主變元思想在圓錐曲線中的應(yīng)用

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(海寧市高級中學(xué) 浙江海寧 314400)

直線與圓錐曲線的綜合問題是歷年高考的重點內(nèi)容之一，也常常是難題的載體，是學(xué)生取得高分的制高點．直線與圓錐曲線問題的解決，往往要將代數(shù)與幾何的方法完美結(jié)合，既有代數(shù)的函數(shù)與方程、分類討論、代數(shù)變式等思想應(yīng)用，又有幾何性質(zhì)的參與，綜合性較強，主要涉及的問題常有：定點定值問題、參數(shù)求最值或范圍的問題、位置關(guān)系的判定、長度或面積的求值問題等等，對學(xué)生綜合解決問題的能力要求較高．而學(xué)生在處理這些問題時，往往只會利用通式通法，而對參量本身的選擇與應(yīng)用把握不到位，結(jié)果發(fā)現(xiàn)問題的處理過程復(fù)雜、計算繁瑣，最后不了了之．因此，直線與圓錐曲線問題的處理，特別需要關(guān)注參數(shù)的選取和應(yīng)用．

1 課堂實錄

高二下學(xué)期，筆者在上選修內(nèi)容“圓錐曲線與方程”的習(xí)題課時，有過這樣一次精彩的歷程，實錄如下：

生1：設(shè)直線l的方程為y=kx+b，與拋物線相交于點A(x1,y1)，B(x2,y2),聯(lián)立直線與拋物線方程得關(guān)于x的一元二次方程

k2x2+(2kb-4)x+b2=0，

從而

由題意

后面我解不下去了．

師：誰能接著解下去？

師：生1和生2使用的是通式通法，利用題目中的等量關(guān)系列方程，步驟也很完整，究竟錯在哪里呢？

生3：參數(shù)選擇不恰當(dāng).結(jié)合幾何性質(zhì)，參數(shù)k與b應(yīng)該符號相反，即b=-2k，從而y=k(x-2)，定點為(2,0)．但生1和生2的解法中平方掩蓋了這個事實，平方產(chǎn)生了增根，導(dǎo)致錯誤.我的解答是：只選擇點參數(shù)，圍繞點的坐標(biāo)解答.

化簡得

(y1+y2)y-4x+8=0，

即

因此直線l過定點(2,0)．

(全體學(xué)生感到驚訝.)

生4：老師，我用的是直線參數(shù)法.設(shè)出直線l的方程，利用直線參數(shù)計算，找出這些參數(shù)之間的關(guān)系也能解決．

師：你來演示一下．

生4：設(shè)直線l的方程為y=kx+b，與拋物線相交于點A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去x得

ky2-4y+4b=0，

從而

即b=-2k，于是y=k(x-2)，故直線l過定點(2,0)．

師：生4的解法其實是對生1的解法進行了修正，2種解法都體現(xiàn)了解決直線與圓錐曲線綜合問題時參數(shù)的選擇和圍繞主參數(shù)進行等式變形的特點.這也是通式通法中能將計算進行到底的依仗與技巧,希望同學(xué)們能在以后的解題中加以體會．

2 教學(xué)反思

這堂課之所以是一次精彩的歷程，是因為它體現(xiàn)了新課程以學(xué)生為主體的理念.整個教學(xué)過程教師只是在引導(dǎo)，引導(dǎo)更多的學(xué)生主動參與其中，通過生與生之間的互動、誘導(dǎo)，讓學(xué)生自己逐步提出、完善解法．當(dāng)然，主變元思想作為圓錐曲線應(yīng)用中一種重要的解題思想，是在學(xué)生的相互啟發(fā)中得以產(chǎn)生、完善與體現(xiàn)的．

其實，筆者沒有預(yù)設(shè)到以上學(xué)生的解法，筆者的解答過程是：設(shè)直線l的方程為ty=x+b，與拋物線方程聯(lián)立，消去x得

y2-4ty+4b=0，

解得

得b=-2，因此直線AB的方程為ty=x-2，即直線l過定點(2,0)．

看到學(xué)生的精彩解答后，筆者的解答顯得過于技巧了，這堂課最精彩的內(nèi)容往往是學(xué)生自主的課堂生成．生1的失誤是因為主變元不突出，在解題過程中，既有線參數(shù)(k,b)的參與，又有點參數(shù)x1,y1,x2,y2的參與，雖然生2最后也偶然地統(tǒng)一到了線參數(shù)，但因為平方再開方導(dǎo)致增根而解不下去．生1的錯誤非常典型，學(xué)生在解直線與圓錐曲線的綜合題時，往往只會生搬硬套解題通法，機械地聯(lián)立方程組，消元得到一個一元二次方程，利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為關(guān)于點的坐標(biāo)的等式，再埋頭苦算.但更多的時候是算不下去或在繁雜的計算中迷失了解題的方向，分不清主變元，不能圍繞主變元展開等式變式，從而導(dǎo)致解題失敗.解不出題，更多的學(xué)生只能尋求步驟分，這也是無奈之舉．

生3、生4的解法和筆者預(yù)設(shè)的解法，則很好地把握住了主變元的作用.生3的解法以點參數(shù)為主變元，利用點參數(shù)表示題目條件，通過等式變形，找到以點參數(shù)表示的直線方程，從而順利地解決問題.生4和筆者預(yù)設(shè)的解法其實都體現(xiàn)出了以線參數(shù)為主變元，將問題要素用線參數(shù)表述出來，通過計算分別找到了k與b的關(guān)系或b的值，從而找到定點．

3 變式應(yīng)用

為了讓學(xué)生及時地鞏固例1的思想方法，課后筆者又找了幾道類似的習(xí)題給學(xué)生訓(xùn)練：一方面能引導(dǎo)學(xué)生進一步思考、完善、鞏固解題方法；另一方面讓學(xué)生能熟練操作、準(zhǔn)確領(lǐng)悟解答問題的思想方法．

例2已知點A(x0,2)在曲線C:y2=4x上，過點A作曲線C的2條弦AD,AE，且AD,AE的斜率分別為k1,k2滿足k1k2=2，試判斷直線DE是否過定點，并證明你的結(jié)論．

分析1點參數(shù)主變元思想

解得y1y2=4-2(y1+y2)，代入直線DE的方程得

即

兩邊同乘y1+y2，得

(y1+y2)y-y1(y1+y2)=4x-y12,

即

(y1+y2)y=4x+4-2(y1+y2),

化簡得

從而直線DE過定點(-1,-2)．

分析2線參數(shù)主變元思想

設(shè)D(x1,y1)，E(x2,y2)，直線DE的方程為

與拋物線聯(lián)立得

從而

y1y2=4-2(y1+y2)，

即

評注本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的基本關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生運算求解直線過定點的能力.例2背景簡單，解題方法卻很深刻，若設(shè)直線AD,AE斜率為k1,k2，然后用k1,k2表示DE直線方程，雖能計算出來，但計算難度很大，很難得到結(jié)果.而主變元思想的應(yīng)用，不管是用點參數(shù)主變元還是線參數(shù)主變元，都能將直線DE利用適當(dāng)?shù)膮?shù)表達(dá)出來，從而找到直線所過的定點，其優(yōu)點是運算相對簡單，過程簡潔．

4 引申應(yīng)用

例1和例2都是定點定值問題，從解答過程可以體會到：主變元思想主要是通過引進參變量表示題目的變化過程，然后通過運算及等式變式，發(fā)現(xiàn)某些與參數(shù)無關(guān)的量，這就是定點定值問題的本質(zhì)．其實，利用點、線參數(shù)主變元的思想，解決直線與圓錐曲線綜合題中的參數(shù)求最值或范圍的問題、位置關(guān)系的判定、長度或面積的求值問題等等也有著很好的指導(dǎo)作用.即根據(jù)題意選擇一些適當(dāng)?shù)膮?shù)，把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)，再從中選擇一個適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍或求參數(shù)的最值．