對(duì)一道高考?jí)狠S題的多重思維探究

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(鎮(zhèn)海中學(xué) 浙江寧波 315200)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們要善于捕捉問(wèn)題中透露出來(lái)的信息.綜合性強(qiáng)的問(wèn)題往往都可以舉一反三、觸類(lèi)旁通.因此，筆者認(rèn)為對(duì)一些經(jīng)典的高考題多作一些思考、猜想與總結(jié)，會(huì)發(fā)現(xiàn)具有普遍性的思維結(jié)果.下面筆者從2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科壓軸題入手，分析此題的4種解法，嘗試從本質(zhì)上分析該題的背景、出題意圖，并給出關(guān)于三次函數(shù)中心對(duì)稱(chēng)的一般結(jié)論，以期為平時(shí)的教學(xué)提供參考.

1 拋磚引玉——縱觀題目

函數(shù)的最值問(wèn)題是函數(shù)的整體性質(zhì)，閉區(qū)間上函數(shù)的最值只能在區(qū)間的端點(diǎn)和極值點(diǎn)上取到.因此,要對(duì)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)作充分地分析才能進(jìn)行準(zhǔn)確判斷,要充分利用函數(shù)的圖像以及問(wèn)題所具有的特殊性.

例1已知a∈R，函數(shù)f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3．

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(2)當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，求|f(x)|的最大值．

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

2 求真務(wù)實(shí)——解法分析

第(1)小題難度不大，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，此處不再討論.第(2)小題看上去簡(jiǎn)潔精練，主要涉及含參三次函數(shù)的求最值問(wèn)題，但難度較大；因絕對(duì)值的參與，使得難度比平時(shí)遇到的含參三次函數(shù)更上了一個(gè)等級(jí).以下介紹第(2)小題的4種解法：

解法1由f′(x)=3x2-6x+3a=3(x-1)2+3(a-1),0≤x≤2，得

(1)當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)≤0，此時(shí)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減，故

|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=f(0)=3-3a.

(2)當(dāng)a≥1時(shí)，f′(x)≥0，此時(shí)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，故

|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=f(2)=3a-1.

0

此時(shí)f(x)在區(qū)間(0,x1)和(x2,2)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(x1,x2)上單調(diào)遞減.由

得

f(x1)+f(x2)=2>0，

從而

f(x1)>|f(x2)|，

故

|f(x)|max=max{f(0),|f(2)|,f(x1)}．

f(x1)-f(0)=2t3-3t2+1=(t-1)2(2t+1)>0,

故

f(x1)-|f(2)|=2t3+3t2-1=(t+1)2(2t-1).

|f(x)|max=|f(2)|=3a-1．

綜上所述，

點(diǎn)評(píng)本題考查了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論思想，還要求學(xué)生具有較強(qiáng)的運(yùn)算能力、推理論證能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

代入上式得

-(x1-2)2(2x1-1).

點(diǎn)評(píng)在求不等式的過(guò)程中，先求x1的取值范圍，再求a的取值范圍，避免了根式，轉(zhuǎn)化為整式，也不失為一種好方法.

《規(guī)劃》力求從五個(gè)方面夯實(shí)農(nóng)墾振興的基石：一是在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)上實(shí)現(xiàn)由追求數(shù)量到講究質(zhì)量的轉(zhuǎn)變，著眼于發(fā)展綠色、生態(tài)、有機(jī)、優(yōu)質(zhì)農(nóng)產(chǎn)品；二是實(shí)現(xiàn)多業(yè)態(tài)融合發(fā)展，堅(jiān)持農(nóng)業(yè)種養(yǎng)結(jié)合、農(nóng)業(yè)服務(wù)與農(nóng)產(chǎn)品精深加工結(jié)合、農(nóng)旅結(jié)合，實(shí)現(xiàn)一二三產(chǎn)融合發(fā)展；三是以項(xiàng)目為抓手，加大投入力度，實(shí)施項(xiàng)目帶動(dòng)產(chǎn)業(yè)發(fā)展；四是在體制機(jī)制上進(jìn)一步推進(jìn)集團(tuán)化改革，增強(qiáng)企業(yè)內(nèi)生動(dòng)力，實(shí)現(xiàn)集團(tuán)由管理型向服務(wù)型轉(zhuǎn)變；五是爭(zhēng)取政府的支持，與安徽省鄉(xiāng)村振興規(guī)劃相對(duì)接，搶抓發(fā)展機(jī)遇，確保農(nóng)墾與地方平等享受?chē)?guó)家普惠政策。

討論的標(biāo)準(zhǔn)不同做題的過(guò)程也就各異,因此還可以用另一種思路進(jìn)行討論.

解法2由f′(x)=3(x2-2x+a)，記判別式Δ=36(1-a),對(duì)Δ進(jìn)行討論：當(dāng)Δ≤0，即a≥1時(shí)，同解法1；當(dāng)Δ>0，即a<1時(shí)，設(shè)f′(x)=0的2個(gè)根為x1,x2，且x1+x2=2，此時(shí)

(1)當(dāng)x1≤0且x2≥2，即a≤0時(shí)，同解法1；

(2)當(dāng)0

由(1)，(2)可得

|f(x)|max=max{f(0),|f(2)|,f(x1)}.

又f(x1)>f(0)，f(0)=3-3a>0,從而f(x1)>|f(0)|，于是

|f(x)|max=max{f(x1),|f(2)|}.

f(x1)>|f(x2)|>|f(2)|，

故

|f(x)|max=f(x1).

評(píng)述二次函數(shù)中對(duì)判別式Δ的討論是一種比較常見(jiàn)的思路.本題涉及三次函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，因此對(duì)導(dǎo)函數(shù)的實(shí)根分布問(wèn)題就是本題的討論點(diǎn)，也是本題的突破口，如此也能得到解法1的結(jié)果.要達(dá)到在高考中思路開(kāi)闊清晰的理想狀態(tài)，首先教師要在平時(shí)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生用多種方法來(lái)解題，發(fā)散學(xué)生的思維，鍛煉學(xué)生的意志力，這樣學(xué)生遇到難題時(shí)才會(huì)有足夠的信心，而不會(huì)半途而廢.

以下解法3只給出關(guān)鍵的步驟，其他的可對(duì)照解法1和解法2得到.

解法3由f(x)=(x-1)3+3(a-1)(x-1)+1，可知函數(shù)f(x)的圖像是由奇函數(shù)y=x3+3(a-1)x平移得到，因此f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱(chēng).

當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，fmax(x)+fmin(x)=2，因此fmax(x)>0且fmax(x)>|fmin(x)|(若fmin(x)≥0，顯然成立；若fmin(x)<0，則fmax(x)=2-fmin(x)=2+|fmin(x)|>|fmin(x)|)，故

|f(x)|max=fmax(x)，

于是只需考慮f(x)在[0,2]上的極大值和端點(diǎn)函數(shù)值.

當(dāng)a≤0與a≥1時(shí)，同解法1.當(dāng)0

|f(x)|max=max{f(x1),|f(2)|}，

且f(2)必定為正數(shù)，從而

|f(x)|max=max{f(x1),f(2)}，

下面只需同解法2討論f(x1),f(2)的大小即可.

解法4是在解法3基礎(chǔ)上的改進(jìn).

解法4由f(x)=(x-1)3+3(a-1)(x-1)+1，令t=x-1∈[-1,1]，則

y=f(x)=g(t)=t3+3(a-1)t+1，

即轉(zhuǎn)化成求g(t)在t∈[-1,1]上的最大值問(wèn)題，且函數(shù)g(t)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng),以下同解法3.

點(diǎn)評(píng)對(duì)于解法3和解法4，從問(wèn)題的本質(zhì)看是用到了三次函數(shù)的中心對(duì)稱(chēng)性,原函數(shù)可變?yōu)閒(x)=(x-1)3+3(a-1)(x-1)+1，關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱(chēng)，因此很快得到|f(x)|max=fmax(x)，從而避免了繁雜的計(jì)算，比解法1和解法2簡(jiǎn)單很多，同時(shí)也有助于學(xué)生提高對(duì)知識(shí)系統(tǒng)性的理解水平.在平時(shí)教學(xué)中，教師可以多歸納、多總結(jié)，在課堂上適時(shí)引導(dǎo)，并讓學(xué)生在課后作深入探究，更可以在選修課上發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

3 舉一反三——結(jié)論推廣

高考?jí)狠S題善于從基礎(chǔ)知識(shí)入手，逐漸加深，以此考查學(xué)生的知識(shí)深度和廣度，以期達(dá)到真正選拔人才的目的.本文在對(duì)例1進(jìn)行嘗試多角度剖析的同時(shí)，對(duì)三次函數(shù)進(jìn)行歸納性的整理，得出具有普遍性的結(jié)論.由此可見(jiàn)，在平時(shí)的訓(xùn)練中，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生思維的訓(xùn)練遠(yuǎn)勝于單純的題海戰(zhàn)術(shù)，多角度思考和發(fā)散有利于在遇見(jiàn)真正的難題時(shí)舉一反三，化繁為簡(jiǎn)，從而得到理想的結(jié)果.高考考查的從來(lái)不是偏深的難度，而是觸類(lèi)旁通的靈活性和變通性.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 管宏斌．三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)中心初探[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2004(15)：25-26．

[2] 徐建君．三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心及其應(yīng)用[J]．考試：高考理科版，2006(11)：17-19．