一道高考線性規(guī)劃題引發(fā)的“變式題組”探究

金偉兵

高中數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃是放在必修5的不等式一章中，實(shí)際是非常特殊的多元函數(shù)在簡易定義域上的一個(gè)簡單性質(zhì)——求最值問題.教材的定位是讓學(xué)生初步了解運(yùn)籌學(xué)的這一部分內(nèi)容，為高等數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ)，同時(shí)也是為了解決一部分實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的基本數(shù)學(xué)思想.這部分內(nèi)容因其出題靈活，同時(shí)易與其他知識(shí)點(diǎn)交匯而在高考中越來越受到重視.近年各地高考題或模擬題中非常喜歡考這樣的一類數(shù)學(xué)模型即含參變動(dòng)型.在解題過程中往往都涉及以下三個(gè)基本思想：數(shù)形結(jié)合、含參討論以及轉(zhuǎn)化化歸.下面筆者就和大家一起來評(píng)析一道2014年高考題及與其相關(guān)聯(lián)的變式題組.

一、典例分析

（2014年浙江理科數(shù)學(xué)）當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y-4≤0，x-y-1≤0，x≥1時(shí)，1≤ax+y≤4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.

優(yōu)美解：巧用數(shù)形結(jié)合.本題表面看是不等式恒成立問題，實(shí)際可轉(zhuǎn)化為如圖1所示的幾何關(guān)系：即可行域三角形CDE區(qū)域應(yīng)位于兩平行直線y=-ax+1和y=-ax+4之間. 從而根據(jù)圖象很快得到直線斜率

-a≥kAD且-a≤kBC，由kAD=- ，kBC=-1，從而得到答案a∈[1， ].

二、變式題組分析

1.（變式1） 追根溯源 ? 原“型”畢露

（2008浙江理科數(shù)學(xué)）若a≥0，b≥0，且當(dāng)x≥0，y≥0，x+y≤1時(shí)，恒有ax+by≤1，則以a，b為坐標(biāo)的點(diǎn)P（a，b）所形成的平面區(qū)域的面積等于 ? ? ? ? ? ? .

簡評(píng)：本題可轉(zhuǎn)化為這樣的幾何意義：即可行域在直線y=- x+ 左下方，如圖2所示.從而可得 ≥1， ≥1，再根據(jù)a，b為橫縱坐標(biāo)的圖象可得平面區(qū)域是一個(gè)邊長為1的正方形，則面積為1.由此可見浙江2014年的線性規(guī)劃題和2008年的題頗有淵源，有異曲同工之妙.

2.（變式2） 轉(zhuǎn)化化歸 ? 以靜制動(dòng)

（2013年北京理科數(shù)學(xué)）設(shè)關(guān)于x，y的不等式組2x-y+1>0，x+m<0，y-m>0，表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P（x0，y0），滿足x0-2y0=2，求得m的取值范圍是（ ? ）

A. （-∞， ） ? ? ? ? B. （-∞， ）

C. （-∞，- ） ? ? ? ?D. （-∞，- ）

簡評(píng)：本題可行域隨m取值變動(dòng)，但可轉(zhuǎn)化為如圖3所示的圖形關(guān)系.

由圖可知，可行域的邊界點(diǎn)Q（-m，m）應(yīng)位于直線y= x-1的下方，即滿足 m<- m-1，從而得到m<- .本題解題時(shí)著眼點(diǎn)應(yīng)該在x0-2y0=2這個(gè)條件，雖然線性約束條件變動(dòng)，但實(shí)質(zhì)的幾何關(guān)系非常明顯，即直線要“穿越”可行域，這樣問題的切入點(diǎn)就很容易找到，“以靜制動(dòng)”，收得奇效.

3.（變式3）含參討論 ? 以動(dòng)制靜

（2013浙江理科數(shù)學(xué)）設(shè)z=kx+y，其中實(shí)數(shù)x，y滿足x+y-2≥0，x-2y+4≥0，2x-y-4≤0.若z的最大值為12，則實(shí)數(shù)k= ? ? .

簡評(píng)：本題答案為2，可行域是固定區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)變動(dòng)，可以結(jié)合圖象根據(jù)k=0或k>0或k<0分別進(jìn)行討論. 此題重點(diǎn)考查了含參討論思想，也是模擬題和高考題中很常見的題型. 要求學(xué)生具備比較好的分類討論能力，同時(shí)應(yīng)關(guān)注參數(shù)范圍變化時(shí)最優(yōu)解的位置變化，防止出錯(cuò)，“以動(dòng)制靜”，層次清晰.

4.（變式4）橫向聯(lián)系 ? 綜合串聯(lián)

（2010安徽理科數(shù)學(xué)）設(shè)x，y滿足約束條件2x+y+2≥0，8x-y+4≤0，x≥0，y≥0.若目標(biāo)函數(shù)z=abx+y的最大值為8，求a+b的最小值為 ? ? ? ? ? ? .

簡評(píng)：不等式表示的區(qū)域是一個(gè)四邊形，4個(gè)頂點(diǎn)是（0，0），（0，2），（ ，0），（1，4），易發(fā)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)在（1，4）取最大值8，所以8=ab+4？圯ab=4，接下去借助基本不等式性質(zhì)得到：a+b≥2 =4，不等式在a=b=2時(shí)取到等號(hào)，所以a+b的最小值為4.線性規(guī)劃與其他知識(shí)點(diǎn)的交匯，尤其是與不等式性質(zhì)的綜合交匯是近年高考題的新方向.

三、結(jié)束語

盡管高考題不斷推陳出新，但其原型還是出自于我們平時(shí)的練習(xí)題. 所以在平時(shí)的教學(xué)中，如果我們能注意研究高考題的命題規(guī)律，分析題目之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行有目的的變式題組訓(xùn)練，這樣將會(huì)達(dá)到舉一反三，觸類旁通的作用，有效提升我們的教學(xué)效率.endprint