初中數(shù)學圖式復習之尋根溯源

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(鳳起中學 浙江杭州 310004)

1 問題的提出

圖式復習教學就是教師提供適切的學習材料，整合新舊知識的聯(lián)系，引導學生建構(gòu)、理解圖式，以達到提高課堂學習效率和效果的教學.運用圖式復習，能發(fā)揮學生學習的主動性，激發(fā)學生的學習動機.圖式復習在解題的分層教學過程中，能讓所有學生“吃得了”，讓好的學生“吃得飽”，讓不同層次的學生都能獲得進步和提高.運用圖式復習，能充分暴露學生的思維過程，體會知識的發(fā)生與發(fā)展過程.圖式復習教學可以讓學生用已有圖式去建構(gòu)新圖式，留出更多的思考時間和空間，能在過程中體驗、學習、感悟許多知識以外的東西.

2 圖式復習之尋根

題根對于平面直角坐標系中的2個點,如A(2,3),B(-1,2)，同學們，你們能想到什么？

設計意圖題目設計充分考慮學生現(xiàn)有認知水平，照顧到所有的學生，基礎薄弱的學生想得問題會淺一點，基礎好的學生想得問題會比較深，讓每一位學生都有收獲和提高.

下面筆者把學生想到的問題歸納一下：

A組題：

生1：2個點的位置關系有2種表示方法:有序數(shù)對法和方位法；

等等.

2.1 圖式復習之變式拓展——衍生面積問題

圖1

如考慮點O，衍生出△AOB的面積問題,學生總結(jié)出求△AOB面積的幾種方法.

求不規(guī)則三角形的面積最常用的是“割補法”:“割”就是把三角形分割成2個三角形△AOC和△BOC(圖1),可得公式：

即

“補”就是把三角形補成梯形或矩形(如圖2)求解.

圖2

實際上，教師可以將題目再深化，運用函數(shù)作為背景：

(1)以反比例函數(shù)作為深化背景.

圖3

(1)這2個函數(shù)的解析式；

(2)直線與雙曲線的2個交點A,C的坐標；

(3)△AOC的面積.

這個問題比較簡單，是為基礎薄弱的學生準備的，用“分割”的方法求三角形面積，必須求出直線AC與x軸的交點坐標.

(2)以二次函數(shù)作為深化背景.

從靜態(tài)圖形著手思考，你能求出圖4中哪些點構(gòu)成的圖形面積？

學生能求出△AOC,△BOC,△ABC,△AOD,△BOD的面積，請問能求△BCD的面積嗎？

同樣可以利用割補法求解，總結(jié)出3種方法.

方法1補全成矩形.

方法2利用四邊形OCDB的面積減去△OBC的面積，即S△BCD=S△OCD+S△OBD-S△OBC(圖5).

圖4 圖5

方法3利用鉛垂高DE分割(圖6)，得

圖6 圖7

由靜到動，還可以研究三角形面積的最大值問題.當點F在拋物線上時(如在第四象限)，問何時S△BCF最大(圖7).設點F(x,y)，把點F看成已知點，用上面的3種方法均可以得到三角形面積，把面積看成x的函數(shù)，利用函數(shù)思想求面積的最大值.如此由靜到動，學生頭腦中的“分割法”獲得了新的活力.

圖8

(1)點C的坐標為______，點A的坐標為______.

(2)點M是拋物線上的一動點，且在第三象限.

①當點M運動到何處時，△AMC的面積最大，并求出△AMC的最大面積及此時點M的坐標；

②當M點運動到何處時，四邊形AMCB的面積最大，并求出四邊形AMCB的最大面積及此時點M的坐標.

(3)若點M為x軸下方的拋物線上的一個動點，聯(lián)結(jié)MA，MC，記△MAC的面積為S，問S取何值時，相應的點M有且只有2個?

第①小題中的M是動點，學生可以由“注入活力”的分割法求解.第②小題由三角形變?yōu)樗倪呅?，同樣可以分割為△AMC和△ACB，而△ACB的面積是定值，方法同①.第(3)題中的點M改為x軸下方的拋物線上的一個動點，這樣就必須分類討論，分點M在第三象限和第四象限2種情況討論,并分別求出點M在第三象限時△AMC的最大面積和△ACB的面積.引導學生分析這2個面積不等時，情況是不一樣的.

通過這個專題的研究，讓學生對三角形的面積(包括靜態(tài)和動態(tài))問題有了一定的認識.獲得了求面積的重要方法——割補法，對數(shù)學思想如函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想有了更深的體會.

2.2 圖式復習之原題改編——衍生距離問題

考慮坐標軸，衍生“將軍飲馬”問題.“將軍飲馬”問題在課本中原型(七年級下冊)：如圖9，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A,B提供牛奶，奶站應建在什么地方，才能使從A，B到它的距離之和最短？這類問題經(jīng)常會跟著它的孿生題，即求距離差絕對值的最大值(如圖10).

圖9 圖10

學生提出在x軸上分別找點C,E，使得CB+CA值最小、|EA-EB|值最大.

此類問題考查的知識點主要有:兩點之間線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊、點關于線的對稱等.

原題改編，實際上還可以進行如下變化：

圖11

例3已知在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為A(2，-5)，B(5，1)．在同一個坐標系內(nèi)畫出滿足下列條件的點(保留畫圖痕跡)，并求其坐標．

(1)在y軸上找一點C，使得AC+BC的值最??；

(2)在x軸上找一點D，使得AD-BD的值最大．

解決了這個問題之后，引導學生改變點A,B的位置.通過改變點A,B的位置，發(fā)現(xiàn)：求和的最小值時必須使點A,B位于直線的異側(cè)，否則作其中一點的對稱點，如作A的對稱點A′，則直線A′B與直線的交點就是求點C的方法；求差的最大值時，必須使A,B位于直線的同側(cè)，否則作其中一點的對稱點，如作A的對稱點A′，則直線A′B與直線的交點就是求D的方法.

教師拓展，增添背景,也可改編成如下幾何背景題目：

例4(B組題)(1)如圖12，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，M是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PM+PB的最小值是______.

變換背景引導學生思考：可以把菱形改成什么圖形？因為這類問題需要作對稱點，所以出題的背景可以變,如角、三角形、矩形、正方形、等腰梯形、圓;函數(shù)背景如雙曲線、拋物線等軸對稱圖形.

圖12 圖13 圖14

改動對稱軸的位置，定點變成了動點.

(C組題)(3)如圖14，在正方形ABCD中，AB=2,Q是AB的中點，求PM+PB的最小值;

(4)聯(lián)結(jié)QC，點P,M是QC,BC上的任意點，求PM+PB的最小值.

第(1)、(2)小題雖然增加了背景，但實際上是對問題的直接應用.第(3)小題對問題稍作改編，M也變成了動點，題目就變成點到直線的問題了,要求學生靈活運用所學的知識.此題還可以改編成函數(shù)背景的題目：

(2)在第(1)小題中，若使得△ADC的周長最小，試求點D的坐標.

增加動點，學有余力的學生可以思考第(3)小題：

(3)若一個動點M自P出發(fā)，先到達x軸上的某點(設為點E)，再到達拋物線對稱軸上某點(設為點F,如圖15)，最后運動到點A.確定使點M運動的總路徑最短的點E、點F的位置(如圖16)，并求出這個最短路程的長.

圖15 圖16

第(1)、(2)小題還是屬于“將軍飲馬”問題，第(3)小題雖增加動點，通過這些求距離問題的解決，發(fā)現(xiàn)最終的知識是用到初一學的“兩點之間的距離”和“點到直線的距離”.

2.3 圖式復習之通性通法——衍生等腰三角形問題

(1)已知O(0，0)和A(0,2),在坐標軸上求點B，使△OAB為等腰三角形.

(2)已知O(0，0)和A(1,2),在坐標軸上求點B,使△OAB為等腰三角形.

(3)已知O(0,2)和A(2,0),在坐標軸上求點B,使△OAB為等腰三角形.

(4)已知A(2，3)和B(-1，2),在坐標軸上求點P,使△ABP為等腰三角形.

這里涉及到分類思想、方程思想、兩點之間距離、勾股定理、等腰三角形知識、中垂線知識、圓的知識等等.

對第(4)小題分析：因為腰和底不確定，所以要對等腰三角形的邊分情況討論:

當AB是底時——作線段AB的中垂線交x軸于點P5與y軸交點類似.

這道題目也可以以函數(shù)為背景構(gòu)造如下一些問題：

(1)求線段OP的長和tan∠POM的值；

(2)在y軸上找一點C，使△OCQ是以OQ為腰的等腰三角形，求點C的坐標.

圖17 圖18

例7如圖18，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過點A(-3，0)和點B(2，0)．直線y=h(h為常數(shù)，0

(1)求拋物線的解析式.

(2)聯(lián)結(jié)BE，求h為何值時，△BDE的面積最大.

(3)已知一定點M(-2，0),問：是否存在這樣的直線y=h，使△OMF是等腰三角形？若存在，請求出h的值和點G的坐標；若不存在，請說明理由．

3 圖式復習教學給我們的思考

3.1 圖式復習應該讓學生人人獲得發(fā)展

初中最后復習階段，學生學習數(shù)學的興趣和學習成績已經(jīng)明顯分化了，優(yōu)等生“吃不飽”，中等生“夠不著”，后進生“吃不了”的情況比較常見.復習課教學，不只是相關知識點的梳理和羅列，而是要圍繞教學內(nèi)容和教學進度安排，考慮學生現(xiàn)有認知結(jié)構(gòu)和能力水平，讓優(yōu)秀學生能力上獲得提高，中等生方法上有所啟迪，落后生在知識方面有所收獲.圖式復習教學中也要激發(fā)學生學習興趣，讓學生獲得求知的強大動力，讓學生人人獲得發(fā)展.

3.2 圖式復習應該讓教師分層設置目標

教師應為不同的學生設置相應的學習目標，復習課應遵循學生的認識規(guī)律，由易到難，從具體到抽象，呈現(xiàn)給學生的問題應考慮不同學生的認知水平，既要設計為后進生作思路導引的問題，又要設計為優(yōu)等生提供思維拓展的問題，還要設計接近學生“最近發(fā)展區(qū)”的問題.圖式復習教學一定要激起學生的求知欲，使各個層次的學生都能獲得不同程度的發(fā)展.

3.3 圖式復習應該激發(fā)學生學習主動性

數(shù)學學習活動應是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.圖式復習教學中教師應該發(fā)揮學生的主動性，問在重點處，釋在疑點處，答在要害處，啟在不確定處，復習過程吸引所有學生都能主動參與.留給學生思考的時間和空間，等待學生慢慢想明白，有時直接告訴解題方法或答案不一定能收到好的效果.問題的設計讓學生有想象的空間、有變式的空間，體會思想方法，促進學生積極主動地學習.

3.4 圖式復習應該注重學生知識間的聯(lián)系

初中數(shù)學知識量大面廣，要求學生縱向掌握概念、定理、法則，橫向加強不同知識間的聯(lián)系，中考壓軸題往往是不同知識點的綜合運用題.圖式復習教學在復習過程中，要求回顧不同知識點，將前后知識融會貫通.如初中代數(shù)中方程、不等式、函數(shù)這3塊知識點是彼此獨立的，借助圖像可以將函數(shù)、方程、不等式等知識點串聯(lián)起來，幫助學生形成直觀概念圖式，加深對各部分知識的理解和應用，形成完整的知識結(jié)構(gòu).

3.5 圖式復習應該努力滲透數(shù)學思想方法

從認知的角度看，數(shù)學學習過程是數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的發(fā)展變化過程，而圖式的形成和變化就是認知發(fā)展的實質(zhì).教師通過對數(shù)學概念的抽象、概括和解題思路的分析、歸納，讓學生在復習過程中體會數(shù)學知識的生成，并經(jīng)歷、體驗和探索數(shù)學思維活動，指導他們形成數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、化歸等數(shù)學思想和解決問題的方法，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，提高數(shù)學復習課的教學效果.

參 考 文 獻

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[4] 徐月霞.淺談提升初中數(shù)學復習效益的有效形式[J].中學數(shù)學,2012(4):70.

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