四元數(shù)射影空間中全實(shí)2－調(diào)和子流形的一些注記

周俊東，宋衛(wèi)東，徐傳友

（1.阜陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，安徽 阜陽(yáng)236037；2.安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖241003）

設(shè)Qn（c）是具有常四元數(shù)截面曲率c的四元數(shù)空間形式，若c＞0，則稱其為四元數(shù)射影空間，記為QPn（c）.關(guān)于四元數(shù)射影空間中子流形的研究目前已取得許多結(jié)果［1－9］.范勝雪等［6］研究了四元數(shù)射影空間中的全實(shí)2－調(diào)和偽臍子流形，給出了這類子流形是極小的幾個(gè)條件和一個(gè)積分不等式.本文研究四元數(shù)射影空間QPn（c）中的全實(shí)2－調(diào)和子流形，通過使用活動(dòng)標(biāo)架法和廣義極值原理［7］，得到完備2－調(diào)和子流形是極小的一些條件，改進(jìn)并推廣了文獻(xiàn)［6］的相關(guān)結(jié)果.

四元數(shù)射影空間QPn（c）在局部存在3個(gè)復(fù)結(jié)構(gòu)｛I，J，K｝，滿足

若對(duì)每個(gè)點(diǎn)p∈Mn，切空間TpM 垂直于I（TpM），J（TpM），K（TpM），則Mn是QPn（c）中的全實(shí)子流形.在QPn（c）中選取局部正交標(biāo)架場(chǎng)：e1，…，en，eI（1），…，eI（n），eJ（1），…，eJ（n），eK（1），…，eK（n），當(dāng)標(biāo)架場(chǎng)限制在 Mn上時(shí)，e1，…，en是Mn上切向量場(chǎng)，eI（1），…，eI（n），eJ（1），…，eJ（n），eK（1），…，eK（n）是 Mn上的法向量場(chǎng).本文采用如下指標(biāo)約定：

設(shè)ωA和是QPn（c）上的對(duì)偶標(biāo)架場(chǎng)和聯(lián)絡(luò)形式，QPn（c）的結(jié)構(gòu)方程為

QPn（c）的結(jié)構(gòu)方程限制在 Mn上，則有［1］：

定義S，SH為

由Cauchy－Schwarz不等式可得SH≥nH2.參照文獻(xiàn)［8］，可得QPn（c）中2－調(diào)和子流形的等價(jià)條件.

引理1［8］Mn是QPn（c）中2－調(diào)和子流形的充要條件是

引理2［9］設(shè)M 是完備的Riemann流形，L是M 上的非負(fù)光滑函數(shù)，若∫Mf2dV ＜ ∞ 且Δf＝Lf，則f是常數(shù).

引理3［7］設(shè)M是一個(gè)完備的Riemann流形，若M的Ricci曲率有下界，則對(duì)于任何有下界的函數(shù)f∈C2（M），對(duì)于?ε＞0，總存在一點(diǎn)p∈M，使得函數(shù)f滿足

定理1 設(shè)Mn是QPn（c）中的偽臍全實(shí)2－調(diào)和子流形，則Mn是極小子流形.

根據(jù)式（1）可得ˉRI（1）I（2）12＝c／4，這與式（7）矛盾，所以H≠0不成立，即Mn是極小的.

證明：Mn是QPn（c）中緊致2－調(diào)和子流形，由引理1的第二式和式（1），（5）可得

所以Mn的截面曲率是常數(shù).

注1 定理3中，由∫MnH2dV＜∞，若Vol（Mn，g）＝∞，則Mn一定是極小子流形.

另一方面，有

利用式（8）和式（9）可推出

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