關(guān)于高等代數(shù)的結(jié)論及證明教學(xué)的思考與探討

鐘 梅

(嘉應(yīng)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東梅州514015)

美國數(shù)學(xué)家Peirce曾說：“數(shù)學(xué)是產(chǎn)生必要結(jié)論的科學(xué)”，數(shù)學(xué)離不開“結(jié)論”，離不開“證明”.而高等代數(shù)這門課程具有概念多、抽象度高、論證量大的特點(diǎn)，結(jié)論、證明幾乎充滿了它的每一章、每一節(jié)，這些結(jié)論支撐了高等代數(shù)的理論體系，相應(yīng)的證明則建立這理論體系的內(nèi)在聯(lián)系及邏輯關(guān)系.所以這些“結(jié)論及證明”的教學(xué)是高等代數(shù)教學(xué)極其重要的一部分，是需要也值得我們思考和探討的.

1 結(jié)論及證明的教學(xué)方向

高等代數(shù)是大學(xué)本科數(shù)學(xué)各個(gè)專業(yè)的主干基礎(chǔ)課，是數(shù)學(xué)在其他學(xué)科應(yīng)用的基礎(chǔ)課，也是數(shù)學(xué)修養(yǎng)的核心課程.而結(jié)論與證明作為高等代數(shù)的知識體系中的重要部分，有它的角色，有它的作用.因此，對高等代數(shù)結(jié)論及證明的教學(xué)，教師要有相應(yīng)的努力方向.我們簡稱之為教學(xué)方向.

1.1 幫助學(xué)生建構(gòu)自己對高等代數(shù)知識的理解

結(jié)論及證明作為高等代數(shù)內(nèi)容的重要組成部分，其教學(xué)方向應(yīng)是幫助學(xué)生深入地理解結(jié)論與證明本身；幫助學(xué)生建立概念、結(jié)論、方法之間的邏輯關(guān)系；幫助學(xué)生尋找新舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而使學(xué)生更好地了解高等代數(shù)課程的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)，最終使學(xué)生能系統(tǒng)化所獲得的高等代數(shù)知識，能建構(gòu)自己對高等代數(shù)的理解.

1.2 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)論證問題的方法

高等代數(shù)的開設(shè)時(shí)間常常是大學(xué)一年級的第一學(xué)期，這給已經(jīng)習(xí)慣中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式的學(xué)生帶來很多困難.而學(xué)生普遍感到“困難”的是“證明”，一是很多結(jié)論的證明難理解，二是習(xí)題的證明無方法.所以結(jié)論及證明的教學(xué)僅僅講清結(jié)論以及證明推導(dǎo)的邏輯步驟是不夠的.Bourbaki學(xué)派指出：“每一個(gè)數(shù)學(xué)工作者都知道，單是驗(yàn)證了一個(gè)數(shù)學(xué)證明的逐步邏輯推導(dǎo)，卻沒有洞察獲得這一連串推導(dǎo)的背后意念，并不算理解了那個(gè)證明.”因此，結(jié)論及證明的教學(xué)方向還應(yīng)是教師在創(chuàng)設(shè)的教學(xué)情境中，注意引導(dǎo)學(xué)生從中體會、學(xué)習(xí)論證問題的思想、方法，從而能應(yīng)用所學(xué)的證明方法.結(jié)論及證明的教學(xué)應(yīng)是學(xué)生學(xué)習(xí)論證方法的過程和渠道.

1.3 帶領(lǐng)學(xué)生品味結(jié)論及證明的發(fā)現(xiàn)過程

高等代數(shù)是專業(yè)的基礎(chǔ)課程，同時(shí)也是數(shù)學(xué)修養(yǎng)的核心課程，它承載的不僅僅是高等代數(shù)的知識.日本的數(shù)學(xué)教育家米山國藏認(rèn)為：“無論是對科學(xué)工作者、技術(shù)人員還是數(shù)學(xué)工作者，最重要的就是數(shù)學(xué)的精神、思想和方法，而數(shù)學(xué)知識只是第二位的.”所以結(jié)論及證明的教學(xué)方向還應(yīng)是帶領(lǐng)學(xué)生品味發(fā)現(xiàn)結(jié)論本身及其證明所用思想方法的過程，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng).

2 結(jié)論及證明的教學(xué)過程

對于結(jié)論及其證明的講授，傳統(tǒng)的方法主要是介紹結(jié)論然后講解結(jié)論的證明過程，這種相對單一的講授模式既不能給予學(xué)生更有效地幫助，也不符合教學(xué)方向，更不能達(dá)到我們的教學(xué)目標(biāo).所以對結(jié)論及證明，尤其是一些經(jīng)典的結(jié)論及證明，我們的教學(xué)過程要多視角.

2.1 視角一 ——結(jié)論產(chǎn)生的背景

任何一個(gè)結(jié)論的產(chǎn)生都有其背景，或是實(shí)際問題的背景，或是其它學(xué)科的問題背景，或是相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題的背景等等.讓學(xué)生了解這些背景有利于學(xué)生從直觀上、情感上接受結(jié)論的內(nèi)容，從而有利于學(xué)生記憶結(jié)論、理解結(jié)論、應(yīng)用結(jié)論.如

結(jié)論1[1]設(shè)W1和W2都是數(shù)域F上向量空間V的有限維子空間， 那么W1+W2也是有限維的，并且

dim(W1+W2)=dimW1+dimW2-dim(W1∩W2).

這個(gè)結(jié)論我們可從分析解析幾何的三維空間V3的兩個(gè)相交平面π1,π2入手，由

dim(π1+π2)=3, dimπ1=2, dimπ2=2 及 dim(π1∩π2)=1，

得

dim(π1+π2)=dimπ1+dimπ2-dim(π1∩π2).

由此推想對一般向量空間是否有相應(yīng)的結(jié)論1.

類似地，由整數(shù)的一些結(jié)論推想多項(xiàng)式的相關(guān)結(jié)論，由正交變換與正交矩陣的關(guān)系的一些結(jié)論推想對稱變換與對稱矩陣的關(guān)系的相關(guān)結(jié)論等等.

2.2 視角二——證明方法的發(fā)現(xiàn)

雖然結(jié)論的證明方法常常不是教師原創(chuàng)的，但教師還是要給選擇這種證明方法一個(gè)引導(dǎo)、一個(gè)啟發(fā)或一個(gè)合理的解釋.讓學(xué)生感到自然可接受，同時(shí)也讓學(xué)生從中學(xué)習(xí)證明時(shí)選擇恰當(dāng)方法的一些基本思考方式.

如結(jié)論1是討論四個(gè)子空間W1,W2,W1∩W2,W1+W2的維數(shù)的關(guān)系，而維數(shù)的討論常常離不開基，所以如果我們能夠建立這四個(gè)子空間基的關(guān)系，或許我們就可以得出他們的維數(shù)的關(guān)系式.為了建立這四個(gè)子空間的基密切關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生思考是否應(yīng)先設(shè)出最小的子空間W1∩W2的基，再利用基的擴(kuò)充定理分別得到W1,W2得基，從而分析猜測出W1+W2的基.這樣基本的證明方法就呈現(xiàn)出來了.

2.3 視角三——證明的整體架構(gòu)

講授定理證明的具體過程之前，要講清證明方法的整體架構(gòu)，讓學(xué)生對定理的證明方法有一個(gè)宏觀的、粗線條的認(rèn)識.這對學(xué)生理解、學(xué)習(xí)、應(yīng)用結(jié)論的證明方法有很大幫助.

如結(jié)論1的證明的整體架構(gòu)可表示如下：

2.4 視角四——證明的關(guān)鍵點(diǎn)

每個(gè)定理的證明過程中，都有一兩步關(guān)鍵的地方，一旦這關(guān)鍵點(diǎn)被突破，整個(gè)證明就豁然開朗，一蹴而就.教師在講解證明的過程中一定要講清并強(qiáng)調(diào)此處，這也幫助學(xué)生提煉、積累證明的技巧.

如結(jié)論1的證明過程的關(guān)鍵點(diǎn)就是向量組α1,…,αr,β1,…,βs,γ1,…,γt線性無關(guān).只要引導(dǎo)學(xué)生給出這一步的證明，再由α1,…,αr,β1,…,βs,γ1,…,γt為W1+W2的生成元就得出α1,…,αr,β1,…,βs,γ1,…,γt為W1+W2的基.這樣不僅完成了證明也讓學(xué)生再次體驗(yàn)向量組線性無關(guān)的證明方法.

3 結(jié)論及證明的教學(xué)拓展

結(jié)論及證明的教學(xué)過程完成后，我們還要在高等代數(shù)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生深入地思考并動(dòng)手操作有關(guān)結(jié)論及證明的一些問題，從而能更好的完成我們的教學(xué)目標(biāo).

3.1 證明方法的學(xué)習(xí)與應(yīng)用

每一個(gè)結(jié)論的證明都有相應(yīng)的方法，有些結(jié)論的證明方法還有一定的普適性，所以結(jié)論的證明完成后，要及時(shí)總結(jié)，適時(shí)應(yīng)用.可能的話留一些恰當(dāng)?shù)念}目讓學(xué)生應(yīng)用所學(xué)的證明方法去解決，一方面有利于學(xué)生加深對定理的理解，另一方面也讓學(xué)生體會到這一方法應(yīng)用的一般規(guī)律.

如結(jié)論1的證明結(jié)束后，討論下面的結(jié)論2就可利用結(jié)論1的方法.

結(jié)論2[1]n維向量空間V的任意一個(gè)子空間W都有余子空間.如果W′是W的余子空間，那么dimV=dimW+dimW′.

類似的，結(jié)論2的證明的基本架構(gòu)如下：

在進(jìn)一步學(xué)完線性變換后，可考慮留給學(xué)生這樣的練習(xí)題目：

練習(xí)1[2]設(shè)σ是n維向量空間V的線性變換，W是V的一個(gè)子空間.證明

dimW=dimσ(W)+dim(Ker(σ)∩W).

練習(xí)1證明的基本架構(gòu)如下：

從結(jié)論1、結(jié)論2、練習(xí)1三個(gè)證明架構(gòu)中，不難發(fā)現(xiàn)一般的規(guī)律，由此學(xué)生可提煉出這類問題證明的一類方法.

3.2 類似結(jié)論的比較

高等代數(shù)的結(jié)論多，有些結(jié)論相似又有聯(lián)系.初學(xué)時(shí)，學(xué)生易混易亂，教師有必要通過課堂講解引導(dǎo)或作業(yè)引導(dǎo)等形式，讓學(xué)生有意識的比較一些類似的結(jié)論.如以下結(jié)論：

結(jié)論3[1]設(shè)A是數(shù)域F上一個(gè)n階矩陣，則A可以對角化的充要條件是

(i)A的特征根都在F內(nèi)；

(ii) 對于A的每一特征根λ，有秩

(λI-A)=n-s，

其中s是λ的重?cái)?shù).

結(jié)論4[1]設(shè)A是一個(gè)n階實(shí)對稱矩陣，則存在一個(gè)n階正交矩陣U，使得UTAU是實(shí)對角形.

結(jié)論5[1]設(shè)A是數(shù)域F上一個(gè)n階對稱矩陣，則總存在F上一個(gè)n階非奇異矩陣P，使得PTAP是對角形.

以上都跟對角化問題有關(guān)，相似但又有區(qū)別.所以我們要提醒學(xué)生仔細(xì)思考并比較這三個(gè)結(jié)論的條件、證明方法及具體的對角化的方法.這樣學(xué)生對這類易混亂的問題的認(rèn)識和理解會更清楚準(zhǔn)確.

3.3 同類結(jié)論的歸納

學(xué)習(xí)高等代數(shù)，嫻熟地掌握高等代數(shù)中的“結(jié)論”是非常必要的.只有這樣，在討論問題的時(shí)候，才能根據(jù)問題的具體內(nèi)容將所需要的結(jié)論信守捏來，應(yīng)用自如.因此，我們同樣有必要通過各種方式，利用各種渠道讓學(xué)生養(yǎng)成對同類結(jié)論進(jìn)行歸納總結(jié)的習(xí)慣.如矩陣可逆的充要條件有哪些？線性變換是正交變換的充要條件有哪些？正交矩陣有哪些性質(zhì)？等等.

高等代數(shù)的結(jié)論及證明的教學(xué)是高等代數(shù)教學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，涉及高等代數(shù)教學(xué)的方方面面，是需要也值得我們花時(shí)間精力去思考與探討的.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 張禾瑞. 郝鈵新. 高等代數(shù)[M].5版. 北京:高等教育出版社, 2007.

[2] 白述偉. 高等代數(shù)選講[M].哈爾濱：黑龍江教育出版社，2002.