由一道向量題引發(fā)的解題思維實(shí)踐

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(寧海中學(xué) 浙江寧海 315600)

與三角形三心(外心、垂心、內(nèi)心)聯(lián)系的平面向量問(wèn)題是數(shù)學(xué)高考中經(jīng)常出現(xiàn)的一類題型.對(duì)這類題型的解題探究可以開闊學(xué)生的解題思維，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.本文利用一道高考模擬題，從學(xué)生實(shí)際出發(fā)進(jìn)行一題多解的嘗試，有效地創(chuàng)設(shè)學(xué)生思考的空間，讓師生都能獲取“智慧”，從而豐富解決問(wèn)題的策略.

1 試題再現(xiàn)

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2 考情分析

這是一道高考模擬題，該題的得分較低.筆者找了部分做對(duì)的學(xué)生了解到：一部分學(xué)生是從選項(xiàng)出發(fā)，運(yùn)用代入排除法：代入選項(xiàng)A時(shí)滿足，就直接選擇了A，其余選項(xiàng)看都沒(méi)看；一部分學(xué)生是猜的；小部分學(xué)生利用外心這個(gè)條件，真正求出正確結(jié)果.為何看似一道普通的向量題，卻難倒了如此多的學(xué)生，這不禁引起了筆者的思考.

3 解法賞析

注意到OD⊥AD，從而

在△ABC中，由余弦定理得

從而

由

得

解得

圖1 圖2

從而

又

從而

解得

點(diǎn)評(píng)解法2采用坐標(biāo)法，根據(jù)三角形已知的3條邊長(zhǎng)，可求解出任一個(gè)角，即3個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)均可以解出.利用正弦定理可以求出外接圓的半徑，即AO的長(zhǎng).由O是中垂線的交點(diǎn)，可以得出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)Rt△AOD可得出OD的長(zhǎng)，因此可以求出點(diǎn)O的坐標(biāo).最后利用向量相等，等價(jià)于橫縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)相等，得出關(guān)于x,y的方程組，解之.解法2體現(xiàn)了坐標(biāo)法的優(yōu)越性，是學(xué)生容易想到的一種解法.

從而

故∠BAC為銳角.如圖3，過(guò)點(diǎn)O作OG∥CA交AB于點(diǎn)G，作OH∥BA交AC于點(diǎn)H.

由OG∥CA可得

從而

由解法2知

從而

圖3 圖4

解法4由解法2，知

如圖4，在△AOB中，由余弦定理得

從而

在△AOC中，由余弦定理得

從而

在△AOG中，由正弦定理得

解得

點(diǎn)評(píng)解法4與解法3類似，與解法3不同的是求AG,AH的長(zhǎng)度是先利用余弦定理分別解出∠BAO與∠CAO的正弦，再利用正弦定理得解.

圖5

解法5由解法2，知

取BC的中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)OH，則OH⊥BC.因?yàn)?/p>

所以由余弦定理可知

又

得

由

上述各種解法，是對(duì)所給問(wèn)題多角度觀察、聯(lián)想、思考的結(jié)果.本題也讓我們感受到命題者的良苦用心，讓我們深刻體驗(yàn)到：好的考題中蘊(yùn)含著基本的數(shù)學(xué)思想方法，一題存在多種解法，入口寬，活而不難，突出對(duì)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)能力的考查.

4 試題類比

對(duì)于內(nèi)心和垂心的解法探究：

解法1如圖6，OE⊥AB，OF⊥AC.由△ABC的3條邊長(zhǎng)可求得

從而

即

解得

圖6 圖7

即

解得

即

解得

圖8 圖9

從而

解得

5 反思

教學(xué)中對(duì)一類問(wèn)題不能僅僅滿足于完成試題得到結(jié)果，而應(yīng)該舍得花時(shí)間組織學(xué)生對(duì)條件和結(jié)論多反思、拓展，讓學(xué)生親身經(jīng)歷探究過(guò)程，發(fā)現(xiàn)隱藏在試題背后的通性、共性的知識(shí)，理解基本的數(shù)學(xué)概念、教學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，體會(huì)其中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想方法，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 邱慎振.一道高考模擬試題的多視角探究與思考[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2013(11)：26-28.

[2] 嚴(yán)飛.對(duì)一道課本例題的深入挖掘[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2013(9)：11-12.

[3] 張定強(qiáng)，趙宏淵，楊紅.高中生數(shù)學(xué)反思能力培養(yǎng)的基本模式與實(shí)踐探索[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008,17(1)：38-42.