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(杭州第十四中學(xué) 浙江杭州 310006)
我們知道,數(shù)學(xué)項(xiàng)目活動(dòng)學(xué)習(xí)課的基本思路為:情境引入、數(shù)學(xué)花絮、知識(shí)背景、教學(xué)目標(biāo)、學(xué)習(xí)模塊建議、實(shí)施建議、評(píng)價(jià)建議等.活動(dòng)課可根據(jù)某個(gè)知識(shí)的不同方面劃分為多個(gè)模塊,既有理論型模塊,也有實(shí)踐動(dòng)手型模塊.每個(gè)學(xué)生可以根據(jù)自己的喜好選擇最感興趣的模塊進(jìn)行實(shí)踐.每個(gè)模塊再給出若干個(gè)指導(dǎo)問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主探究和討論找出問(wèn)題的答案.下面以高中數(shù)學(xué)“斐波那契數(shù)列”為例,由教師提出斐波那契數(shù)列這一數(shù)學(xué)知識(shí),指導(dǎo)學(xué)生利用課余時(shí)間自主探究斐波那契數(shù)列在各領(lǐng)域中的應(yīng)用,最后以小組匯報(bào)的形式將研究成果向師生展示.
(1)通過(guò)教師講解使學(xué)生了解斐波那契數(shù)列的歷史及定義.
(2)啟發(fā)學(xué)生利用類(lèi)比、歸納、猜想等數(shù)學(xué)方法探索研究斐波那契數(shù)列的性質(zhì)及特點(diǎn).
(3)通過(guò)學(xué)生親歷各種數(shù)學(xué)活動(dòng),自主利用書(shū)籍、網(wǎng)絡(luò)等現(xiàn)代技術(shù)手段學(xué)習(xí)知識(shí)進(jìn)而解決問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力和收集、加工、整理、利用信息的能力.
(4)通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)素材的收集、整理,讓學(xué)生感受生活中的數(shù)學(xué)無(wú)處不在,感受數(shù)學(xué)美和數(shù)學(xué)的巨大作用,了解數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系,激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和求知欲.
(5)通過(guò)小組合作和成果匯報(bào),培養(yǎng)學(xué)生的交流能力和團(tuán)隊(duì)合作意識(shí).
1202年,意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他的著作《算盤(pán)書(shū)》中,提出了一個(gè)問(wèn)題:
假定一對(duì)剛出生的兔子一個(gè)月就能長(zhǎng)成大兔子,再過(guò)一個(gè)月就開(kāi)始生下一對(duì)小兔子,并且以后每個(gè)月都生一對(duì)小兔子.設(shè)所生的一對(duì)兔子均為一雄一雌,且均無(wú)死亡,問(wèn)一對(duì)剛出生的小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對(duì)兔子?
師:同學(xué)們,你和你的小組成員可以從以下的幾個(gè)活動(dòng)建議模塊中任選一個(gè)或多個(gè)感興趣的模塊進(jìn)行研究.
模塊1斐波那契數(shù)列的數(shù)學(xué)奧秘
斐波那契數(shù)列具有很多奇妙的數(shù)學(xué)特征,你能否找出這些特征呢?
問(wèn)題1上述斐波那契數(shù)列是用遞推公式表示的,如果僅僅依靠遞推關(guān)系式求解恐怕會(huì)很麻煩,你有什么好辦法嗎?它的通項(xiàng)公式是什么?
問(wèn)題2通過(guò)計(jì)算和觀察,請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)斐波那契數(shù)列有哪些性質(zhì)(如通項(xiàng)公式、項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系等).
問(wèn)題3斐波那契數(shù)列還與其他一些數(shù)學(xué)知識(shí)有著微妙的聯(lián)系,你能找出來(lái)嗎(如楊輝三角、黃金分割)?
問(wèn)題4設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算機(jī)的程序,可以求解斐波那契數(shù)列的任意一項(xiàng).
模塊2斐波那契數(shù)列與植物
植物界中的眾多植物都偏愛(ài)于斐波那契數(shù)列,這是偶然的巧合還是大自然的法則?
問(wèn)題1觀察葉子的生長(zhǎng)規(guī)律,它與斐波那契數(shù)列有什么聯(lián)系嗎?
問(wèn)題2觀察身邊的花朵,說(shuō)說(shuō)它們與斐波那契數(shù)列的關(guān)系.
問(wèn)題3觀察植物的果實(shí),從中找出斐波那契螺旋.
模塊3斐波那契數(shù)列與動(dòng)物
動(dòng)物界中也有眾多現(xiàn)象與斐波那契數(shù)列有關(guān),你能發(fā)現(xiàn)它們嗎?
問(wèn)題1你知道,蜜蜂的繁殖有什么規(guī)律嗎?它與斐波那契數(shù)列有什么聯(lián)系?
問(wèn)題2細(xì)菌的傳播與斐波那契數(shù)列有關(guān)嗎?
問(wèn)題3動(dòng)物的身上也有斐波那契螺旋嗎?
模塊4斐波那契數(shù)列與藝術(shù)
斐波那契數(shù)列不僅是自然界的設(shè)計(jì)師,它還給音樂(lè)藝術(shù)帶來(lái)了許多靈感.巴赫的作品《賦格的藝術(shù)》背后的數(shù)學(xué)定理就是斐波那契數(shù)列!許多建筑物運(yùn)用了斐波那契螺旋線(xiàn)使得建筑物設(shè)計(jì)美輪美奐.
這一晚的刺心魔術(shù),他命名為“鉆心時(shí)刻”,在場(chǎng)的許多人檢查過(guò)那柄匕首,毫無(wú)機(jī)關(guān),可它刺入杜朗的胸腔,就是毫發(fā)無(wú)傷??勺詈?,他失手了。一場(chǎng)驚心動(dòng)魄的魔術(shù),瞬間變成了一樁血案,沒(méi)人知道這是一場(chǎng)意外,還是一場(chǎng)謀殺。
問(wèn)題1請(qǐng)你試著分析斐波那契數(shù)列在樂(lè)曲中的應(yīng)用規(guī)律,并按照這個(gè)規(guī)律創(chuàng)作一段簡(jiǎn)單的樂(lè)曲.如果有困難,也可以請(qǐng)教音樂(lè)教師.
問(wèn)題2樂(lè)器中也能找到斐波那契數(shù),請(qǐng)?jiān)囈辉嚕?/p>
模塊5斐波那契數(shù)列與高中數(shù)學(xué)
中學(xué)數(shù)學(xué)中有許多習(xí)題的背景也是斐波那契數(shù)列的應(yīng)用.
問(wèn)題1還記得《數(shù)學(xué)(必修2)》第90頁(yè)的魔術(shù)嗎?你能揭秘這個(gè)魔術(shù)背后的奧秘嗎?你能自己設(shè)計(jì)一個(gè)類(lèi)似的魔術(shù)嗎?
問(wèn)題2蜂房問(wèn)題.
問(wèn)題3爬樓梯問(wèn)題.
模塊6動(dòng)手構(gòu)建神奇的數(shù)列
斐波那契數(shù)列是如此的神奇,請(qǐng)你也來(lái)構(gòu)造一個(gè)神奇的數(shù)列,并說(shuō)明它的神奇之處.
問(wèn)題1將斐波那契數(shù)列的開(kāi)始2項(xiàng)改變,數(shù)列的一些性質(zhì)發(fā)生了哪些變化?
問(wèn)題2查閱資料了解盧卡數(shù)列、托里波那契數(shù)列,這些數(shù)列與斐波那契數(shù)列有什么關(guān)系嗎?
確定小組成員,明確選擇模塊主題;
小組成員明確各自在分組活動(dòng)中的角色,合作完成項(xiàng)目;
活動(dòng)期間利用網(wǎng)絡(luò)、書(shū)籍等資源查找相關(guān)資料,遇到困難可以向其他學(xué)生和教師求助,采納有效的意見(jiàn)繼續(xù)完成項(xiàng)目;
學(xué)生進(jìn)行研究成果的展示,可以是PPT演示,也可以是實(shí)物展示、編制簡(jiǎn)報(bào)等,并在匯報(bào)課上解答其他學(xué)生的疑問(wèn).
活動(dòng)結(jié)束請(qǐng)思考:在整個(gè)活動(dòng)中有哪些收獲,有哪些困惑,有哪些建議?請(qǐng)記錄在下面的表1中:
表1 活動(dòng)反饋表
此表一式2份,一份與學(xué)生自己的成果作品放在一起,一份上交給教師.
由每位學(xué)生填寫(xiě)學(xué)習(xí)單中的活動(dòng)反饋表,將自己在活動(dòng)中的感受和建議整理好.由師生共同利用學(xué)習(xí)單中的小組活動(dòng)計(jì)分表給各匯報(bào)小組的成果打分,根據(jù)分值的高低頒發(fā)獎(jiǎng)品,所有參與的學(xué)生都有獎(jiǎng),以資鼓勵(lì).在學(xué)生們的自評(píng)反饋中可以看到學(xué)生參加這類(lèi)活動(dòng)的興趣很高,在資料的收集、加工和整理方面的能力得到了鍛煉,學(xué)生之間的交流與合作能力得到了提高.這次的數(shù)學(xué)活動(dòng)課學(xué)生們的表現(xiàn)非常出色,只能用“驚嘆”來(lái)形容筆者的心情,讓筆者感到興奮的不僅僅是斐波那契數(shù)列知識(shí)本身,更重要的是學(xué)生們?cè)谔骄繑?shù)學(xué)奧秘過(guò)程中的精彩表現(xiàn).
活動(dòng)學(xué)習(xí)課讓教師看到了學(xué)生身上存在著巨大的潛能,作為教師應(yīng)該要給他們舞臺(tái),讓他們?cè)谖枧_(tái)上跳出最美麗的舞蹈.比如,音樂(lè)組的學(xué)生通過(guò)了解斐波那契數(shù)列在音樂(lè)中的應(yīng)用,利用斐波那契數(shù)列自己創(chuàng)作了一首樂(lè)曲,將莫扎特的名曲根據(jù)斐波那契數(shù)列改編之后,使得原本悲傷的樂(lè)曲變得歡樂(lè)明快;動(dòng)、植物組的學(xué)生找了許多大自然中的奇妙現(xiàn)象,平時(shí)也許我們不曾想到花瓣和果實(shí)也存在著那么多的數(shù)學(xué)知識(shí);藝術(shù)組的學(xué)生根據(jù)鋼琴的琴鍵上存在斐波那契數(shù)列,結(jié)合組員學(xué)習(xí)民樂(lè)的特點(diǎn),提出中國(guó)古典民族樂(lè)器是不是也有斐波那契數(shù)列存在的猜想?他們提出問(wèn)題,大膽假設(shè),小心求證,結(jié)果他們找到了許多弦數(shù)為斐波那契數(shù)的彈撥樂(lè)器,同時(shí)也發(fā)現(xiàn)了一些非斐波那契數(shù)的樂(lè)器.
學(xué)習(xí)需要?jiǎng)恿?,學(xué)生們內(nèi)心存在弄清楚某個(gè)問(wèn)題的強(qiáng)烈需求時(shí)就會(huì)樂(lè)意迎難而上,而不再需要外力催促他們學(xué)習(xí).比如,數(shù)學(xué)奧秘組的學(xué)生就運(yùn)用了高中階段沒(méi)有教授的特征方程成功求出了斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式,自己閱讀文獻(xiàn)來(lái)研究斐波那契螺線(xiàn)的奧秘,他們遇到了沒(méi)有學(xué)過(guò)的知識(shí),可是他們沒(méi)有停止、退縮,而是選擇了迎難而上,靠自己和團(tuán)隊(duì)的力量成功獲得了問(wèn)題的解答.學(xué)生們運(yùn)用現(xiàn)代多媒體技術(shù)進(jìn)行成果匯報(bào),除了使用傳統(tǒng)的PPT之外,還利用了moviemaker制作了電影,并在現(xiàn)場(chǎng)揭秘了劉謙表演過(guò)的魔術(shù).豐富多彩的匯報(bào)形式,讓所有聽(tīng)課的教師耳目一新,比起平日里一支粉筆、一塊黑板的上課,這樣的課顯然有意思多了.
學(xué)生在該項(xiàng)目學(xué)習(xí)活動(dòng)中也暴露出一些問(wèn)題.一方面,此類(lèi)數(shù)學(xué)項(xiàng)目學(xué)習(xí)活動(dòng)需要學(xué)生較強(qiáng)的自主學(xué)習(xí)能力、尋找問(wèn)題的能力以及鉆研精神,這些恰恰是學(xué)生相對(duì)薄弱的,因此在整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中,教師還是要起主導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的作用.另一方面,由于課業(yè)壓力和時(shí)間關(guān)系,并不是所有的學(xué)生都參與到了活動(dòng)中來(lái),個(gè)別小組只有幾位學(xué)生在真正實(shí)踐操作,更多的學(xué)生則成了看客.可能學(xué)生很少接觸這樣的學(xué)習(xí)方式,因此對(duì)于學(xué)生而言,他們喜歡教師上這樣的課,但是如果僅僅是聽(tīng)聽(tīng)這樣的趣味數(shù)學(xué)課,而不用他們動(dòng)手,他們會(huì)更樂(lè)意,但這與設(shè)計(jì)這類(lèi)課的初衷是相悖的.因此如何真正調(diào)動(dòng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)探究的積極性,這是值得教師思考的問(wèn)題.
學(xué)生的成果數(shù)學(xué)味還不夠濃,學(xué)生更愿意去了解數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的事例,而不愿意去研究斐波那契數(shù)列的數(shù)學(xué)本質(zhì)和定理.對(duì)于枯燥的數(shù)學(xué)更多的學(xué)生還是避而遠(yuǎn)之.數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)如果缺少了數(shù)學(xué)味,那么就缺失了核心的內(nèi)容,因此在開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)項(xiàng)目活動(dòng)課時(shí)要注意與普通的研究性學(xué)習(xí)區(qū)分開(kāi)來(lái),要注意活動(dòng)中的數(shù)學(xué)元素,要指導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)本質(zhì),從而建立起聯(lián)系.比如,魔術(shù)組的學(xué)生開(kāi)始時(shí)僅僅只會(huì)破解課本上的一個(gè)魔術(shù),認(rèn)為只是由于斜率不同造成的視覺(jué)誤差.后來(lái)他們研究了連續(xù)3項(xiàng)斐波那契數(shù)的一個(gè)運(yùn)算性質(zhì)后,發(fā)現(xiàn)了魔術(shù)背后的真正奧秘,一旦掌握了這個(gè)數(shù)學(xué)奧秘,他們不僅能破解魔術(shù),還能自己創(chuàng)造魔術(shù)了.
在開(kāi)展數(shù)學(xué)項(xiàng)目活動(dòng)學(xué)習(xí)的過(guò)程中,解決問(wèn)題所需的知識(shí)儲(chǔ)備不足、解決問(wèn)題的方法多樣、解決過(guò)程的不確定性,讓筆者感到力不從心,感受到要成為一名優(yōu)秀的教師還需要更多的積累和提高.與其說(shuō)是筆者教育學(xué)生,倒不如說(shuō)和學(xué)生一起在活動(dòng)中學(xué)習(xí)、提高.教師在教學(xué)過(guò)程中需要不斷調(diào)整自己的角色,而不再永遠(yuǎn)是“正確的指導(dǎo)者、真理的化身”.在項(xiàng)目學(xué)習(xí)準(zhǔn)備階段,教師應(yīng)該是設(shè)計(jì)者,需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)好的問(wèn)題環(huán)境,激發(fā)學(xué)生自主解決問(wèn)題的積極性和創(chuàng)造性.在項(xiàng)目學(xué)習(xí)實(shí)施階段,教師則是組織者、咨詢(xún)者或者點(diǎn)評(píng)者,幫助學(xué)生在主動(dòng)探索活動(dòng)中,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)意義、應(yīng)用價(jià)值等;幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待現(xiàn)實(shí)生活背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí);幫助學(xué)生動(dòng)手制作活動(dòng)成果等.
在這次的數(shù)學(xué)活動(dòng)學(xué)習(xí)課上,師生交換了位置,學(xué)生們成了教師,成了自己的先生.筆者相信學(xué)生們通過(guò)自己的研究和學(xué)習(xí),掌握的斐波那契數(shù)列知識(shí)很牢固,將來(lái)很長(zhǎng)一段時(shí)間都不會(huì)忘記今天這一課的內(nèi)容.這也是這類(lèi)數(shù)學(xué)項(xiàng)目活動(dòng)課的價(jià)值所在.數(shù)學(xué)項(xiàng)目活動(dòng)學(xué)習(xí)課對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和熱愛(ài)是很有意義的,通過(guò)學(xué)習(xí)課學(xué)生喜歡上了數(shù)學(xué),有了學(xué)好數(shù)學(xué)的內(nèi)在動(dòng)力,同時(shí)這樣的活動(dòng)學(xué)習(xí)課也鍛煉了學(xué)生之間的交流能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力,這些能力也都是平時(shí)學(xué)習(xí)課本知識(shí)時(shí)無(wú)法習(xí)得的.因此,要想讓學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué),那就讓他們熱愛(ài)數(shù)學(xué)吧!要想讓學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué),那就讓他們?cè)趯?shí)踐中體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力和價(jià)值吧!讓他們感受到數(shù)學(xué)也是可以在活動(dòng)學(xué)習(xí)課中學(xué)習(xí)和掌握的!
參 考 文 獻(xiàn)
[1] 張國(guó)祥.?dāng)?shù)學(xué)化與數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)思想[J].?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2005,14(1):16-18.
[2] 周仕榮.?dāng)?shù)學(xué)課堂規(guī)范的討論和分析[J].?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2012,21(1):80-81.
[3] 王光明,刁穎.高效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理特征研究[J].?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2009,18(5):51-56.
[4] 馬茂年.快樂(lè)教學(xué)改善心育領(lǐng)悟本質(zhì)——從“教書(shū)匠”走向“名教師”[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2013(7):4-7.
[5] 馬茂年,俞昕.課堂教學(xué)回歸“數(shù)學(xué)化”的討論和分析——以高中“數(shù)學(xué)歸納法”的教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2013,22(3):83-84.
[6] 顧予恒,馬茂年.數(shù)學(xué)選修活動(dòng)課堂精彩紛呈——以人教A版《數(shù)學(xué)(必修3)》的閱讀思考材料“概率與密碼”為例[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2014(1):7-12.