利用二次求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)

苗孟

提問有這樣一道題：已知函數(shù)f（x）=alnx+x2（a∈R），若存在x∈［1，+∞），使得f（x）≤（a+2）x能成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.我的解題步驟是：將不等式f（x）≤（a+2）x轉(zhuǎn)化為a（x-lnx）≥x2-2x.由x∈［1，+∞）可得x=lnex>lnx，所以x-lnx>0，不等式a（x-lnx）≥x2-2x可轉(zhuǎn)化為a≥.存在x∈［1，+∞），使得a≥能成立，等價(jià)于當(dāng)x≥1時(shí)，a≥

min.

設(shè)g（x）=，則g′（x）=.為了判斷g′（x）的正負(fù)，我花了很長時(shí)間終于將它因式分解，得到g′（x）=，但是接下來我還是無法判斷其正負(fù)……

回答這位同學(xué)在求解過程中，由于不能判斷一階導(dǎo)函數(shù)g′（x）=的正負(fù)，所以無法得出函數(shù)g（x）的單調(diào)性.在這種情況下，通過二次求導(dǎo)來幫助解題是個(gè)好辦法.

由于x∈［1，+∞）時(shí)≥0，所以可設(shè)h（x）=x+2-2lnx，則h′（x）=1-=.當(dāng)x∈［1，2）時(shí)，h′（x）<0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，h′（x）>0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，所以h（x）min=h（2）=4-2ln2>4-2lne2=0，h（x）=x+2-2lnx>0在區(qū)間［1，+∞）上恒成立.

由≥0，h（x）=x+2-2lnx>0可得g′（x）=≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)g（x）=在區(qū)間［1，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）min=g（1）=-1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是［-1，+∞）.

小結(jié)對(duì)于求參數(shù)范圍的問題，運(yùn)用變量分離法分離出參數(shù)后構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解該函數(shù)最值，從而獲得參數(shù)的取值范圍，是最常用的方法之一.如果求導(dǎo)后難以判斷一階導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，則可以再對(duì)一階導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用二階導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷一階導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得到所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，求出參數(shù)的取值范圍.