原題精彩 變式更精彩

沈岳夫

在試卷講評課上，教師對小題（填空題、選擇題）往往不作詳細分析，或僅僅核對一下答案.筆者認為，有些小題雖然難度不大，但它是復習所學基礎知識，訓練學生思維的極好素材.因此在教學中，要引導學生研究這些小題的解法，理解它的本質，探究它的變式及拓展.本文以2014年6月我校九年級數(shù)學獨立作業(yè)中的一道選擇題為例，做一些探索.

一、題目呈現(xiàn)

題目：如圖1，已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2，l2，l3之間的距離為3，則AC的長是（ ? ? ）

A. 2 ? ? ? ? ? ?B. 2

C. 4 ? ? ? ? ? ? D. 7

解：如圖2，過A點作AD⊥l3，過C點作CE⊥l3，垂足分別為D，E. 易證Rt△ADB≌Rt△BEC，得BE=AD=3.在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理，得BC= = ，在Rt△ABC中，得AC= BC=2 ，所以選A.

點評：解答本題的關鍵是作好輔助線，作出平行線間的距離，構造出“一線三等角”型基本圖形（我們把具備三點在同一條直線上，如圖2中的點D，B，E，且∠ADB=∠ABC=∠BEC的圖形稱為“一線三等角”型基本圖形），運用全等三角形的判定和性質以及勾股定理進行計算.此題有一定難度，主要考查學生用變換的方法構造基本圖形解決問題，提高學生運用圖形變換解決問題的意識.

二、變式探究

對于一些“典型”的“熟題”，教學中應該采用“一題多變”的基本方法，力爭讓學生學透.因為是“熟題”，解決此類題目可以起到“溫故而知新”的效果;因為是“典型”，題目必定包含有不同的解決方法，方法越多，對顯性知識技能的訓練就越到位，解決此類題目可以達到“知識與方法”同步提高的效果.在一題多解教學中，首先要注重通性通法，其次才是研究最優(yōu)解法，最后要對研究的問題從知識技能、解題規(guī)律、思想方法等角度進行歸納、總結、反思，幫助學生積累解題經(jīng)驗，進而增加學生思維的寬度，達到解題效果的最大化.

變式題：如圖3，l1，l2，l3是同一平面內的三條平行直線，l1與l2間的距離是1，l2與l3間的距離是2，正三角形ABC的三頂點分別在l1，l2，l3上，求△ABC的邊長.

分析：此題看似只把“等腰直角三角形”變成“正三角形”，但思維含量提升，難度增加.那么該怎么解呢？筆者悉心探究給出以下幾種解法，以饗讀者.

（一）構造“一線三等角” ? 通性又通法

解法1： 如圖4，延長BA到點F，使AF=BA，連結CF.由題意，易知∠AFC=30°，∠BCF=90°，則 =tan∠FBC= . 作FE⊥l3于點E，作BD⊥l3于點D.FE分別交l1，l2于點G，H，這樣就構造出了“一線三等角”的模型.

因為l1∥l2，且A是BF的中點，所以G是FH的中點，進而得FG=GH=1，F(xiàn)E=4.易證Rt△CEF∽Rt△BDC，得 = = ，解得DC= .所以BC= = .

（二）構造“等距”平行線 ? 經(jīng)典又給力

解法2： 如圖5，作l4∥l3，且l4到l3，l2的距離為“1”，延長AB交l4于點D，由l1∥l2∥l4，且平行線間的距離相等，所以AB=BD，而AB=BC，連結DC，可知∠ACD=90°，于是 = .由于DE=1，AF=3，又易證Rt△CFA∽Rt△DEC，所以 = =tan30°，解得CF= .所以AC= = .

（三）構造“等積”變換 ? 獨特又精彩

解法3： 如圖6，延長AB交l3于點G，作BE⊥l3于點E，作AD⊥l3于點D，作CF⊥AB于點F.易證Rt△GBE∽Rt△GAD，則 = = .設GB=2x，則GA=3x，AB=x，BF= x，CF= x.由S△BCG= CG·BE= GB·CF，解得CG= x2.在 Rt△CFG中，CF2+FG2=CG2，即（ x）2+（2x+ x）2=（ x2）2，解得x= ，所以AB= .

（四）構造“二元二次”方程組 ? 新穎又別致

解法4： 如圖7，作BE⊥l3于點E，作AD⊥l3于點D，AD交l2于點F.設CE=x，CD=y，則BF=x+y.因為AB=BC=CA，所以根據(jù)勾股定理得x2+22=y2+32=（x+y）2+12，經(jīng)組合，整理得y2+2xy=3，x2+2xy=8.解得x=4y，3x=-2y（舍去）.把x=4y代入，得y2= .所以AC= = .

（五）構造相似三角形 ? 常規(guī)又實在

解法5： 如圖8，分別過A，C作l2的垂線AE，CF，垂足為E，F(xiàn). 過B作△ABC的高BG. 設AD=x，則CD=2x，于是，DG=CD-CG= ， BG=BC·sin60°= x. 由Rt△BDG∽Rt△CDF，得 = .得DF= .又Rt△ADE∽Rt△CDF，得 = = ，所以DE= ，因此AD2= ，所以AC=3x=3AD= .

（六）構造“旋轉變換” ? 靈活又方便

解法6：如圖9，過A，C作AE，CF垂直于l2，E，F(xiàn)是垂足.將Rt△BCF繞點B逆時針旋轉60°至Rt△BAD處，延長DA交l2于點G.由作圖可知：∠DBG =∠DBA+∠ABG=∠CBF+∠ABG=∠ABC= 60°，AD =CF=2.因此在Rt△BDG中，∠BGD=30°，AG=2，DG=4，所以BD= .那么在Rt△ABD中，得AB= = .

（七）構造“輔助圓” ? 直觀又簡捷

解法7： 如圖10，設點B關于l3的對稱點是E，連結AE，CE，延長EB交l1于點G，則CE=CB，而CA=CB，所以點A，B，E在以C為圓心，CA為半徑的圓上，易得∠AEB= ∠ACB=30°.設AG=x，則在Rt△AEG中，得AE=2x，而GE=5，由勾股定理得4x2=x2+25，得x2= .在Rt△ABG中，得AB2=12+AG2，所以AB= .

行文至此，前面梳理了7種解法，實際上此題的解法還不止這些.當學生對某些知識點、某些基本圖形理解得較為深入時，就會首先考慮到較簡潔的解法.例如，對“一線三等角”理解較為深入時，就會選取解法1、解法2;對會善用“面積”作橋梁的，就會選取解法3;若想到用勾股定理、方程思想解決問題的，就會選取解法4;若能運用兩次相似的知識來解決問題，可以選取解法5;若能用通過圖形變換的方法，就會選擇解法6;若對圓知識理解深刻，會構造圓心角、圓周角的，就會選取解法7.親愛的讀者，你看了以上的幾種解法，是不是產生了一種躍躍欲試的沖動，那你就動起筆來，思考、挑戰(zhàn)一下拓展題吧.

拓展題：如圖11，l1，l2，l3是同一平面內的三條平行直線，l1與l2間的距離是1，l2與l3間的距離是2，以AB為底的等腰三角形ABC的三頂點分別在l1，l2，l3上，且∠ACB=α，求AB的長.

綜上可以看出，每個優(yōu)秀的數(shù)學題目中都包含著大量基礎知識、基本方法與技巧策略，都蘊含著數(shù)學的方法、思想等本質.在解題教學中，我們一定要積極引導學生觀察題目的表象、探求解題方法、整理解題思路、總結解題規(guī)律、歸納解題思想，著眼于學生思維的發(fā)展.解題教學不是讓學生為了解題而解題，而是通過解題把數(shù)學方法和數(shù)學思想濃縮，只有這樣，才能真正有效地促進學生思維的靈活性、廣闊性和深刻性.endprint