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    關(guān)于的證明及應(yīng)用

    2014-09-22 06:26:52劉愛(ài)春祁根鎖
    大學(xué)數(shù)學(xué) 2014年2期
    關(guān)鍵詞:傅立葉高等教育出版社呼和浩特

    劉愛(ài)春, 祁根鎖

    (呼和浩特民族學(xué)院數(shù)學(xué)系, 呼和浩特010051)

    1 引 言

    (1)

    2的證明

    關(guān)于(1)式成立的證明,一般教科書及常見(jiàn)資料上通常采用對(duì)函數(shù)f(x)=x2在[-π,π]展成傅立葉級(jí)數(shù),并在x=π這一點(diǎn)取值時(shí)即可證得[2].本文將給出其他幾種證明方法.

    (i)利用傅立葉級(jí)數(shù)證明法

    即?x∈[-π,π],有

    證法1將函數(shù)f(x)=|x|在[-π,π]展成傅立葉級(jí)數(shù).因?yàn)閒(x)=|x|在[-π,π]是偶函數(shù),有

    于是

    特別地,當(dāng)x=π時(shí),有

    所以(1)式成立.

    證法2將函數(shù)f(x)=x+x2在(-π,π)上展成傅立葉級(jí)數(shù).將f(x)作周期為2π的延拓,則

    由收斂定理,對(duì)?x∈(-π,π),有

    所以(1)式成立.

    因f(x)在(0,2π)上連續(xù),由收斂定理知 ?x∈(0,2π),有

    在端點(diǎn)x=0和x=2π處,其傅立葉級(jí)數(shù)收斂于

    令x=2π,有

    所以(1)式成立.

    故由收斂定理,得

    (ii)利用反三角函數(shù)證明法

    證明中用到下列結(jié)果:

    (2)

    ② arcsinx在[-1,1]上的級(jí)數(shù)展開式

    (3)

    (4)

    因此有

    所以(1)式成立.

    (iii)利用三角恒等式證明法

    (5)

    sin-2x>x-2>cot2x=sin-2x-1.

    (6)

    3的應(yīng)用

    (i)在求積分題中的應(yīng)用

    逐項(xiàng)積分,得

    另解

    (ii)在證明題中的應(yīng)用

    F(x)=f(x)+f(1-x)+(lnx)[ln(1-x)],

    則F(x)在(0,1)連續(xù).

    其中

    所以

    因此F(x)在(0,1)上為常數(shù).又因?yàn)?/p>

    綜上可知,當(dāng)0

    [參 考 文 獻(xiàn)]

    [1] 王曉勤. 歐拉與自然數(shù)平方倒數(shù)和[J]. 曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào), 2002, 28 (4):29-33.

    [2] 劉玉璉. 數(shù)學(xué)分析講義(下冊(cè))[M]. 4版.北京:高等教育出版社,2004.

    [3] 陳傳章. 數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M]. 2版.北京:高等教育出版社,2004.

    [4] 陳紀(jì)修. 數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M]. 北京:高等教育出版社,2000.

    [5] 胡雁軍. 數(shù)學(xué)分析中的證題方法與難題選解[M]. 鄭州:河南大學(xué)出版社,1985.

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