數(shù)學(xué)教輔書(shū)中的一類(lèi)極值問(wèn)題解答錯(cuò)誤及修正

楊合俊

(長(zhǎng)安大學(xué)理學(xué)院, 陜西西安710064)

1 引 言

近幾十年來(lái)，各種微積分教輔書(shū)、考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)書(shū)，層出不窮，這說(shuō)明中國(guó)的大學(xué)教育、研究生教育得到了蓬勃的發(fā)展，也說(shuō)明青年學(xué)生們?nèi)找嬷匾晫?duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).筆者最近就一個(gè)實(shí)際生活中的極值問(wèn)題，查閱了一些相關(guān)的書(shū)籍，發(fā)現(xiàn)該題及其變形，作為導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用，出現(xiàn)在各種版本的數(shù)學(xué)教輔書(shū)中. 但是，編者們提供的解法，有的違反了科學(xué)精神，主觀臆斷，導(dǎo)致了錯(cuò)誤的結(jié)論；有的缺乏深入分析，結(jié)果自相矛盾.

2 一些高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)書(shū)中一類(lèi)極值問(wèn)題及其解答的分析

2.1 主觀臆斷，導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論的解答

問(wèn)題1大衣柜能搬進(jìn)新居嗎[1](1997年出版的《高等數(shù)學(xué)應(yīng)用205例》中的第59例)：

老張臨搬家前，站在自己大衣柜旁發(fā)愁.擔(dān)心這大衣柜搬不進(jìn)新居，站在一旁的小李馬上拿了一把尺子出去了.不一會(huì)兒，小李對(duì)老張說(shuō)：“從量得電梯前樓道和單元前樓道寬度，絕對(duì)沒(méi)問(wèn)題”.請(qǐng)問(wèn)小李的根據(jù)是什么?

原書(shū)提供了如下解答(有刪節(jié))：

圖1 搬運(yùn)示意圖

可是，現(xiàn)在卻出現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題：根據(jù)我們的生活經(jīng)驗(yàn)，長(zhǎng)度過(guò)大的大衣柜無(wú)法轉(zhuǎn)過(guò)樓道拐角，客觀上，確實(shí)存在著一個(gè)能夠轉(zhuǎn)過(guò)樓道拐角的大衣柜的最大值，而我們算出的卻是最小值，那么，問(wèn)題出在哪里呢？

實(shí)際上，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，如果某一成功地轉(zhuǎn)過(guò)了樓道拐角的大衣柜的長(zhǎng)度恰好是最大的，那么，在轉(zhuǎn)動(dòng)它的最艱難的時(shí)刻，這個(gè)大衣柜的兩端在某兩點(diǎn)B，C處緊挨外側(cè)墻壁，同時(shí)中部緊挨拐角A(如圖1中所示)，這時(shí)點(diǎn)B、點(diǎn)C間的距離是經(jīng)過(guò)拐角A且兩端點(diǎn)分別在外側(cè)墻壁上的線(xiàn)段的長(zhǎng)度的最小值.若大衣柜的長(zhǎng)度比這個(gè)值稍微大上一絲一毫，都會(huì)被卡死，不能轉(zhuǎn)動(dòng)，所以能轉(zhuǎn)過(guò)樓道拐角的大衣柜，其長(zhǎng)度當(dāng)然不能超過(guò)這一數(shù)值，因而這一數(shù)值就是能轉(zhuǎn)過(guò)樓道拐角的大衣柜的長(zhǎng)度的最大值.

在這一實(shí)際問(wèn)題中，相互垂直的兩樓道的寬度是確定的，因而兩端點(diǎn)分別在外側(cè)墻壁上且經(jīng)過(guò)拐角A的線(xiàn)段的長(zhǎng)度是確定的，它是轉(zhuǎn)角φ的一元函數(shù)，它有一個(gè)最小值，大衣柜能否轉(zhuǎn)過(guò)樓道拐角，受制于這一最小值.因而，我們應(yīng)該將研究對(duì)象轉(zhuǎn)換為上述的線(xiàn)段，設(shè)其長(zhǎng)度為y，則

解出的y的最小值，就是能轉(zhuǎn)過(guò)樓道拐角的大衣柜的長(zhǎng)度的最大值.

2.2 缺乏深入分析，結(jié)果自相矛盾的解答

類(lèi)似的題目還出現(xiàn)在馬進(jìn)業(yè)于1987年編的《高等數(shù)學(xué)典型試題分析》中，原題與解法如下(有刪節(jié))：

問(wèn)題2[2]向?qū)挒閍米的河修建一條寬為b米的運(yùn)河，二者成直角相交.問(wèn)能駛進(jìn)運(yùn)河的船的最大長(zhǎng)度為多少？

分析 求一個(gè)量的最大值，必須把該量寫(xiě)為某個(gè)量的函數(shù).自變量的選取要由具體問(wèn)題確定.本題求船長(zhǎng)的最大值，船長(zhǎng)與河寬a和運(yùn)河寬b有關(guān)，而這種關(guān)系是通過(guò)角度α聯(lián)系著的.所以應(yīng)把船長(zhǎng)s寫(xiě)成α的函數(shù)：

可見(jiàn)，編者并沒(méi)有對(duì)該問(wèn)題作深入的探究，當(dāng)解出船長(zhǎng)的最小值后，沒(méi)有陳述這個(gè)最小值與能駛進(jìn)運(yùn)河的船的最大長(zhǎng)度有何關(guān)系，解答就結(jié)束了.對(duì)于出現(xiàn)的矛盾，無(wú)視其存在，沒(méi)有給出令人信服的解釋.

為什么編者解得的結(jié)果與答案是矛盾的呢？事實(shí)上，如前所述，根源在于編者對(duì)該問(wèn)題中量之間的關(guān)系，沒(méi)有作深入的研究.

其實(shí)，該題目更早出現(xiàn)于1980年，是由費(fèi)定暉、周學(xué)圣編演的《數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解(二)》(吉米多維奇著)中的第1587題[3]，編者提供了簡(jiǎn)短的解答，是正確的.

2.3 問(wèn)題的變形中自相矛盾的解答

在王壽生于1996年主編的《考研數(shù)學(xué)常見(jiàn)題型分析及模擬試題》中，該題以下面的一個(gè)變化形式出現(xiàn)：

問(wèn)題3[4]寬為a的走廊與另一走廊垂直相交.如果長(zhǎng)為8a的細(xì)桿能水平地運(yùn)過(guò)拐角，問(wèn)另一走廊的寬度至少是多少?

題后提供了如下解法：

圖2

解設(shè)另一走廊寬為b，細(xì)桿與壁夾角為φ(見(jiàn)圖2)，則

于是

事實(shí)上，在這一問(wèn)題中，已知走廊的寬度a是一定的，長(zhǎng)為8a的細(xì)桿可理解為必須通過(guò)的消防設(shè)施(只是過(guò)長(zhǎng)了些)，而另一走廊的寬度有待設(shè)計(jì)者確定.根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，另一走廊越寬，則細(xì)桿越容易通過(guò)，怎么可能有最大值的限制！但是，編者的計(jì)算并沒(méi)有出錯(cuò)，那么，問(wèn)題出在哪里呢？

其實(shí)，在編者給出的函數(shù)

同樣的題目以及類(lèi)似的自相矛盾的解法還出現(xiàn)在參考文獻(xiàn)[5-9]中.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 李心燦. 高等數(shù)學(xué)應(yīng)用205例[M].北京:高等教育出版社,1997:101.

[2] 馬進(jìn)業(yè).高等數(shù)學(xué)典型試題分析[M].長(zhǎng)沙： 湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1987:204.

[3] 費(fèi)定暉,周學(xué)圣.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解(二)(吉米多維奇)[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1980:523.

[4] 王壽生.考研數(shù)學(xué)常見(jiàn)題型分析及模擬試題[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社,1996:28.

[5] 張孟秋.工科數(shù)學(xué)綜合訓(xùn)練與應(yīng)試指南(上冊(cè))[M].長(zhǎng)沙：中南工業(yè)大學(xué)出版社,1997:208.

[6] 車(chē)向凱,謝崇遠(yuǎn),王學(xué)理,孫艷蕊,付連魁,孔慶海.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))[M].沈陽(yáng)：東北大學(xué)出版社，2005:.158-159.

[7] 陸子芬.高等數(shù)學(xué)解析大全—理論·問(wèn)題·方法·技巧[M]. 沈陽(yáng)：遼寧科學(xué)技術(shù)出版社，1991:227.

[8] 邵士敏.2001年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)應(yīng)試指導(dǎo)工學(xué)類(lèi)[M]. 北京：北京大學(xué)出版社，2000：230.

[9] 王荷芬,王健生,歸行茂,李重華,邵漪漪,桂子鵬,柴常智,曹助我.高等數(shù)學(xué)試題匯解(1978-1989)[M]. 上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，1990:215.