一道數(shù)學試題在課堂上的嬗變

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(稠江中學 浙江義烏 322000)

著名數(shù)學家波利亞曾說過：“教師在課堂上講什么當然是重要的，然而學生想的是什么更是千百倍的重要.思想應當在學生的腦子里產(chǎn)生出來，而教師僅僅只應起一個助產(chǎn)婆的作用.”當前建設(shè)高效課堂的目的正是基于這一理念，有針對性地創(chuàng)設(shè)開放性課堂，讓學生參與到課堂學習中，學生在課堂上靈光一現(xiàn)的思路、油然而生的方法都予以充分的展示，從而培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣，達到全面提高學生數(shù)學素養(yǎng)的目的.近日，筆者在講解浙江省金華市婺城區(qū)2013學年九年級上學期數(shù)學期末試卷的第16題時，結(jié)合自己參加中考命題的經(jīng)驗，讓學生參與到試題的分析、改編中，讓學生發(fā)現(xiàn)中考試題原來可以由一道普通題目通過改編而來，從而揭開中考命題神秘的面紗，激發(fā)學生對一些試題進行有意識地改編，達到舉一反三的目的.

圖1

原題如圖1,矩形OABC的頂點A,C分別在x,y軸的正半軸上,OA=3,OC=2,M是BC的三等分點,且CM

這是該試卷中的一道把關(guān)題，為了降低難度，讓學生都能參與到討論中來，考慮到以MD為腰的等腰三角形分MD=MQ和MD=DQ這2種情況，于是筆者設(shè)置了如下階梯的討論題：

(1)點M到直線AB的距離是多少？

(2)在點D運動的過程中，點D到直線AB的距離是怎樣變化的？

(3)在點D運動的過程中，MD的長度滿足怎樣的變化規(guī)律？

(4)當MD滿足什么條件時，能構(gòu)成以點M為頂角頂點的等腰三角形？

學生在分組討論時，都能說出第(1)小題中點M到直線AB的距離是2，還能解決其中的幾個小題.第3小組的學生主動上來解答第(2)～(4)小題：

(2)當點D在OC上運動時，點D到直線AB的距離是3；當點D在OA上運動時，點D到直線AB的距離從3逐漸減小到0.

近來的成交謹慎，與前段時間很多復肥廠家的秋季訂貨會性質(zhì)的各種大促銷密切相關(guān)，某肥業(yè)鄭州峰會訂貨10萬噸，某股份成都大會收款4.5億元……大成交都到前面去了，后面的成交理所當然謹小慎微，大伙兒Get到了嗎？

這時筆者因勢利導，提出問題：“同學們，大家可能都很想知道中考試題是怎樣編寫的，今天我們一起來嘗試改編這道題目，也來當一次命題老師，大家有沒有信心？”學生們頓時興趣高漲，摩拳擦掌，紛紛表示有信心.以下具體展示改編思路，課堂教學實錄如下：

1 巧變結(jié)論，培養(yǎng)學生分類討論思想

師：同學們，剛才我們在解題時發(fā)現(xiàn)，以MD為腰的等腰三角形在發(fā)生變化，我們從改變結(jié)論入手，來改編這個題目如下：

改編題1當m滿足什么條件時，以MD為腰的等腰三角形有且只有1個、2個、3個、4個？

有了前面的鋪墊，小組討論不久，第6小組的學生很快就派代表發(fā)言：

筆者對第6小組的解答給予了充分肯定，他們從不同角度對m的值進行了分類討論，找到了點D在運動過程中的臨界點.

話音剛落，第2小組的學生提出了不同的意見：

圖2 圖3

這時全班學生都情不自禁地鼓掌，教師適時進行總結(jié).

師：在運動過程中討論三角形的問題，我們一定要考慮到特殊情況：當三點共線時不能構(gòu)成三角形；等邊三角形是特殊的等腰三角形.

2 巧變條件，培養(yǎng)學生類比思想

師：前面我們改變了題目的結(jié)論，那么能否從改變條件來改編題目呢？如：把矩形OABC改編成平行四邊形ABCD.

圖4

改編題2平行四邊形ABCD放置在如圖4所示的平面直角坐標系中，且∠ADC=60°，AD=3,CD=2,M是BC的三等分點,且CM

師：仿照改編題1的解法，我們要找到2道改編題解法的相同點和不同點.請大家小組討論后派代表發(fā)言.

各小組經(jīng)過激烈討論，對相同點和不同點都有了不同的發(fā)現(xiàn)，最后第4小組獲得發(fā)言的機會：

不同點：如圖5所示，當點P運動到點O時，MP∥AB，此時以點M為頂角頂點的等腰三角形有2個，以點P為頂角頂點的等腰三角形也有2個，但有一個是重合的，因此，當m=3時，這樣的等腰三角形有且只有3個；如圖6所示,當MP⊥AD時，以點M為頂角頂點的等腰三角形有1個，以點P為頂角頂點的等腰三角形有2個，但一個三點共線，一個以點M為頂角頂點的等腰三角形重合，因此當m=4時，這樣的等腰三角形有且只有1個；如圖7所示，當m=5時，以點M為頂角頂點的等腰三角形有1個，以點P頂角頂點的等腰三角形有2個，但一個與點M為頂角頂點的等腰三角形重合，因此當m=5時，這樣的等腰三角形有且只有2個.綜上所述，當m=1或m=4時，以MP為腰的等腰三角形有且只有1個；當1

圖5 圖6 圖7

師：圖形由特殊向一般的轉(zhuǎn)變是命題中經(jīng)常運用的一種方法.在解決這類問題時，不但要學會運用類比的方法進行分析，更重要的是要考慮不存在的情形.

3 巧添函數(shù)，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合思想

師：我們已經(jīng)嘗試了2種不同的改編題目的方法，現(xiàn)在再來嘗試更深層次的改編方法.如果把平行四邊形ABCD轉(zhuǎn)化成等腰梯形ABCD，發(fā)現(xiàn)等腰梯形ABCD是軸對稱圖形，而拋物線也是軸對稱圖形，能否把這2種圖形有機地結(jié)合起來，從而改編出新的題目呢？答案是肯定的.

圖8

(1)求拋物線的解析式，并寫出點C關(guān)于對稱軸的對稱點D的坐標.

(2)點E是直線AC下方拋物線上的一點，過點E作EF∥y軸交線段AC于點F，當△AEC的面積最大時，求點E的坐標.

(3)點M在線段CD上，且MC=1，動點P從點C沿著C-B-A路線移動的過程中，在直線AD上存在一點Q，使得△QMP是以MP為腰的等腰三角形.設(shè)運動的路程為m，當m滿足什么條件時，以MP為腰的等腰三角形有且只有2個、3個？

這時，學生的學習積極性得到了充分的調(diào)動，紛紛主動參與到小組討論中，提出自己的見解.學生的表達能力、合作能力得到了充分體現(xiàn).限于篇幅，學生的解法省略.

師：通過討論發(fā)現(xiàn)，改編題3和前面的2道改編題又有所不同，解法上更要注意考慮全面、分析透徹.同時我們也發(fā)現(xiàn)，原來認為很難的二次函數(shù)問題,其實是利用函數(shù)的解析式來確定點，通過點構(gòu)成幾何圖形，然后利用幾何圖形的變換來解決問題.

探究的課堂讓學生明白，中考試題很多是在普通題目的基礎(chǔ)上通過改變結(jié)論、改變條件、結(jié)合函數(shù)等方法改編的，即使一下子不能找到解決題目的方法，但總能找到自己熟悉的東西，從而打開解決問題的大門.通過這一堂課的教學，筆者發(fā)現(xiàn)，只要我們用心去營造“暢所欲言、各抒己見”的課堂氛圍，為學生提供親身經(jīng)歷的過程、自我表現(xiàn)的機會和條件，讓師生不同的觀點和解法都得到充分的展現(xiàn)，就能最大程度地激發(fā)學生的創(chuàng)造性思維，使學生的思維在激烈的碰撞中得到質(zhì)的升華，從而達到預期的學習效果.