單位向量用途大

顧珊嵐

單位向量是長(zhǎng)度等于1的向量.它在向量大家庭中的地位舉足輕重.對(duì)有些問題，特別是關(guān)于角平分線的問題，若能根據(jù)其特點(diǎn)構(gòu)造單位向量，就可迅速地找到解題的切人點(diǎn)，使解題過(guò)程簡(jiǎn)捷，幾何背景直觀，運(yùn)算化繁為簡(jiǎn)，令人有四兩撥千斤之感.

通過(guò)引例我們發(fā)現(xiàn)，單位向量與角平分線有著密切的聯(lián)系，兩個(gè)單位向量的和具有這樣的幾何性質(zhì)：

當(dāng)問題的呈現(xiàn)形式與單位向量、角平分線有著直接或隱含的聯(lián)系時(shí)，借助于以上性質(zhì)，就可以達(dá)到快速而正確地解決問題的目的.

分析 此題從表面上看考察了向量的模和向量的夾角問題，可運(yùn)用學(xué)過(guò)的公式，從代數(shù)角度進(jìn)行求解.從幾何角度，我們發(fā)現(xiàn)“夾角相等”與角平分線有聯(lián)系，所以可以通過(guò)構(gòu)造單位向量，利用單位向量和的幾何性質(zhì)來(lái)優(yōu)化此題的解題過(guò)程.

說(shuō)明 按照常規(guī)解法，設(shè)c=（x，y），需求解關(guān)于x，y的方程組，計(jì)算量較大；利用單位向量求解，簡(jiǎn)潔明快，流暢自然.

分析 此題考察的是向量的線性運(yùn)算，關(guān)鍵是題目中“角A的平分線”怎么用？我們緊扣“角A的平分線”這一已知條件，直接利用兩個(gè)單位向量的和的幾何性質(zhì)來(lái)處理，則解題思路清晰明了，過(guò)程也簡(jiǎn)便.

說(shuō)明 巧妙利用單位向量來(lái)處理角平分線問題，運(yùn)算也能得到優(yōu)化.

說(shuō)明 從兩個(gè)單位向量的和的幾何性質(zhì)出發(fā)來(lái)分析解答，避繁就簡(jiǎn)，一氣呵成.

由此可見在解決與角平分線有關(guān)的問題時(shí)，如果僅僅拘于傳統(tǒng)思維方式思考，則頭緒繁雜，不易突破；若抓住問題的內(nèi)在聯(lián)系，運(yùn)用構(gòu)造單位向量這種思維模式，則可以達(dá)到事半功倍的效果，當(dāng)然，在解決問題的過(guò)程中應(yīng)因題制宜，靈活運(yùn)用，恰當(dāng)選擇，方可立于不敗之地.