數(shù)學歸納法的應(yīng)用舉例

劉興

【摘要】數(shù)學歸納法作為由特殊概括出一般的一種思維方法，具有推理、研究兩種基本意義。本文主要給出了數(shù)學歸納法在各種數(shù)學問題中的應(yīng)用舉例，旨在利用歸納法發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學猜想，發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論，找到解題途徑。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學歸納法；完全歸納法；應(yīng)用舉例

1引言

歸納法是從個別的論斷歸結(jié)出一般結(jié)論的推理方法，一般性結(jié)論的正確性依賴于各個個別論斷的正確性，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，數(shù)學歸納法屬于完全歸納法。數(shù)學歸納法是一種特殊的論證方法，是解決有關(guān)整數(shù)問題的一種工具，它使我們能夠在一些個別實例的基礎(chǔ)上，對某個普遍規(guī)律做出論斷。雖然說數(shù)學歸納法適用于有關(guān)整數(shù)的問題，但是它在很多數(shù)學問題中都有重大的作用，很多不等式問題、幾何問題、函數(shù)迭代問題、整除性問題用它來解決都能收到很好的效果。

2數(shù)學歸納法的應(yīng)用舉例

2.1證明有關(guān)自然數(shù)的等式

例1：證明前n個自然數(shù)的立方和．

證明 1.．

2.假設(shè)，

則

命題證明完畢．

2.2證明有關(guān)自然數(shù)的不等式

例2：（貝奴利不等式）用數(shù)學歸納法證明：(1+?)n>1+n?，這里?>-1且不等于0，n 是大于1的自然數(shù).

證明 1.對于n=2，因?2>0，故不等式正確．

2.假設(shè)不等式對于n=k成立，k∈N，即(1+?)k>1+k?.

當n=k+1時，(1+?)>0，從而有(1+?)k+1>(1+k?)(1+?)，則(1+?)k+1>1+(k+1)?+k?2，將不等式右邊舍去正項k?2，可知所求證不等式成立．

2.3在函數(shù)迭代中的應(yīng)用

一些比較簡單的函數(shù)，它的n次迭代表達式，可以根據(jù)定義直接代入計算，歸納出一般規(guī)律后，再用數(shù)學歸納法予以證明。所以，直接求法的本質(zhì)，就是數(shù)學歸納法。其中，關(guān)鍵是通過不完全歸納法，找出f[n](x)的一般表達式。

例3：f(x)=x2，求f[n](x)．

解 由定義，f(x)=x2，

f[2](x)=f[f(x)]=f(x2)=(x2)2=，

一般地，可猜得，．假定上式成立，則有．

由數(shù)學歸納法知，對所有自然數(shù)n都成立．

2.4在幾何中的應(yīng)用

例4：空間被n個平面（這些平面每三個相交于一點，但每四個沒有交點，即各斜交平面）劃分成多少個部分？

解 1.一個平面將空間分成兩個部分．

2.假設(shè)空間被n個斜交平面劃分成F3(n)個部分，然后考慮n+1個斜交平面的情形．

原先的n個平面將空間劃分為F3(n)個部分，這n個平面與第n+1個平面π相交于n條斜交線，因此將它劃分為個部分．

因此.

用n-1,n-2,...,2,1代替n，

有：

…

，，

將這些等式相加，得：

．

命題證明完畢．

2.5在排列、組合中的應(yīng)用

由于數(shù)學歸納法可以解決有關(guān)自然數(shù)的問題，而排列組合與自然數(shù)密切相關(guān)，所以，在排列組合的許多結(jié)論，都可以用數(shù)學歸納法來證明。比如排列數(shù)公式、組合數(shù)公式、自然數(shù)n的階乘公式，二項式定理等重要公式，都能用數(shù)學歸納法加以證明。

例5：證明n個元素的全排列的種數(shù)可以按下列公式求得：

Pn=1·2·3·...·n=n! （n是自然數(shù)）.

證明 1.對于n=1，上式顯然是正確的，P1=1=1!．

2.假設(shè)n=k時成立，即Pk=k!．

當n=k+1時，加入第k+1個元素，則第k+1個元素的放法有k+1種，由分步計數(shù)原理可得：k+1個元素的全排列數(shù)

．

從而，當n=k+1時上式也成立．命題證明完畢．

2.6在數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)列是中學數(shù)學的一個重要內(nèi)容，其中等差數(shù)列、等比數(shù)列尤為重要，它與高中數(shù)學中的很多知識都有聯(lián)系，作為解決整數(shù)問題的數(shù)學歸納法，同樣可以用來解決一些有關(guān)數(shù)列的知識。如等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式以及前n項和公式的證明都需要用數(shù)學歸納法。

例6：證明等差數(shù)列的前n項為 .

證明 1.當n=1時，公式成立，S1=a1．

2.假設(shè)當n=k時公式正確，即 ，

當n=k+1 時，

因此，對一切自然數(shù)n的值，前n項和公式都是成立的．

2.7有關(guān)整除的問題

例7：求證：對于整數(shù)n≥0下面的式子能被133整除：11n+2+122n+1 .

證明1.當n=0時，上式等于133，顯然能被133整除．

2.假設(shè)當n=k時，11k+2+122k+1能被133整除．

當n=k+1時，

根據(jù)我們所作的假設(shè)，第一個加數(shù)能被133整除，第二個加數(shù)里面含有因數(shù)133，因此，他們的和，也就是原表達式在n=k+1的時候也能被133整除．

3結(jié)束語

數(shù)學歸納法是證明數(shù)學問題的一個重要方法，在數(shù)學中的應(yīng)用十分廣泛，本文只是簡單地舉了幾個解決實際問題的應(yīng)用例子。本文介紹了在數(shù)學解題過程中歸納發(fā)現(xiàn)的思考方法：利用歸納法發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學猜想，利用歸納法發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論，運用歸納法發(fā)現(xiàn)解題途徑等。

參考文獻：

[1]史久一，朱梧槚著．化歸與歸納·類比·猜想．[M]大連理工大學出版社，2008.

[2]華羅庚著．數(shù)學歸納法．[M]上海教育出版社，1964．

[3](蘇聯(lián))索明斯基著．數(shù)學歸納法．[M]中國青年出版社，1954.

[4]吳之季，嚴鎮(zhèn)軍，杜錫錄等著．歸納·遞歸·迭代.[M]人民教育出版社，1990.

[5](蘇聯(lián))伊·亞·杰樸著.數(shù)學歸納法.[M]人民教育出版社，1958.