關(guān)于曲面的有界性及第二類曲面積分的教學(xué)實踐

郭治中， 曼和布拜·熱合木

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)院，新疆烏魯木齊830046)

1 引 言

高等數(shù)學(xué)教材對曲面的有界性基本沒有給出定義，一般來講是一帶而過[1,2]，究其原因，在于簡單、通俗、非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生容易理解的曲面有界性定義很難給出.但這一概念又是高等數(shù)學(xué)教材中關(guān)于曲面積分內(nèi)容中最基本的假設(shè)與前提[1,2].本文基于高等數(shù)學(xué)所涉及的曲面范疇給出了簡單、通俗的曲面有界性定義.

第二類曲面積分無疑是高等數(shù)學(xué)的教學(xué)難點之一，通過對這一問題多年的探討與教學(xué)實踐，我們獲得了一些經(jīng)驗，使得在解決這一老大難問題時思路清晰，可操作性強(qiáng)，教學(xué)效果較好，本文對此給予敘述，期望與同行進(jìn)行交流、探討.

2 曲面的有界性及雙側(cè)曲面?zhèn)鹊谋磉_(dá)

為了給出高等數(shù)學(xué)范疇內(nèi)曲面的簡單、通俗的有界性定義，首先給出空間曲面的分類，我們將空間曲面分為三種基本類型：xy型，yz型與zx型.

2.1 三種基本類型曲面及其表達(dá)

定義1設(shè)空間曲面Σ在xOy坐標(biāo)面上的投影區(qū)域為Dxy，如果過區(qū)域Dxy上的任何一點且垂直于xOy坐標(biāo)面的直線與曲面Σ有且只有一個交點，則稱曲面Σ為(區(qū)域Dxy上的)xy型曲面，記為Σxy.

由函數(shù)定義可知，xy型曲面一定可以用方程z=z(x,y)表示，即其表達(dá)式為

Σxy∶z=z(x,y), (x,y)∈Dxy.

(1)

反之，若曲面Σ可由定義在某區(qū)域D上的函數(shù)z=z(x,y)表示，則Σ必為區(qū)域D上的xy型曲面(圖1(a)).

類似地可給出yz型，zx型曲面的定義(略)，且yz型曲面Σyz與zx型曲面Σzx分別具有如下表達(dá)式(圖1(b)，圖1(c))，

Σyz∶x=x(y,z), (y,z)∈Dyz，

(2)

Σzx∶y=y(x,z), (x,z)∈Dzx.

(3)

反之，如果曲面Σ的方程可寫成x=x(y,z) (y,z)∈Dyz，則Σ必為yz型曲面；如果曲面Σ的方程可寫成y=y(x,z), (x,z)∈Dzx，則Σ必為zx型曲面.此處Dyz,Dzx是曲面Σyz,Σzx分別在yOz,xOz與坐標(biāo)面上的投影區(qū)域.

圖1

我們可以想象出許多各種形狀的曲面，甚至非常復(fù)雜的曲面，例如，揉成一團(tuán)的紙團(tuán)的紙面，但我們總可以把這個紙團(tuán)形成的曲面切成許多很小的小片，這些小片都將屬于上述三種基本類型的曲面中的一種. 稱能夠被切成有限塊基本類型曲面的曲面為簡單曲面. 顯然，球面，橢球面等閉曲面是簡單曲面. 高等數(shù)學(xué)教材所涉及的曲面均只限于簡單曲面.

2.2 空間曲面的有界性

在此僅對簡單曲面的有界性進(jìn)行一些討論.

定義2設(shè)空間曲面Σ是基本類型曲面. 如果存在一個半徑為R的球面，曲面Σ可置于此球面內(nèi)，則稱曲面Σ是有界曲面.

由于簡單曲面是由有限塊基本類型的曲面構(gòu)成，所以，簡單曲面Σ有界的充分必要條件是：存在一個半徑為R的球面，簡單曲面Σ可置于此球面內(nèi).

2.3 雙側(cè)曲面與定向曲面

三種基本類型的曲面:xy型、yz型、zx型曲面都是雙側(cè)曲面，這三種曲面的側(cè)順次可用上、下側(cè)，前、后側(cè)，左、右側(cè)來稱謂 (如圖2 ),對于閉曲面，其側(cè)稱謂為外側(cè)與內(nèi)側(cè).指定了側(cè)的雙側(cè)曲面稱為定向曲面.

圖2

下面來討論基本類型曲面定向后的上下、前后、左右側(cè)的數(shù)學(xué)表達(dá)問題.

設(shè)曲面Σ為xy型曲面，記為Σxy，其方程為

Σxy∶z=(x,y), (x,y)∈Dxy,

n=±(zx,zy,-1)

圖3

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

其中Dzx為曲面Σzx在xOz坐標(biāo)面上的投影區(qū)域.

圖4

例如，設(shè)Σ是球面x2+y2+z2=a2的表面外側(cè)位于第一卦限的部分，顯然Σ既是xy型也是yz型和zx型曲面(如圖4 )，則

3 第二類曲面積分的概念、定義及性質(zhì)

3.1 第二類曲面積分的物理背景

在穩(wěn)定流動的流體中置一曲面Σ，假定流體流經(jīng)Σ不受阻力影響(圖5)；設(shè)流體中不同點處的流速不同，即流速v是曲面Σ上點(x,y,z)的向量函數(shù)

v=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)), (x,y,z)∈Σ.

為了后面的方便，也用F表示流速v，即

F=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)), (x,y,z)∈Σ.

(10)

問題求單位時間流體流過定向曲面Σ+的流量Φ.

假定曲面Σ+為光滑有界曲面. 我們用分割、近似求和、取極限的方法可得流量Φ為

圖5

(11)

其中?(ξi,ηi,ζi)∈ΔSi，單位向量

ei=(cosαi,cosβi,cosγi).

(12)

如果將曲面Σ的側(cè)由Σ+改為Σ-，則相應(yīng)的單位向量ei變?yōu)?ei，從而流量應(yīng)是-Φ,表示流體相對Σ+是反向流動.

3.2 第二類曲面積分的定義及性質(zhì)

(13)

一般地，曲面Σ上不同點處的單位向量也不同，所以單位向量e也是曲面Σ上點(x,y,z)的函數(shù)，即e=e(x,y,z)，所以設(shè)

H(x,y,z)=F(x,y,z)·e(x,y,z),

則

(14)

由此可見，一旦曲面的側(cè)被確定，第二類曲面積分就是第一類曲面積分，此式即兩類曲面積分之間的關(guān)系.注意到e=(cosα,cosβ,cosγ),式(14)也可以寫成

(15)

例如

其中P=xy,Q=x2,R=-xyz，即

F(x,y,z)=(xy,x2,-xyz).

我們給出如下第二類曲面積分的存在性結(jié)論：

設(shè)Σ為光滑有界的雙側(cè)曲面，函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在Σ上連續(xù)，

F=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，

由上述定義可知,第二類曲面積分也是和式的極限,所以，對于已講過的其他積分的幾個性質(zhì),第二類曲面積分也有相應(yīng)的性質(zhì)(略). 第二類曲面積分的自有性質(zhì)為

4 第二類曲面積分的計算

設(shè)曲面Σ為xy型曲面,其表達(dá)式由式(4)或式(5)給出,而

,y,z(x,y))·n(x,y,z(x,y)),

由第一類曲面積分的計算公式可得

即

(16)

同理，當(dāng)Σ=Σyz時

(17)

其中向量n由式(6)或(7)給出.當(dāng)Σ=Σzx時

(18)

其中向量n由式(8)或(9)給出.

上述公式(16-18)為第二類曲面積分的計算公式. 另外,為了計算的需要,我們將區(qū)域Dxy,Dyz,Dzx的表達(dá)及向量函數(shù)F(x,y,z)也作為曲面Σ的表達(dá)式的內(nèi)容放入其中.當(dāng)Σ為xy型曲面時，將表達(dá)式(4),(5)分別寫成

圖6

當(dāng)Σ為yz型曲面的前側(cè)時，將Σ的表達(dá)(6)寫成

當(dāng)Σ為zx型曲面的右側(cè)時，將Σ的表達(dá)式(8)寫成

其中“D的表達(dá)式”指根據(jù)D的具體情況寫成x型或y型或z型或θ型區(qū)域的表達(dá)式.

解如圖6，Σ為xy型曲面， 其表達(dá)式為

從而

解如圖7(a)，曲面Σ不是xy型，是zx或yz型，按zx型曲面進(jìn)行計算.此時Σ取右側(cè)，其表達(dá)式為

由于x=ρsinθ,z=ρcosθ(圖7(b))，從而可得

圖7

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下冊)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 樊映川，等.高等數(shù)學(xué)(下冊)[M].北京：高等教育出版社，1964.