含源線性單口網(wǎng)絡(luò)等效電阻的求解

摘要：戴維南定理和諾頓定理為人們求解復(fù)雜電路的等效電路提供了一種重要的方法，在實(shí)際運(yùn)用中，難度較大的是如何求解戴維南和諾頓等效電路中的等效電阻，即含源線性單口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。本文總結(jié)了幾種常見的求解等效電阻的方法，以及人們在求解過程容易出現(xiàn)的誤區(qū)。

關(guān)鍵詞：含源線性單口網(wǎng)絡(luò)；等效電阻；求解

中圖分類號(hào)：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）15-0119-02

對求解含源線性單口網(wǎng)絡(luò)的等效電路問題，戴維南定理和諾頓定理提供了一種普遍適用的方法，定理指出：含電源的線性單口網(wǎng)絡(luò)，不論其結(jié)構(gòu)如何復(fù)雜，就其端口而言，可等效為一個(gè)加壓源和電阻相串聯(lián)的形式，或等效為一個(gè)電流源與電阻相并聯(lián)的形式。在線性電阻電路中，網(wǎng)絡(luò)由獨(dú)立電源、各種受控源及電阻等線性元件組成，對電路本身而言，除了獨(dú)立電源，其他元件均可看成電路的負(fù)載，相當(dāng)于一個(gè)電阻元件，我們稱之為等效電阻。由此可見，戴維南定理和諾頓定理中的電阻就是這里的等效電阻。在運(yùn)用這兩個(gè)定理求解線性單口網(wǎng)絡(luò)的等效電路時(shí)，關(guān)鍵在于如何求得單口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻Req。筆者結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，通過分析線性單口網(wǎng)絡(luò)的不同含源情況，總結(jié)歸納出了三種求解等效電阻的方法。

方法一：直接求解法。當(dāng)線性單口網(wǎng)絡(luò)只含有獨(dú)立電源（獨(dú)立電壓源或獨(dú)立電流源）而不含受控源時(shí)，可將單口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的獨(dú)立電源置零，即將獨(dú)立電壓源短路，獨(dú)立電流源斷路，然后利用各電阻之間的聯(lián)接方式，直接根據(jù)串并聯(lián)公式或Δ-Y變換化法，求得等效電阻Req。

例1 求圖1所示電路的戴維南等效電阻Req，其中Us1=40V，Is2=30A，R1=R2=R4=4Ω，R3=R5=8Ω。

解：先將電壓源短路，電流源斷路。此時(shí)，電阻R2、R3被短路，故端口ab處的等效電阻為：

Rep=（R1+R4）//R5=（4Ω+4Ω）//8Ω=4Ω

方法二：開路短路法。當(dāng)單口網(wǎng)絡(luò)既含有獨(dú)立電源又含有受控源時(shí)，無法采用方法一來直接求解等效電阻，可用該單口網(wǎng)絡(luò)的開路電壓Uoc與短路電流Isc之比來求解，短路電流方向是由開路電壓正極流向負(fù)極。

例2 求如圖2所示單口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻Req。已知：R1=15Ω，R2=5Ω，R3=10Ω，Us=10V。

解：先求ab端為開路時(shí)的電壓Uoc，如圖2（a）。要想求Uoc，需要先知道流過電阻R3電流i的大小，電流i可根據(jù)左邊的回路，列出回路電壓方程求得，即：

R1i+R2（i-ai）+R3i=us'

i=■=■A

從而：uoc=R3i=10×■=■V

求短路電流，即將ab端短接求如圖2（b）電路所示的電流Isc。ab端相聯(lián)，即R3被短接，流過R3的電流為零，所以有：

R1Isc+R2Isc=us

Isc=■=■A

由此可得：Req=■=■Ω

注意：在用開路短路法時(shí)，如求得的開路電壓Uoc=0，則此法不可用，也不必再求Isc，Isc也必為零。此時(shí)只能用其他方法來求解單口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻了。

方法三：外加電源法。在求解復(fù)雜的二端口網(wǎng)絡(luò)，尤其是含受控源的二端口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻時(shí)，可以通過在網(wǎng)絡(luò)輸出端外加上電壓源（或電流源），然后求出輸出端的電流（或電壓），再由公式RO=■，求得等效電阻Req。但人們在利用這一方法求解等效電阻時(shí)，常存在一誤區(qū)，即一直強(qiáng)調(diào)要將單口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的獨(dú)立源置零，電壓源短路，電流源斷路。實(shí)際上，在利用該法時(shí)，內(nèi)部獨(dú)立源不一定要置零，因?yàn)榇朔▽?shí)際上是利用二端口的VCR關(guān)系，如果獨(dú)立源置零，那么對于線性時(shí)不變電阻電路而言，端口VCR在U-I平面上是一條經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線；如果獨(dú)立源不置零，那么端口的VCR關(guān)系是一條不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，但這兩條直線的斜率是一樣的。而我們的等效電阻更準(zhǔn)確一點(diǎn)講是VCR關(guān)系曲線的斜率，所以不管獨(dú)立源置零不置零，直線的斜率是不會(huì)發(fā)生變化的，也就是等效電阻是不變的。

例3 求如圖3所示單口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻Req。已知：R1=15Ω，R2=5Ω，R3=10Ω，Us=10V。

解：我們采用外加電源的方法，在端口處外加一電壓源（或電流源），求出端口電流（或端口電壓）的關(guān)系。如將獨(dú)立源置零，即將10V電壓源短接。則有：

u=R3i1=R2（i+αi1-i1）+R1（i-i1）

解得：u=■i，所以Req=■。

如果獨(dú)立源電壓源不置零，即保留10V電壓源。則有：

u=R3i1=R2（i+αi1-i1）+R1（i-i1）+10

解得：u=■i+■，這是一條不通過V-I平面原點(diǎn)的直線，直線斜率即等效電阻同樣為Req=■Ω。由此可見，在用外加電源法求單口網(wǎng)絡(luò)等效電阻時(shí)，內(nèi)部獨(dú)立源置零不置零均可。

有多種方法求解含源線性單口網(wǎng)絡(luò)等效電阻，但每一種方法適用的對象不同和求解難易程度不同，在這些方法中，方法一最簡單，但受限也最大，單口網(wǎng)絡(luò)中不能含有受控源。方法二是最常用的方法，大部分情況下都可以采用這種方法，但當(dāng)開路電壓或短路電流為零時(shí)，就無法使用該方法了。方法三是最普適的方法，求等效電阻時(shí)，內(nèi)置獨(dú)立源既可以置零也可以不置零。

參考文獻(xiàn)：

[1]李瀚蓀.電路分析基礎(chǔ)[M].第4版.北京：高等教育出版社，2011.

[2]邱光源.電路[M].第5版.北京：高等教育出版社，2012.

作者簡介：陳海濤（1978-），男，河南人，博士，副教授，研究方向：電氣工程。endprint

摘要：戴維南定理和諾頓定理為人們求解復(fù)雜電路的等效電路提供了一種重要的方法，在實(shí)際運(yùn)用中，難度較大的是如何求解戴維南和諾頓等效電路中的等效電阻，即含源線性單口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。本文總結(jié)了幾種常見的求解等效電阻的方法，以及人們在求解過程容易出現(xiàn)的誤區(qū)。

關(guān)鍵詞：含源線性單口網(wǎng)絡(luò)；等效電阻；求解

中圖分類號(hào)：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）15-0119-02

對求解含源線性單口網(wǎng)絡(luò)的等效電路問題，戴維南定理和諾頓定理提供了一種普遍適用的方法，定理指出：含電源的線性單口網(wǎng)絡(luò)，不論其結(jié)構(gòu)如何復(fù)雜，就其端口而言，可等效為一個(gè)加壓源和電阻相串聯(lián)的形式，或等效為一個(gè)電流源與電阻相并聯(lián)的形式。在線性電阻電路中，網(wǎng)絡(luò)由獨(dú)立電源、各種受控源及電阻等線性元件組成，對電路本身而言，除了獨(dú)立電源，其他元件均可看成電路的負(fù)載，相當(dāng)于一個(gè)電阻元件，我們稱之為等效電阻。由此可見，戴維南定理和諾頓定理中的電阻就是這里的等效電阻。在運(yùn)用這兩個(gè)定理求解線性單口網(wǎng)絡(luò)的等效電路時(shí)，關(guān)鍵在于如何求得單口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻Req。筆者結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，通過分析線性單口網(wǎng)絡(luò)的不同含源情況，總結(jié)歸納出了三種求解等效電阻的方法。

方法一：直接求解法。當(dāng)線性單口網(wǎng)絡(luò)只含有獨(dú)立電源（獨(dú)立電壓源或獨(dú)立電流源）而不含受控源時(shí)，可將單口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的獨(dú)立電源置零，即將獨(dú)立電壓源短路，獨(dú)立電流源斷路，然后利用各電阻之間的聯(lián)接方式，直接根據(jù)串并聯(lián)公式或Δ-Y變換化法，求得等效電阻Req。

例1 求圖1所示電路的戴維南等效電阻Req，其中Us1=40V，Is2=30A，R1=R2=R4=4Ω，R3=R5=8Ω。

解：先將電壓源短路，電流源斷路。此時(shí)，電阻R2、R3被短路，故端口ab處的等效電阻為：

Rep=（R1+R4）//R5=（4Ω+4Ω）//8Ω=4Ω

方法二：開路短路法。當(dāng)單口網(wǎng)絡(luò)既含有獨(dú)立電源又含有受控源時(shí)，無法采用方法一來直接求解等效電阻，可用該單口網(wǎng)絡(luò)的開路電壓Uoc與短路電流Isc之比來求解，短路電流方向是由開路電壓正極流向負(fù)極。

例2 求如圖2所示單口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻Req。已知：R1=15Ω，R2=5Ω，R3=10Ω，Us=10V。

解：先求ab端為開路時(shí)的電壓Uoc，如圖2（a）。要想求Uoc，需要先知道流過電阻R3電流i的大小，電流i可根據(jù)左邊的回路，列出回路電壓方程求得，即：

R1i+R2（i-ai）+R3i=us'

i=■=■A

從而：uoc=R3i=10×■=■V

求短路電流，即將ab端短接求如圖2（b）電路所示的電流Isc。ab端相聯(lián)，即R3被短接，流過R3的電流為零，所以有：

R1Isc+R2Isc=us

Isc=■=■A

由此可得：Req=■=■Ω

注意：在用開路短路法時(shí)，如求得的開路電壓Uoc=0，則此法不可用，也不必再求Isc，Isc也必為零。此時(shí)只能用其他方法來求解單口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻了。

方法三：外加電源法。在求解復(fù)雜的二端口網(wǎng)絡(luò)，尤其是含受控源的二端口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻時(shí)，可以通過在網(wǎng)絡(luò)輸出端外加上電壓源（或電流源），然后求出輸出端的電流（或電壓），再由公式RO=■，求得等效電阻Req。但人們在利用這一方法求解等效電阻時(shí)，常存在一誤區(qū)，即一直強(qiáng)調(diào)要將單口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的獨(dú)立源置零，電壓源短路，電流源斷路。實(shí)際上，在利用該法時(shí)，內(nèi)部獨(dú)立源不一定要置零，因?yàn)榇朔▽?shí)際上是利用二端口的VCR關(guān)系，如果獨(dú)立源置零，那么對于線性時(shí)不變電阻電路而言，端口VCR在U-I平面上是一條經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線；如果獨(dú)立源不置零，那么端口的VCR關(guān)系是一條不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，但這兩條直線的斜率是一樣的。而我們的等效電阻更準(zhǔn)確一點(diǎn)講是VCR關(guān)系曲線的斜率，所以不管獨(dú)立源置零不置零，直線的斜率是不會(huì)發(fā)生變化的，也就是等效電阻是不變的。

例3 求如圖3所示單口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻Req。已知：R1=15Ω，R2=5Ω，R3=10Ω，Us=10V。

解：我們采用外加電源的方法，在端口處外加一電壓源（或電流源），求出端口電流（或端口電壓）的關(guān)系。如將獨(dú)立源置零，即將10V電壓源短接。則有：

u=R3i1=R2（i+αi1-i1）+R1（i-i1）

解得：u=■i，所以Req=■。

如果獨(dú)立源電壓源不置零，即保留10V電壓源。則有：

u=R3i1=R2（i+αi1-i1）+R1（i-i1）+10

解得：u=■i+■，這是一條不通過V-I平面原點(diǎn)的直線，直線斜率即等效電阻同樣為Req=■Ω。由此可見，在用外加電源法求單口網(wǎng)絡(luò)等效電阻時(shí)，內(nèi)部獨(dú)立源置零不置零均可。

有多種方法求解含源線性單口網(wǎng)絡(luò)等效電阻，但每一種方法適用的對象不同和求解難易程度不同，在這些方法中，方法一最簡單，但受限也最大，單口網(wǎng)絡(luò)中不能含有受控源。方法二是最常用的方法，大部分情況下都可以采用這種方法，但當(dāng)開路電壓或短路電流為零時(shí)，就無法使用該方法了。方法三是最普適的方法，求等效電阻時(shí)，內(nèi)置獨(dú)立源既可以置零也可以不置零。

參考文獻(xiàn)：

[1]李瀚蓀.電路分析基礎(chǔ)[M].第4版.北京：高等教育出版社，2011.

[2]邱光源.電路[M].第5版.北京：高等教育出版社，2012.

作者簡介：陳海濤（1978-），男，河南人，博士，副教授，研究方向：電氣工程。endprint

摘要：戴維南定理和諾頓定理為人們求解復(fù)雜電路的等效電路提供了一種重要的方法，在實(shí)際運(yùn)用中，難度較大的是如何求解戴維南和諾頓等效電路中的等效電阻，即含源線性單口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。本文總結(jié)了幾種常見的求解等效電阻的方法，以及人們在求解過程容易出現(xiàn)的誤區(qū)。

關(guān)鍵詞：含源線性單口網(wǎng)絡(luò)；等效電阻；求解

中圖分類號(hào)：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）15-0119-02

對求解含源線性單口網(wǎng)絡(luò)的等效電路問題，戴維南定理和諾頓定理提供了一種普遍適用的方法，定理指出：含電源的線性單口網(wǎng)絡(luò)，不論其結(jié)構(gòu)如何復(fù)雜，就其端口而言，可等效為一個(gè)加壓源和電阻相串聯(lián)的形式，或等效為一個(gè)電流源與電阻相并聯(lián)的形式。在線性電阻電路中，網(wǎng)絡(luò)由獨(dú)立電源、各種受控源及電阻等線性元件組成，對電路本身而言，除了獨(dú)立電源，其他元件均可看成電路的負(fù)載，相當(dāng)于一個(gè)電阻元件，我們稱之為等效電阻。由此可見，戴維南定理和諾頓定理中的電阻就是這里的等效電阻。在運(yùn)用這兩個(gè)定理求解線性單口網(wǎng)絡(luò)的等效電路時(shí)，關(guān)鍵在于如何求得單口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻Req。筆者結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，通過分析線性單口網(wǎng)絡(luò)的不同含源情況，總結(jié)歸納出了三種求解等效電阻的方法。

方法一：直接求解法。當(dāng)線性單口網(wǎng)絡(luò)只含有獨(dú)立電源（獨(dú)立電壓源或獨(dú)立電流源）而不含受控源時(shí)，可將單口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的獨(dú)立電源置零，即將獨(dú)立電壓源短路，獨(dú)立電流源斷路，然后利用各電阻之間的聯(lián)接方式，直接根據(jù)串并聯(lián)公式或Δ-Y變換化法，求得等效電阻Req。

例1 求圖1所示電路的戴維南等效電阻Req，其中Us1=40V，Is2=30A，R1=R2=R4=4Ω，R3=R5=8Ω。

解：先將電壓源短路，電流源斷路。此時(shí)，電阻R2、R3被短路，故端口ab處的等效電阻為：

Rep=（R1+R4）//R5=（4Ω+4Ω）//8Ω=4Ω

方法二：開路短路法。當(dāng)單口網(wǎng)絡(luò)既含有獨(dú)立電源又含有受控源時(shí)，無法采用方法一來直接求解等效電阻，可用該單口網(wǎng)絡(luò)的開路電壓Uoc與短路電流Isc之比來求解，短路電流方向是由開路電壓正極流向負(fù)極。

例2 求如圖2所示單口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻Req。已知：R1=15Ω，R2=5Ω，R3=10Ω，Us=10V。

解：先求ab端為開路時(shí)的電壓Uoc，如圖2（a）。要想求Uoc，需要先知道流過電阻R3電流i的大小，電流i可根據(jù)左邊的回路，列出回路電壓方程求得，即：

R1i+R2（i-ai）+R3i=us'

i=■=■A

從而：uoc=R3i=10×■=■V

求短路電流，即將ab端短接求如圖2（b）電路所示的電流Isc。ab端相聯(lián)，即R3被短接，流過R3的電流為零，所以有：

R1Isc+R2Isc=us

Isc=■=■A

由此可得：Req=■=■Ω

注意：在用開路短路法時(shí)，如求得的開路電壓Uoc=0，則此法不可用，也不必再求Isc，Isc也必為零。此時(shí)只能用其他方法來求解單口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻了。

方法三：外加電源法。在求解復(fù)雜的二端口網(wǎng)絡(luò)，尤其是含受控源的二端口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻時(shí)，可以通過在網(wǎng)絡(luò)輸出端外加上電壓源（或電流源），然后求出輸出端的電流（或電壓），再由公式RO=■，求得等效電阻Req。但人們在利用這一方法求解等效電阻時(shí)，常存在一誤區(qū)，即一直強(qiáng)調(diào)要將單口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的獨(dú)立源置零，電壓源短路，電流源斷路。實(shí)際上，在利用該法時(shí)，內(nèi)部獨(dú)立源不一定要置零，因?yàn)榇朔▽?shí)際上是利用二端口的VCR關(guān)系，如果獨(dú)立源置零，那么對于線性時(shí)不變電阻電路而言，端口VCR在U-I平面上是一條經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線；如果獨(dú)立源不置零，那么端口的VCR關(guān)系是一條不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，但這兩條直線的斜率是一樣的。而我們的等效電阻更準(zhǔn)確一點(diǎn)講是VCR關(guān)系曲線的斜率，所以不管獨(dú)立源置零不置零，直線的斜率是不會(huì)發(fā)生變化的，也就是等效電阻是不變的。

例3 求如圖3所示單口網(wǎng)絡(luò)的等效電阻Req。已知：R1=15Ω，R2=5Ω，R3=10Ω，Us=10V。

解：我們采用外加電源的方法，在端口處外加一電壓源（或電流源），求出端口電流（或端口電壓）的關(guān)系。如將獨(dú)立源置零，即將10V電壓源短接。則有：

u=R3i1=R2（i+αi1-i1）+R1（i-i1）

解得：u=■i，所以Req=■。

如果獨(dú)立源電壓源不置零，即保留10V電壓源。則有：

u=R3i1=R2（i+αi1-i1）+R1（i-i1）+10

解得：u=■i+■，這是一條不通過V-I平面原點(diǎn)的直線，直線斜率即等效電阻同樣為Req=■Ω。由此可見，在用外加電源法求單口網(wǎng)絡(luò)等效電阻時(shí)，內(nèi)部獨(dú)立源置零不置零均可。

有多種方法求解含源線性單口網(wǎng)絡(luò)等效電阻，但每一種方法適用的對象不同和求解難易程度不同，在這些方法中，方法一最簡單，但受限也最大，單口網(wǎng)絡(luò)中不能含有受控源。方法二是最常用的方法，大部分情況下都可以采用這種方法，但當(dāng)開路電壓或短路電流為零時(shí)，就無法使用該方法了。方法三是最普適的方法，求等效電阻時(shí)，內(nèi)置獨(dú)立源既可以置零也可以不置零。

參考文獻(xiàn)：

[1]李瀚蓀.電路分析基礎(chǔ)[M].第4版.北京：高等教育出版社，2011.

[2]邱光源.電路[M].第5版.北京：高等教育出版社，2012.

作者簡介：陳海濤（1978-），男，河南人，博士，副教授，研究方向：電氣工程。endprint