不同數(shù)學(xué)水平小學(xué)生問題表征的類型及對應(yīng)用題解決的影響

大連大學(xué) 楊閏榮

大連海事大學(xué) 鄭琳娜

不同數(shù)學(xué)水平小學(xué)生問題表征的類型及對應(yīng)用題解決的影響

大連大學(xué) 楊閏榮

大連海事大學(xué) 鄭琳娜

在小學(xué)數(shù)學(xué)教育實(shí)踐中，解決不同類型的應(yīng)用題是基本教學(xué)目標(biāo)之一，也是進(jìn)一步發(fā)展高級(jí)問題解決能力的前提和基礎(chǔ)，因此了解并掌握問題類型對學(xué)生選擇表征類型的影響規(guī)律，對于提高學(xué)生的問題表征能力具有重要意義。

數(shù)學(xué)問題 小學(xué)生 應(yīng)用題 解決問題

一、問題提出

問題表征是數(shù)學(xué)應(yīng)用題解決的初始環(huán)節(jié)。根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的典型應(yīng)用題，可將小學(xué)生的問題表征劃分為言語表征和圖形表征兩大類，其中，言語表征包括“關(guān)系表征”和“語詞表征”；圖形表征包括“圖式表征”和“圖畫表征”。從表征形態(tài)上來講，言語表征與圖形表征是兩種不同的表征形態(tài)，前者主要借助于言語表述，即學(xué)生能夠用言語表達(dá)對問題中各種關(guān)系的理解；而后者是基于視——空感知的表征類型，是學(xué)生將問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為視覺——空間關(guān)系，在頭腦中構(gòu)建起問題情境及解決問題的算子空間（通過其外顯行為表現(xiàn)出來，如勾勒圖式或進(jìn)行繪畫等）。從表征類型反映的認(rèn)知水平高低來看，言語表征中關(guān)系表征要高于語詞表征，圖形表征中圖式表征要高于圖畫表征。依據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)教材及相關(guān)輔導(dǎo)資料中的數(shù)學(xué)應(yīng)用題的主導(dǎo)特征，可將應(yīng)用題分為四種類型：比較問題、比率問題、路程問題和植樹問題，其中比較問題和比率問題的語義特征較為突出，可考察兒童從語義分析中抽取相應(yīng)數(shù)量關(guān)系的能力。而路程問題和植樹問題的視—空特征較為明顯，可考察兒童根據(jù)視—空想象概括數(shù)量關(guān)系的能力。

小學(xué)生在解決不同類型數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)常常有不同的解題思路，對問題有著不同的表征方式，而行之有效的問題表征方式又與問題的成功解決緊密相關(guān)。因而，我們的研究目的是考察5年級(jí)不同數(shù)學(xué)水平的小學(xué)生在解決比較問題、比率問題、路程問題和植樹問題時(shí)的表征類型差異，以及不同的表征類型對應(yīng)用題解決的影響。

二、研究方法

1.被試。隨機(jī)選取大連市某小學(xué)五年級(jí)學(xué)生60名，其中數(shù)優(yōu)生、中等生、數(shù)困生各20人。數(shù)優(yōu)生、中等生和數(shù)困生的選擇標(biāo)準(zhǔn)是：連續(xù)兩個(gè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)考試成績在91～100分之間且任課教師一致評定為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生為數(shù)優(yōu)生；成績在80～90分之間且任課教師一致評定為數(shù)學(xué)成績一般的學(xué)生為中等生；成績在79分以下且任課教師一致評定為數(shù)學(xué)成績落后的學(xué)生為數(shù)困生。

2.實(shí)驗(yàn)材料。參考小學(xué)現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材（三年級(jí)以上），結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)對小學(xué)5年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的要求，編制4道不同類型的應(yīng)用題，即比較問題、比率問題、路程問題和植樹問題作為實(shí)驗(yàn)材料。應(yīng)用題難度水平較低，難度值分別為比較問題0.74、比率問題0.71、路程問題0.70、植樹問題0.63。在實(shí)驗(yàn)過程中，按照比較問題、植樹問題、行程問題和比率問題的順序依次進(jìn)行。

三、結(jié)果分析

1.不同水平的學(xué)生對四類應(yīng)用題的表征類型的數(shù)量比較。將被試在解決比率問題、比較問題、路程問題和植樹問題中使用不同表征類型數(shù)量的人數(shù)進(jìn)行比較，結(jié)果見表1。

表1 使用不同表征類型數(shù)量的人數(shù)百分比（%）

從表1可以看出，在解決四類應(yīng)用題上，被試使用的表征類型數(shù)量在不斷變化。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，數(shù)優(yōu)生只采用兩種或三種表征類型解決應(yīng)用題。中等生選擇的表征類型數(shù)量呈分散態(tài)式。數(shù)困生的表征類型數(shù)量則集中于一到兩種。因此，數(shù)優(yōu)生的問題表征方式更多樣。

2.不同水平的學(xué)生對四類表征應(yīng)用頻率的差異比較。將被試在問題解決過程中對四類表征的應(yīng)用頻率進(jìn)行比較，結(jié)果見表2。

表2 被試對四類表征的應(yīng)用頻率（%）

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，數(shù)優(yōu)生對語詞表征和圖畫表征的應(yīng)用頻率明顯少于關(guān)系表征和圖式表征，而中等生對這四種表征方式幾乎沒有差異，數(shù)困生卻對語詞表征、圖畫表征的應(yīng)用頻率高于關(guān)系表征和圖式表征。因此，數(shù)優(yōu)生更傾向于選擇高級(jí)別的問題表征形式。

四、討論

1.不同數(shù)學(xué)水平小學(xué)生表征類型數(shù)量的差異分析

研究結(jié)果表明，隨著數(shù)學(xué)水平的增長，被試掌握的表征類型的數(shù)量越多。這是因?yàn)?，隨著小學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的豐富以及總體認(rèn)知水平的提高，小學(xué)生的問題表征類型趨向豐富化和深刻化，即小學(xué)生問題表征的水平更高。在本研究中，我們采用了四種類型的應(yīng)用題，也界定了四類問題表征，從表征水平看，與比較問題和比率問題相匹配的言語表征中，語詞表征的水平低，關(guān)系表征的水平高；與路程問題和植樹問題相匹配的圖形表征中，圖畫表征的水平低，而關(guān)系表征的水平高。隨著數(shù)學(xué)水平的增高，兒童逐漸放棄水平較低的表征類型，趨向較高水平的表征類型。

2.不同數(shù)學(xué)水平小學(xué)生在四類應(yīng)用題上對四類表征的應(yīng)用頻率的差異分析

隨著數(shù)學(xué)水平的增長，被試對關(guān)系表征和圖式表征的應(yīng)用頻率顯著提高，對語詞表征和圖畫表征的應(yīng)用頻率顯著降低，這與小學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的水平是一致的。具體來看，在解決比率問題和比較問題時(shí)，被試越來越傾向使用關(guān)系表征；在解決路程問題和植樹問題時(shí)，被試越來越傾向選擇圖式表征。對解決路程和植樹問題中應(yīng)用語詞表征和關(guān)系表征的被試進(jìn)行個(gè)案分析發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用語詞表征的多為數(shù)困生，因?yàn)樗麄內(nèi)狈ζ渌行У谋碚鞣绞剑鴳?yīng)用關(guān)系表征的多為數(shù)優(yōu)生，這些數(shù)優(yōu)生能夠從抽象的言語邏輯上建構(gòu)問題中的數(shù)量關(guān)系，不需要視—空表象的支持。從小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐看，在數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中，教師向?qū)W生傳達(dá)的信息是重言語邏輯的推理，而輕視—空模型的建構(gòu)，即使在視—空特征鮮明的應(yīng)用題類型中，也強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)關(guān)系式的推導(dǎo)，如在解決“直線種樹問題”上，強(qiáng)調(diào)學(xué)生識(shí)記“總距離與間隔距離之比加1”的關(guān)系式，而很少建立視—空模型加以詳細(xì)地推理說明，以致學(xué)生在解決變式問題時(shí)不能舉一反三，如解決“環(huán)形種樹問題”時(shí)，簡單提取如上的關(guān)系式，其實(shí)是對原理的錯(cuò)誤運(yùn)用，此時(shí)應(yīng)該是“總距離與間隔距離之比減1”。所以，小學(xué)生的言語邏輯強(qiáng)于視—空邏輯，需要注意的一點(diǎn)是，圖畫表征嚴(yán)格來說不是視—空邏輯表征，它只是對文字內(nèi)容的形象再現(xiàn)，而不強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)性關(guān)系。小學(xué)生只有進(jìn)入高年級(jí)，隨著立體幾何等課程內(nèi)容的開展，小學(xué)生數(shù)與形認(rèn)知能力的發(fā)展，其言語邏輯和視—空邏輯的相互轉(zhuǎn)換的能力才有進(jìn)一步的提高。

五、結(jié)論

數(shù)學(xué)水平高的小學(xué)生問題表征類型更具多樣化。數(shù)學(xué)水平高的小學(xué)生，對語詞表征和圖畫表征的應(yīng)用頻率顯著降低，對關(guān)系表征和圖式表征的應(yīng)用頻率顯著提高。

[1]曾盼盼，俞國良.小學(xué)生視覺-空間表征類型和數(shù)學(xué)問題解決的研究[J].心理科學(xué)，2003

[2]路海東，董 妍.小學(xué)生表征數(shù)學(xué)應(yīng)用題策略的研究[J].心理發(fā)展與教育，2003

ISSN2095-6711/Z01-2015-07-0056