利用函數(shù)性質(zhì)求解不等式問

姚麗

利用函數(shù)的圖象求解不等式問題

例1［2014年嘉興市第一中學(xué)高三階段測(cè)試（文科）第17題］ 已知實(shí)數(shù)x，y滿足y≥1，

x+y≤2，

y≤2x+m，且z=x+2y，若z的最小值的取值范圍為［0，2］，則z的最大值的取值范圍是.

解析： 由不等式組作出實(shí)數(shù)x，y滿足的可行域，如圖1 陰影部分所示.

根據(jù)可行域的圖象，可以將目標(biāo)函數(shù)z=x+2y看成是直線方程y=-x+，z取到最小值亦即直線在y軸上的截距取到最小值.由圖1可知，當(dāng)直線y=-x+過直線y=2x+m與y=1的交點(diǎn)A時(shí)，在y軸上的截距最小，即z取到最小值. A點(diǎn)坐標(biāo)為

，1，即當(dāng)x=，y=1時(shí)，zmin=x+2y=.又zmin∈［0，2］，即∈［0，2］，所以m∈［1，5］.

同理，當(dāng)直線y=-x+過直線y=2x+m與x+y=2的交點(diǎn)B時(shí)，在y軸上的截距最大，即z取到最大值. B點(diǎn)坐標(biāo)為

，

，即當(dāng)x=，y=時(shí)，zmax=x+2y=.又m∈［1，5］，所以∈

，5，即z的最大值的取值范圍是

，5.

點(diǎn)評(píng)： 線性規(guī)劃問題常和不等式、最值問題相聯(lián)系，利用函數(shù)圖象的位置關(guān)系求解是最常用的方法.在例1中，我們將目標(biāo)函數(shù)看成是一組斜率為-的直線，利用z取到最值與該組直線在y軸上的截距取到最值相對(duì)應(yīng)這一點(diǎn)，找到z取最小、最大值時(shí)直線所過的特殊點(diǎn)A，B，利用m的取值范圍來求出z的最大值的取值范圍.

利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式問題

例2［2012年高考數(shù)學(xué)浙江卷（文科）第10題］設(shè)a>0，b>0，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（A） 若ea+2a=eb+3b，則a>b

（B） 若ea+2a=eb+3b，則a

（C） 若ea-2a=eb-3b，則a>b

（D） 若ea-2a=eb-3b，則a

解析： 若ea+2a=eb+3b，則必有ea+2a>eb+2b.

構(gòu)造函數(shù)f（x）=ex+2x，則f′（x）=ex+2>0恒成立，所以函數(shù)f（x）在x>0上單調(diào)遞增.因?yàn)閑a+2a>eb+2b，即f（a）>f（b），所以a>b，選A.其余選項(xiàng)可用同種方法排除.

點(diǎn)評(píng)： 利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式問題的關(guān)鍵，是要將函數(shù)值的不等關(guān)系與自變量的不等關(guān)系進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化.例2解法的巧妙之處，就在于通過判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性,將函數(shù)值f（a）與f（b）的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量a，b間的大小關(guān)系.

利用函數(shù)的奇偶性求解不等式問題

例3［2013年高考數(shù)學(xué)四川卷（理科）第14題］ 已知f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2-4x，那么不等式f（x+2）<5的解集是.

解析： 由題意可知，當(dāng)x≥0時(shí)f（x）=x2-4x，所以當(dāng)x+2≥0時(shí)，f（x+2）=（x+2）2-4（x+2）=x2-4.由f（x+2）<5可得x2-4<5，解得-3

因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，則由函數(shù)f（x+2）的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱可得-7

點(diǎn)評(píng)： 奇偶函數(shù)的圖象具有對(duì)稱性，通過數(shù)形結(jié)合法能幫助我們快速解題.在例3中，我們先求出x+2≥0時(shí)x的解集,然后通過偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性得到x+2<0時(shí)x的解集，簡(jiǎn)化了不等式運(yùn)算，達(dá)到事半功倍的效果.

利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式問題的關(guān)鍵，是要將函數(shù)值的不等關(guān)系與自變量的不等關(guān)系進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化.

利用函數(shù)的圖象求解不等式問題

例1［2014年嘉興市第一中學(xué)高三階段測(cè)試（文科）第17題］ 已知實(shí)數(shù)x，y滿足y≥1，

x+y≤2，

y≤2x+m，且z=x+2y，若z的最小值的取值范圍為［0，2］，則z的最大值的取值范圍是.

解析： 由不等式組作出實(shí)數(shù)x，y滿足的可行域，如圖1 陰影部分所示.

根據(jù)可行域的圖象，可以將目標(biāo)函數(shù)z=x+2y看成是直線方程y=-x+，z取到最小值亦即直線在y軸上的截距取到最小值.由圖1可知，當(dāng)直線y=-x+過直線y=2x+m與y=1的交點(diǎn)A時(shí)，在y軸上的截距最小，即z取到最小值. A點(diǎn)坐標(biāo)為

，1，即當(dāng)x=，y=1時(shí)，zmin=x+2y=.又zmin∈［0，2］，即∈［0，2］，所以m∈［1，5］.

同理，當(dāng)直線y=-x+過直線y=2x+m與x+y=2的交點(diǎn)B時(shí)，在y軸上的截距最大，即z取到最大值. B點(diǎn)坐標(biāo)為

，

，即當(dāng)x=，y=時(shí)，zmax=x+2y=.又m∈［1，5］，所以∈

，5，即z的最大值的取值范圍是

，5.

點(diǎn)評(píng)： 線性規(guī)劃問題常和不等式、最值問題相聯(lián)系，利用函數(shù)圖象的位置關(guān)系求解是最常用的方法.在例1中，我們將目標(biāo)函數(shù)看成是一組斜率為-的直線，利用z取到最值與該組直線在y軸上的截距取到最值相對(duì)應(yīng)這一點(diǎn)，找到z取最小、最大值時(shí)直線所過的特殊點(diǎn)A，B，利用m的取值范圍來求出z的最大值的取值范圍.

利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式問題

例2［2012年高考數(shù)學(xué)浙江卷（文科）第10題］設(shè)a>0，b>0，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（A） 若ea+2a=eb+3b，則a>b

（B） 若ea+2a=eb+3b，則a

（C） 若ea-2a=eb-3b，則a>b

（D） 若ea-2a=eb-3b，則a

解析： 若ea+2a=eb+3b，則必有ea+2a>eb+2b.

構(gòu)造函數(shù)f（x）=ex+2x，則f′（x）=ex+2>0恒成立，所以函數(shù)f（x）在x>0上單調(diào)遞增.因?yàn)閑a+2a>eb+2b，即f（a）>f（b），所以a>b，選A.其余選項(xiàng)可用同種方法排除.

點(diǎn)評(píng)： 利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式問題的關(guān)鍵，是要將函數(shù)值的不等關(guān)系與自變量的不等關(guān)系進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化.例2解法的巧妙之處，就在于通過判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性,將函數(shù)值f（a）與f（b）的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量a，b間的大小關(guān)系.

利用函數(shù)的奇偶性求解不等式問題

例3［2013年高考數(shù)學(xué)四川卷（理科）第14題］ 已知f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2-4x，那么不等式f（x+2）<5的解集是.

解析： 由題意可知，當(dāng)x≥0時(shí)f（x）=x2-4x，所以當(dāng)x+2≥0時(shí)，f（x+2）=（x+2）2-4（x+2）=x2-4.由f（x+2）<5可得x2-4<5，解得-3

因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，則由函數(shù)f（x+2）的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱可得-7

點(diǎn)評(píng)： 奇偶函數(shù)的圖象具有對(duì)稱性，通過數(shù)形結(jié)合法能幫助我們快速解題.在例3中，我們先求出x+2≥0時(shí)x的解集,然后通過偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性得到x+2<0時(shí)x的解集，簡(jiǎn)化了不等式運(yùn)算，達(dá)到事半功倍的效果.

利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式問題的關(guān)鍵，是要將函數(shù)值的不等關(guān)系與自變量的不等關(guān)系進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化.

利用函數(shù)的圖象求解不等式問題

例1［2014年嘉興市第一中學(xué)高三階段測(cè)試（文科）第17題］ 已知實(shí)數(shù)x，y滿足y≥1，

x+y≤2，

y≤2x+m，且z=x+2y，若z的最小值的取值范圍為［0，2］，則z的最大值的取值范圍是.

解析： 由不等式組作出實(shí)數(shù)x，y滿足的可行域，如圖1 陰影部分所示.

根據(jù)可行域的圖象，可以將目標(biāo)函數(shù)z=x+2y看成是直線方程y=-x+，z取到最小值亦即直線在y軸上的截距取到最小值.由圖1可知，當(dāng)直線y=-x+過直線y=2x+m與y=1的交點(diǎn)A時(shí)，在y軸上的截距最小，即z取到最小值. A點(diǎn)坐標(biāo)為

，1，即當(dāng)x=，y=1時(shí)，zmin=x+2y=.又zmin∈［0，2］，即∈［0，2］，所以m∈［1，5］.

同理，當(dāng)直線y=-x+過直線y=2x+m與x+y=2的交點(diǎn)B時(shí)，在y軸上的截距最大，即z取到最大值. B點(diǎn)坐標(biāo)為

，

，即當(dāng)x=，y=時(shí)，zmax=x+2y=.又m∈［1，5］，所以∈

，5，即z的最大值的取值范圍是

，5.

點(diǎn)評(píng)： 線性規(guī)劃問題常和不等式、最值問題相聯(lián)系，利用函數(shù)圖象的位置關(guān)系求解是最常用的方法.在例1中，我們將目標(biāo)函數(shù)看成是一組斜率為-的直線，利用z取到最值與該組直線在y軸上的截距取到最值相對(duì)應(yīng)這一點(diǎn)，找到z取最小、最大值時(shí)直線所過的特殊點(diǎn)A，B，利用m的取值范圍來求出z的最大值的取值范圍.

利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式問題

例2［2012年高考數(shù)學(xué)浙江卷（文科）第10題］設(shè)a>0，b>0，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（A） 若ea+2a=eb+3b，則a>b

（B） 若ea+2a=eb+3b，則a

（C） 若ea-2a=eb-3b，則a>b

（D） 若ea-2a=eb-3b，則a

解析： 若ea+2a=eb+3b，則必有ea+2a>eb+2b.

構(gòu)造函數(shù)f（x）=ex+2x，則f′（x）=ex+2>0恒成立，所以函數(shù)f（x）在x>0上單調(diào)遞增.因?yàn)閑a+2a>eb+2b，即f（a）>f（b），所以a>b，選A.其余選項(xiàng)可用同種方法排除.

點(diǎn)評(píng)： 利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式問題的關(guān)鍵，是要將函數(shù)值的不等關(guān)系與自變量的不等關(guān)系進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化.例2解法的巧妙之處，就在于通過判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性,將函數(shù)值f（a）與f（b）的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量a，b間的大小關(guān)系.

利用函數(shù)的奇偶性求解不等式問題

例3［2013年高考數(shù)學(xué)四川卷（理科）第14題］ 已知f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2-4x，那么不等式f（x+2）<5的解集是.

解析： 由題意可知，當(dāng)x≥0時(shí)f（x）=x2-4x，所以當(dāng)x+2≥0時(shí)，f（x+2）=（x+2）2-4（x+2）=x2-4.由f（x+2）<5可得x2-4<5，解得-3

因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，則由函數(shù)f（x+2）的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱可得-7

點(diǎn)評(píng)： 奇偶函數(shù)的圖象具有對(duì)稱性，通過數(shù)形結(jié)合法能幫助我們快速解題.在例3中，我們先求出x+2≥0時(shí)x的解集,然后通過偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性得到x+2<0時(shí)x的解集，簡(jiǎn)化了不等式運(yùn)算，達(dá)到事半功倍的效果.

利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式問題的關(guān)鍵，是要將函數(shù)值的不等關(guān)系與自變量的不等關(guān)系進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化.