)的發(fā)展來認識，近幾年來我國職業(yè)教育有了迅速的發(fā)展，升入職業(yè)高中的學生與普通高中學生比例已經達45.06∶54.94（2013年數據）.三視圖這部分內容對升入職業(yè)高中的許多學生來說則是十分重要的基礎課程，從這個角度來看，把三視圖列為初中數學的必學內容也是我國教育事業(yè)發(fā)展新格局的需要.

我們在教學中應努力使學生認識學習三視圖的重要性，這樣就能調動學生學習三視圖的積極性.

二、正確解讀三視圖的概念

在這輪課程改革的初期，不少教材把三視圖解釋成人們觀察物體時，從正面、上面、左面三個不同方向看到的圖形，這種說法是不正確的. 這種模糊解釋給學生畫三視圖、識讀三視圖帶來許多困難.

用正投影來定義三視圖才是唯一正確的方法. 同樣都從同一個方向去觀察一個圓柱體，不同的人觀察到的圖形可能是不同的，而當圓柱體與投影面的相對位置確定的情況下，圓柱體在投影面上的正投影則是唯一確定的，這可以通過實驗來驗證，如圖3.

同樣也只有用物體在正投影面、側投影面、水平投影面上的正投影，并在把三個投影面旋轉展平（如圖4）后所得的平面圖形來定義三視圖，才能得到. 使學生理解畫三視圖的基本法則：長對正，高平齊，寬相等.在這輪課改的初期不少教材連這條畫三視圖的基本法則都沒有給出.

在講解三視圖概念時必須講清楚以下三點：

（1）每一個視圖分別是物體在哪一個投影面上的正投影.

（2）三個視圖的相對位置，如圖4.值得注意的是有些教輔讀物、甚至是中考題把三個視圖畫在同一水平線上（如圖5），這會對學生正確理解三視圖的概念造成負面的影響.

（3）圖4中三個視圖的相對位置是要符合“長對正，高平齊，寬相等”的畫法法則.

講視圖的概念必然要涉及空間點、線、面的位置關系，對這些關系應采用實驗、實例等合情推理的方法使學生認同. 切忌用像立體幾何中那樣嚴格的推理方法.例如，我們可以用電線桿與地面的位置關系的實例來幫助學生認識投射線與投影面的垂直，而不去追究直線與平面垂直的定義.

增加一些辨認三視圖與視圖之間點、線、面之間對應關系的訓練，對理解三視圖的概念是很有幫助的.

案例1 ?一個幾何體和它的三視圖如圖6.請完成下面的填空：

（1） 幾何體中棱B1B2，A1B1在主視圖中的正投影分別是 ? ? ? ? ? 、 ? ? ? ? ? .

（2）幾何體中棱A2D2在主視圖、俯視圖、左視圖中的正投影分別是 ? ? ? ? ? 、 ? ? ? ? ? ?、 ? ? ? ? ? .

（3） 幾何體中側面B1C1C2B2在主視圖、俯視圖、左視圖中的正投影分別是 ? ? ? ? ? 、 ? ? ? ? ? ?、

.

（4）主視圖中矩形PQKJ是幾何體中側面

的正投影，正投影為左視圖中矩形的邊XS的幾何體的面是 ? ? ? ? ? ?.

（5）三視圖中與線段SU相等的線段是 ? ? ? ? ? .

三、掌握畫三視圖、識讀三視圖的關鍵

正確理解三視圖的正投影本質，搞清三個視圖之間的關系，以及它們與實物之間的對應關系是正確畫三視圖，識讀三視圖的關鍵所在.講解這些關系要著重講清以下兩個方面.

（1）尺寸關系：也就是要遵循“長對正、高平齊、寬相等”.

（2）方位關系：方位關系指的是每個視圖的上、下、左、右，分別表示物體的哪一個方位.具體的說：主視圖的上、下表示物體的上、下，主視圖的左、右表示物體的左、右;俯視圖的上、下表示物體的后、前，俯視圖的左、右表示物體的左、右;左視圖的上、下表示物體的上、下，左視圖的左、右表示物體的后、前，如圖7所示.endprint

案例2 ? 用一個過兩條母線的平面截一個圓柱所得幾何體如圖8.請畫出三視圖，并在三視圖上標出相應尺寸.

分析：畫三視圖通常先選一個合適的主視方向，選取的依據是如何使主視圖、俯視圖簡明、易畫. 本題可選圖8中的正視的方向為主視方向，那么俯視圖就是和幾何體底面相同的一個弓形.由立體圖中的尺寸可得這個弓形弦所對的圓心角為120°，這樣就很容易畫出俯視圖.畫出俯視圖后，根據“長對正、高平齊、寬相等”就可依次畫出主視圖、左視圖.

解 ? 所求三視圖如圖9.

注意：左視圖矩形的水平方向的邊長應畫成和俯視圖弓形的高相等.

案例3 ?由若干個單位立方體壘成的一個幾何體的三視圖如圖10.請描述這個幾何體的形狀，嘗試畫出立體示意圖.

解 ?由主視圖、左視圖，知這個幾何體有三層.由俯視圖，知底層有3個小立方體.由主視圖、左視圖，知這個幾何體中間位置靠前有兩層，第二層有一個小立方體，右邊位置靠后有三層，第二、三層各有一個小立方體，畫出立體示意圖，如圖11.

從上例可以看到，搞清各個視圖與實物之間的方位關系是十分重要的.

為了更好地培養(yǎng)學生畫三視圖、識讀三視圖的能力，我們還可以進行一些補畫三視圖的訓練.

案例4 ?已知一個幾何體的主視圖和俯視圖如圖12，請根據已知視圖想象幾何體的可能形狀，并按照你的想象補畫左視圖.

這是一道開放題，它含了畫三視圖和識讀三視圖的兩方面的訓練，它既能幫助學生熟練掌握三視圖的畫圖法則和三視圖與物體的方位關系，又能培養(yǎng)學生豐富的想象力，且富有趣味.有意思的是教師給出的答案大多如圖13，而學生給出的答案有六、七種之多，如圖14等.

在三視圖的教學中我們還可以增加一些實用性很強的案例，讓學生感受三視圖的魅力.

案例5 ?一家緊固件進出口公司收到國外一家公司訂購球頭螺栓的一份訂單，訂單中附上該螺栓的三視圖（這里省略了左視圖）如圖15，制作的材料是不銹鋼，訂數為180000枚，該進出口公司接單后考慮到今后托運等環(huán)節(jié)的需要，要估算一下這批貨物的總質量是多少？你能幫助該公司完成立這項任務嗎？怎樣完成？

分析：根據國外客商所給的圖紙，我們可以判斷這批螺栓的上部是球被一個平面截得的部分（叫做球缺），可以從網上查出它的體積計算公式是V= （3r2+h2）（r表示球缺的底面半徑，h表示球缺的高），下部是一個圓柱.這樣我們就可以求出每一個螺栓的體積，再查出所用材料不銹鋼的密度約7.8g/cm3，于是就可以算出每個螺栓的質量，繼而估計出整批貨物的總質量.

解 ?由視圖，知螺栓的上部是球缺，球缺的底面半徑r=15mm，高h=4mm.球缺的體積V= （3r2+h2）= （3×152+42）= （mm3）.下部圓柱的底面半徑r=5mm，高h=40mm，圓柱的體積V=πhr2=40×52×π=1000π.（ +1000π）÷1000×7.8÷1000×180000≈6442.7（kg）.也就是這批貨物總質量約為6442.7kg.endprint