追本溯源，穩(wěn)固根基

曲婷

都說(shuō)高考題源于課本，因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要立足課本而活于課本，那么，怎樣才能做到這一點(diǎn)呢？這里，我們就通過(guò)平面向量的學(xué)習(xí)來(lái)感受一下課本這一源頭之水的妙處，

一、追本

1.解法

思路1

線性運(yùn)算，本題中，第（l）題數(shù)量積運(yùn)算所需條件充足，只需要注意向量夾角的方向；第（2）題，是高考常見(jiàn)題型，需要利用平面向量基本定理，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知夾角、長(zhǎng)度的（可以做為基底）的向量.

思路2

坐標(biāo)運(yùn)算，本題中的條件有些特殊性，根據(jù)3，4，5的長(zhǎng)度，我們可以確定這個(gè)三角形是一個(gè)直角三角形，可以借助這個(gè)垂直的有利條件，建立平面直角坐標(biāo)系.這樣的益處是，所有的點(diǎn)的坐標(biāo)都是已知的，容易確定各向量的坐標(biāo).

2.評(píng)析

思路1

線性運(yùn)算的本質(zhì)是將未知向量用已知向量線性表示，將未知化為已知，將不熟悉的化為熟悉的向量，這種方法，要求我們對(duì)于圖形特點(diǎn)非常熟悉，能夠清楚地弄懂各個(gè)向量的位置關(guān)系，從而利用加法、減法法則來(lái)進(jìn)行未知向量的轉(zhuǎn)化.

思路2 坐標(biāo)運(yùn)算，圖形的特殊性恰為解題的優(yōu)越性，這里，因?yàn)榇怪边@個(gè)特殊的位置關(guān)系，有利于建立直角坐標(biāo)系，將所有的點(diǎn)的位置唯一確定，這樣一來(lái)，只需要點(diǎn)的坐標(biāo)就可以計(jì)算出所需向量的坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算的公式來(lái)進(jìn)行求解.

顯然，對(duì)于此題，坐標(biāo)運(yùn)算更加簡(jiǎn)單，但并不是所有的問(wèn)題都能輕易用坐標(biāo)來(lái)解決的，比如一些斜三角形，即使建立了直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)也未必能夠簡(jiǎn)單地表示出來(lái)，那么建立直角坐標(biāo)系的方法便沒(méi)了優(yōu)勢(shì).因此，我們有必要根據(jù)已知條件，合理選擇方法.

二、溯源

通過(guò)以上分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，平面向量問(wèn)題的處理，最常見(jiàn)的，無(wú)外乎兩種方法：一種就是線性運(yùn)算，常見(jiàn)的就是基底轉(zhuǎn)換，將目標(biāo)用已知關(guān)系、已知長(zhǎng)度的向量，利用三角形法則、平行四邊形法則進(jìn)行表示，從而達(dá)到解題的目的；另一方法就是坐標(biāo)運(yùn)算，常見(jiàn)有垂直關(guān)系的圖形，也有一些非垂直關(guān)系的特殊對(duì)稱圖形，通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算快速解題.

其實(shí)，無(wú)論是線性運(yùn)算還是坐標(biāo)運(yùn)算，其本質(zhì)都是一種基底轉(zhuǎn)換的思想，即將未知所求向量向已知向量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

三、感受高考

思路2

已知等邊三角形，常以一條高所在直線為y軸，但本題已知條件都是以點(diǎn)C為起點(diǎn)，故將點(diǎn)C做為原點(diǎn)比較好.

通過(guò)以上課本習(xí)題和高考題的聯(lián)系與比較，我們不難發(fā)現(xiàn)，其實(shí)這類問(wèn)題都是利用平面向量基本定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將不熟悉的、未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的、已知的條件進(jìn)行求解.

思路1就是尋找恰當(dāng)?shù)囊唤M基底（可能是已知其長(zhǎng)度和二者的夾角，或者是已知二者的數(shù)量積，或其他相關(guān)條件等），其他向量均用它們來(lái)表示，然后代人計(jì)算；思路2就是選擇恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)坐標(biāo)（如注意到中點(diǎn)、三等分點(diǎn)等），將向量用坐標(biāo)表示，最終將問(wèn)題歸結(jié)為代數(shù)運(yùn)算.

高考題源于課本，因此，我們需要重視課本，踏踏實(shí)實(shí)地做好課本習(xí)題，仔細(xì)斟酌其內(nèi)涵，才能在高考中有的放矢，成功解題.