從幾何的角度看微分中值定理

曾可依

(重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶401331)

1 引 言

數(shù)學(xué)分析中的微分中值定理是指Rolle，Lagrange，Cauchy三個(gè)微分中值定理.它們是數(shù)學(xué)分析中的基本內(nèi)容.不同的教材處理這三個(gè)定理的方式也不盡相同.一般有兩種方式：一種是按認(rèn)識(shí)事物的過(guò)程來(lái)講解，即先介紹Rolle中值定理，再利用它構(gòu)造輔助函數(shù)來(lái)證明Lagrange中值定理，最后推廣到Cauchy中值定理[1]；另一種處理方式是先證明Rolle中值定理，然后統(tǒng)一地處理Lagrange中值定理和Cauchy中值定理[2].

關(guān)于微分中值定理的研究有很多方面， 主要涉及它的證明及其應(yīng)用[4].例如，利用微分中值定理去判斷函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的最值點(diǎn)、求函數(shù)的極限、證明一些特殊的不等式以及導(dǎo)數(shù)的估計(jì)等等.在證明或應(yīng)用微分中值定理時(shí)，往往會(huì)提及中值定理的幾何意義，一般不夠深刻.本文將系統(tǒng)地闡述這三個(gè)中值定理背后所隱藏的幾何背景，并不強(qiáng)調(diào)它們的證明或應(yīng)用.幾何上，我們將指出這三個(gè)定理本質(zhì)上其實(shí)是一回事.

2 2合同變換

〈v,w〉∶=x1x2+y1y2,

O(2)={T是2×2矩陣|T·Tt=I2}.

3 2中曲線的相切

按照運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)，平面上的曲線可以理解為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)在平面上運(yùn)動(dòng)的軌跡.數(shù)學(xué)上，平面上的曲線可以看成從開(kāi)區(qū)間(a,b)到2的一個(gè)映射，即

下面我們給出曲線相切的定義，即

則稱曲線γ1(t),γ2(t)在P點(diǎn)相切.

證設(shè)曲線

γ1(t)=(x1(t),y1(t)),γ2(t)=(x2(t),y2(t)),t∈(-ε,ε);

由已知條件并注意到P0是常值向量，可得

;

4 微分中值定理的幾何觀點(diǎn)

本節(jié)我們將利用前面的準(zhǔn)備知識(shí)，從幾何的角度去看這三個(gè)微分中值定理.

Rolle中值定理設(shè)f是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，那么存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0.

圖1

如圖1所示，Rolle中值定理的幾何等價(jià)說(shuō)法是：對(duì)于第一類(lèi)可導(dǎo)曲線γ(x)=(x,f(x))，在定理的條件下，則存在γ(x)上的一點(diǎn)γ(ξ)，ξ∈(a,b)，以及一條直線lξ滿足：

(i)lξ過(guò)點(diǎn)γ(ξ);

(ii)lξ的斜率k=0；

(iii)lξ與γ(x)相切于點(diǎn)γ(ξ).

Lagrange中值定理設(shè)f是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得

圖2

類(lèi)似于Rolle中值定理，如圖2所示，Lagrange中值定理是說(shuō)：對(duì)于端點(diǎn)不在水平直線上的第一類(lèi)可導(dǎo)曲線γ(x)，在定理的條件下，則存在γ(x)上的一點(diǎn)γ(ξ)，ξ∈(a,b)，以及一條直線lξ滿足：

(i)lξ過(guò)點(diǎn)γ(ξ);

(iii)lξ與γ(x)相切于點(diǎn)γ(ξ).

圖3

Cauchy中值定理設(shè)f和g是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)x∈(a,b)時(shí)g′(x)≠0，那么存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得

在Rolle和Lagrange中值定理的幾何描述時(shí)，所遇到的曲線是第一類(lèi)可導(dǎo)曲線.下面我們指出Cauchy中值定理事實(shí)上是Lagrange中值定理的第二類(lèi)曲線版本.事實(shí)上，x∈(a,b)時(shí)g′(x)≠0，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的介值性，我們可以假定當(dāng)x∈(a,b)時(shí)g′(x)>0，即函數(shù)t=g(x)嚴(yán)格單調(diào)增.因此，函數(shù)t=g(x)可逆，記為x=g-1(t).因此，第二類(lèi)曲線γ(x)=(g(x),f(x)),x∈(a,b)，可以改寫(xiě)為第一類(lèi)曲線：γ(t)=(t,F(t))，其中t∈(g(a),g(b))，F(xiàn)(t)=f(g-1(t)).

注意到，

從而對(duì)γ(t)運(yùn)用Lagrange中值定理便得到Cauchy中值定理.

綜上所述，我們可以說(shuō)Rolle中值定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理是歐氏幾何學(xué)中曲線相切這一現(xiàn)象在不同坐標(biāo)系中或在不同曲線的表示形式下的各種描述，其幾何本質(zhì)是相同的.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2] 常庚哲，史濟(jì)懷.數(shù)學(xué)分析教程(上冊(cè))[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3] 彭家貴，陳卿.微分幾何[M].北京：高等教育出版社，2002.

[4] 張慶娜.微分中值定理及其應(yīng)用[D].安陽(yáng)師范學(xué)院畢業(yè)論文，2010.