追問(wèn)反思 聯(lián)想求解
——一道二元最值題的教法探究

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(如東高級(jí)中學(xué) 江蘇如東 226400)

近年來(lái)，給出二元變量的約束條件、求二元變量的最值問(wèn)題,出現(xiàn)在各類(lèi)考試中.這類(lèi)題目所涉知識(shí)面廣、入口寬、方法多、能力要求高，學(xué)生很難又快又準(zhǔn)地解決問(wèn)題.筆者在教學(xué)中遇到一道二元最值題，本文將筆者與學(xué)生共同探究這類(lèi)問(wèn)題解法的過(guò)程記錄下來(lái)，供大家參考.

1 題目展示

題目已知點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足

2 師生共同探索

2.1 熟悉問(wèn)題

圖1

讓學(xué)生認(rèn)真讀題，用線性約束條件可以作出可行域(如圖1).

師：有哪些易錯(cuò)的地方？

生1：注意不等式中等號(hào)能否取到，也就是分清可行域的邊界是虛線還是實(shí)線.

2.2 深入理解問(wèn)題

2.3 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)角度

方法1(常規(guī)方法)若x=0，則

師：分子、分母同除以x可以直接得到斜率，從而達(dá)到減元的目的.用常規(guī)方法解決這道填空題思路簡(jiǎn)單，但需要分類(lèi)討論，計(jì)算量大，耗時(shí)過(guò)長(zhǎng)，容易發(fā)生計(jì)算錯(cuò)誤.目標(biāo)還是減元，同時(shí)減少分類(lèi)討論的情形，方法1還能簡(jiǎn)化嗎？

生3：我觀察到可行域中y≥0，如果分子、分母同時(shí)除以y，討論情況將會(huì)減少.

方法2(常規(guī)方法的改良)若y=0，則x<0，從而

從而

當(dāng)t→-∞時(shí)，

又

于是

師：對(duì)比2種方法，哪種更優(yōu)？

生4：方法1和方法2同樣是減元，分式的分子、分母分別同時(shí)除以x和y，方法2中少討論一種情形，運(yùn)算量明顯減少.

2.4 解析幾何的角度

師：分母是根式，由此能聯(lián)想到什么公式？

圖2

從而

從而

sin∠DOP=0.

師：方法3和方法4都是轉(zhuǎn)化為解析幾何中含根號(hào)的公式解決問(wèn)題.方法4將距離比值轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，明顯簡(jiǎn)化，那么可以直接轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)解題嗎？

2.5 三角與向量的角度

方法5(三角代換)因?yàn)?/p>

于是

所以

方法6同方法5可得

從而

即

師：由方法4聯(lián)想到三角函數(shù)方向，方法5和方法6都是轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)解題.方法5在求三角函數(shù)的定義域時(shí)，利用直線的斜率與傾斜角的關(guān)系;方法6利用圖形的旋轉(zhuǎn)變換解決值域問(wèn)題.本題一直使用數(shù)形結(jié)合的思想，哪些數(shù)學(xué)分支充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想？結(jié)論分式與什么公式的變形相似？

由可行域得

從而

于是

2.6 特殊化

師：作為填空題，可以“猜”嗎？

2.7 基本不等式的角度

師：這是一個(gè)二元變量問(wèn)題，可以聯(lián)想到基本不等式.為什么不用基本不等式呢？

生10：這道題的變量已經(jīng)有了范圍限制，x,y不能保證同號(hào)，不等式中等號(hào)成立的條件不能滿足.基本不等式一般只能取到最大值和最小值中的一個(gè)，同時(shí)算出最大值和最小值很困難，而本題需要得到取值范圍，用基本不等式解決比較困難.

3 拓展訓(xùn)練

3.1 變式訓(xùn)練

師：可以變結(jié)論嗎？

生11：已知點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足

注：利用已有題源，不改變條件，可以得到更多結(jié)論，不贅述了.

師：可以變條件嗎？

生12：條件可以變少！已知點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足

師：怎么想到可以去條件的？

師：本題的解決流程可以用圖3表示.

圖3

師:這也是我們解題的一種模式.課后考慮2個(gè)練習(xí)題.

3.2 鞏固訓(xùn)練

1.已知實(shí)數(shù)x,y，滿足不等式

注：題1是線性條件下的二元最值問(wèn)題，題2是非線性條件下的二元最值問(wèn)題.

4 教法反思

(1)波利亞認(rèn)為解題要回歸到定義，掌握那些在專業(yè)術(shù)語(yǔ)后面數(shù)學(xué)對(duì)象間的實(shí)際關(guān)系.

高斯說(shuō)過(guò)：在數(shù)學(xué)中，關(guān)鍵的不是記號(hào)而是概念.按照新課程標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)數(shù)學(xué)概念掌握要達(dá)到3個(gè)層次：第一層次，了解、模仿(正向運(yùn)用)；第二層次，理解、發(fā)現(xiàn)、領(lǐng)悟(逆向運(yùn)用)；第三層次，遷移、探索、內(nèi)化(變形運(yùn)用).在本文中，聯(lián)想點(diǎn)線距、兩點(diǎn)之間距離是逆向運(yùn)用；聯(lián)想三角函數(shù)、向量的數(shù)量積是變形運(yùn)用.學(xué)生只有概念理解透徹，概念清晰、公式和定理使用靈活，才可能在解題中產(chǎn)生聯(lián)想甚至是直覺(jué).

(2)在解題教學(xué)中，教師要善于追問(wèn).

教師的追問(wèn)就是引導(dǎo)學(xué)生思考已知和未知之間的聯(lián)系，得到求解的計(jì)劃.學(xué)生必須了解問(wèn)題的文字?jǐn)⑹觯處熆梢砸髮W(xué)生重新敘述題目，而學(xué)生應(yīng)能流利地重新敘述.學(xué)生應(yīng)當(dāng)能夠指出問(wèn)題的主要部分，即需要求解的結(jié)論、已知數(shù)據(jù)、條件，甚至問(wèn)題的難點(diǎn).在本文中，教師追問(wèn)的主要問(wèn)題有：未知什么,已知什么,用什么方法在已知和未知之間搭建橋梁,難點(diǎn)是什么.追問(wèn)問(wèn)題必須高于學(xué)生的思維,同時(shí)又讓學(xué)生經(jīng)過(guò)努力能夠解決；追問(wèn)的問(wèn)題必須是解決整道題的關(guān)鍵；追問(wèn)就是為了指導(dǎo)學(xué)生的思考方向.

(3)解題教學(xué)最后一環(huán)應(yīng)該是反思.當(dāng)解題完成時(shí)，教師要組織學(xué)生反思，讓他們反思解題過(guò)程、所用的知識(shí)和方法，尋求解法之間的關(guān)聯(lián)，尋求一解多題，尋求變題，反思可以充分發(fā)揮一道題目在教學(xué)中的作用.在本文中，每種方法給出以后，師生都在反思，學(xué)生通過(guò)反思，可以鞏固知識(shí)，提煉方法，提升能力，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，并進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到：“沒(méi)有任何一個(gè)題目是徹底完成的，總還會(huì)有些事情可以做；在經(jīng)過(guò)充分的研究和洞察以后，我們可以將任何解題方法加以改進(jìn)；而且無(wú)論如何，我們總可以深化我們對(duì)答案的理解.”[1]

(4)解題教學(xué)中要注重引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題特殊化.特殊化是從考慮一組給定的對(duì)象集合過(guò)渡到考慮該集合中一個(gè)較小的集合，或僅僅一個(gè)對(duì)象，特殊化在求解問(wèn)題時(shí)非常有用.生8的解法就是特殊化，將極端情況計(jì)算出來(lái)，然后猜測(cè)一般的結(jié)論.教師要?jiǎng)?chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生猜，要多出開(kāi)放題讓學(xué)生去發(fā)散思維，允許學(xué)生適當(dāng)跳步，先鼓勵(lì)學(xué)生大膽假設(shè)，后引導(dǎo)學(xué)生小心求證.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社，2007：12