兩個(gè)非獨(dú)立正態(tài)變量的聯(lián)合分布不服從二維正態(tài)分布的示例

張立卓

(對外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京100029)

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材中，我們可以看到下列結(jié)論：

原命題如果二維隨機(jī)變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則無論隨機(jī)變量X與Y是否相互獨(dú)立，隨機(jī)變量X，Y均服從一維正態(tài)分布，且有

同時(shí)

注意到，當(dāng)相關(guān)系數(shù)ρ≠0時(shí)，X與Y不相互獨(dú)立.

逆命題無論一維隨機(jī)變量X與Y是否相互獨(dú)立，只要X與Y均服從正態(tài)分布，則其聯(lián)合概率分布(X,Y)服從二維正態(tài)分布.

對逆命題的理解可以分為如下兩部分：

逆命題A若一維隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X與Y均服從正態(tài)分布，則其聯(lián)合概率分布(X,Y)服從二維正態(tài)分布，且有

同時(shí)

逆命題B若一維隨機(jī)變量X與Y不相互獨(dú)立，只要X與Y均服從正態(tài)分布，則其聯(lián)合概率分布(X,Y)服從二維正態(tài)分布.

命題A顯然成立，命題B不成立，請看示例.

例1設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，同服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1).令隨機(jī)變量

試證明Z～N(0，1)，但隨機(jī)變量(Y,Z)不服從二維正態(tài)分布.

分析 要證明Z～N(0,1)，只需證明Z的分布函數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).可將{X≥0}及{X<0}作為完備事件組，利用全概率公式求解.假如隨機(jī)變量(Y,Z)服從二維正態(tài)分布，則一維隨機(jī)變量Y±Z應(yīng)服從一維正態(tài)分布，P{Y±Z=0}=0，此時(shí)可依題意考查P{Y±Z=0}是否等于0[1].

證設(shè)Z的分布函數(shù)為FZ(z)，視{X≥0}與{X<0}為一個(gè)完備事件組，注意X與Y的獨(dú)立性，由全概率公式，

FZ(z) =P{Z≤z}

=P{Z≤z|X<0}·P{X<0}+P{Z≤z|X≥0}·P{X≥0}

=P{-|Y|≤z|X<0}·P{X<0}+P{|Y|≤z|X≥0}·P{X≥0}

當(dāng)z≥0時(shí)，

當(dāng)z<0時(shí)，

其中Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，所以Z～N(0,1).依題意，

P{Y-Z=0}=P{Y-Z=0|X<0}·P{X<0}+P{Y-Z=0|X≥0}·P{X≥0}

=P{Y+|Y|=0|X<0}·P{X<0}+P{Y-|Y|=0|X≥0}·P{X≥0}

=P{Y+|Y|=0}P{X<0}+P{Y-|Y|=0}P{X≥0}

眾所周知，一維連續(xù)型隨機(jī)變量在任一定點(diǎn)處的概率值均為零，因此隨機(jī)變量Y+Z，Y-Z不是一維連續(xù)型，所以隨機(jī)變量(Y,Z)不是二維連續(xù)型，從而(Y,Z)不服從二維正態(tài)分布.

事實(shí)上，從本例題目中Z與Y的關(guān)系上可以看出，隨機(jī)變量Y與Z不相互獨(dú)立.這一點(diǎn)也可以從所得結(jié)論考查.如果Y與Z相互獨(dú)立，又已知Y與Z均服從正態(tài)分布，則由逆命題A知，聯(lián)合分布(Y,Z)服從二維正態(tài)分布，矛盾！

歸納總結(jié) (i) 若兩個(gè)一維連續(xù)型隨機(jī)變量不相互獨(dú)立，則其和或差分布有可能不服從一維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布，其聯(lián)合分布有可能不服從二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布.

(ii) 若兩個(gè)一維正態(tài)變量不相互獨(dú)立，則其聯(lián)合分布有可能不服從二維正態(tài)分布，其和或差分布有可能不服從一維正態(tài)分布.

例2設(shè)隨機(jī)變量X～N(0,1)，隨機(jī)變量Y的分布律為

且X與Y相互獨(dú)立.令隨機(jī)變量Z=XY，證明Z～N(0,1)，但隨機(jī)變量(X,Z)不服從二維正態(tài)分布[2].

分析 要證明Z～N(0,1)，方法同例1.關(guān)于隨機(jī)變量(X,Z)不服從二維正態(tài)分布的證明，除上例方法外，還可依如下思路：假如隨機(jī)變量(X,Z)服從二維正態(tài)分布，則X與Z的不相關(guān)性與獨(dú)立性等價(jià)，此時(shí)可考查X與Z的不相關(guān)性與獨(dú)立性.

證設(shè)Z的分布函為FZ(z)，視{Y=-1}與{Y=1}為一個(gè)完備事件組，注意X與Y的獨(dú)立性，由全概率公式得

FZ(z) =P{Z≤z}=P{XY≤z}

=P{XY≤z|Y=-1}·P{Y=-1}+P{XY≤z|Y=1}·P{Y=1}

=P{X≥-z}·P{Y=-1}+P{X≤z}·P{Y=1}

=0.5(1-Φ(-z))+0.5Φ(z)

=Φ(z) (Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)),

所以Z～N(0,1).

下面用兩種方法證明隨機(jī)變量(X,Y)不服從二維正態(tài)分布.

證法1P{X-Z=0}

=P{X-XY=0}

=P{X(Y-1)=0|Y=-1}P{Y=-1}+P{X(Y-1)=0|Y=1}P{Y=1}

類似地，

所以X±Z不是一維連續(xù)隨機(jī)變量，從而(X,Z)不是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，因此隨機(jī)變量(X,Z)不服從二維正態(tài)分布.

證法2由題設(shè)，E(X)=E(Y)=0，且X與Y相互獨(dú)立.依定義，X與Z的協(xié)方差為

Cov(X,Z) =Cov(X,XY)=E(X2Y)-E(X)E(XY)

=E(X2)E(Y)-E(X)E(X)E(Y)=0.

又D(X)=1,D(Z)=1，從而

因此X與Z不相關(guān).

對于兩特定事件{X≥1}與{Z≤1}，利用全概率公式，

P{X≥1,Z≤1}

=P{X≥1,XY≤1}

=P{X≥1,XY≤1|Y=-1}P{Y=-1}+P{X≥1,XY≤1|Y=1}P{Y=1}

=P{X≥1,X≥-1|Y=-1}P{Y=-1}+P{X≥1,X≤1|Y=1}P{Y=1}

{X≥1,X≥-1}+P{X≥1,X≤1})

P{X≥1,Z≤1}≠P{X≥1}·P{Z≤1}.

依定義，隨機(jī)變量X與Z不相互獨(dú)立.

由X與Z不相關(guān)但X與Z不相互獨(dú)立可知，隨機(jī)變量(X,Z)不服從二維正態(tài)分布.

歸納總結(jié) 即使兩個(gè)一維正態(tài)隨機(jī)變量不相關(guān)，但只要不相互獨(dú)立，則其聯(lián)合分布有可能不服從二維正態(tài)分布.

例3設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為

其中

證明二維隨機(jī)變量(X,Y)的邊緣分布都是正態(tài)分布，但(X,Y)不服從二維正態(tài)分布.

分析 在該例中，二維隨機(jī)變量(X,Y)是連續(xù)型，可先依定義求出兩個(gè)邊緣概率密度，確認(rèn)其所服從的正態(tài)分布，再考查X與Y的獨(dú)立性與不相關(guān)性.

證設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的邊緣概率密度分別為fX(x),fY(y)，依定義，

即X～N(0，1).類似地，

, -∞

即Y～N(0，1).由題設(shè)，當(dāng)-π

f(x,y)≠fX(x)·fY(y)，

所以隨機(jī)變量X與Y不相互獨(dú)立.

由上述結(jié)論知，E(X)=E(Y)=0，

=0,

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.

又

所以X與Y不相關(guān).

由X與Y不相關(guān)但X與Y不相互獨(dú)立可知，隨機(jī)變量(X,Y)不服從二維正態(tài)分布.

歸納總結(jié) 即使兩個(gè)一維正態(tài)變量不相關(guān)且其聯(lián)合分布是二維連續(xù)型，但只要二者不相互獨(dú)立，則其聯(lián)合分布仍有可能不服從二維正態(tài)分布.

面對一個(gè)數(shù)學(xué)命題，其結(jié)論有時(shí)會(huì)被學(xué)生逆過來使用.如果逆命題不成立，那就需要教師挖掘反例來給予佐證說明.特別是來自不同角度的反例，會(huì)使學(xué)生對該定理的理解更加深刻與準(zhǔn)確，這種挖掘反例的教學(xué)方法也為教師構(gòu)想教學(xué)環(huán)節(jié)帶來了新的思路.

在設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師要注意以下三個(gè)方面：第一，教師需將知識點(diǎn)科學(xué)系統(tǒng)地融合在一起，引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握課程知識體系的脈絡(luò)，這樣才能使學(xué)生能融會(huì)貫通地領(lǐng)悟貫穿于其中的數(shù)學(xué)思想.第二，從分析推理的展開，計(jì)算與論證的實(shí)施，到凝練、延伸與升華，教師需向?qū)W生闡明數(shù)學(xué)方法在解決問題的過程中所發(fā)揮的作用與功能.第三，數(shù)學(xué)技巧往往來自豐富的想象與繁銳的洞察力，其在計(jì)算與論證中所顯示出的靈活性與敏捷性，對引發(fā)、開拓和深化學(xué)生的理性思維有著深遠(yuǎn)的影響[3].這也是學(xué)生應(yīng)有所體驗(yàn)與認(rèn)識的.因此，數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)技巧是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵要素，是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂，是教師在教學(xué)中應(yīng)給予總結(jié)與傳承的.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 蘇淳.概率論[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[2] 茆詩松.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2011.

[3] 李賢平，沈崇圣，陳子毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2003.

[4] 宋明娟，朱思宇.隨機(jī)變量變換分布的若干推論及應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2012，28(6),95-99.