圓錐曲線中的最值與范圍問題

戴三

圓錐曲線中的最值與范圍問題是高考的考查熱點(diǎn)，往往以圓錐曲線（包括圓）與直線為載體，結(jié)合函數(shù)、不等式及導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，綜合考查解題能力. 求解這類問題的基本方法有幾何特征法和代數(shù)法.

幾何特征法

幾何特征法即利用圓錐曲線的幾何特征蘊(yùn)含的條件，如拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離、過橢圓焦點(diǎn)的所有弦中通徑最短等，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)或不等式求解.

例1已知直線l：x+y+3=0和圓C：x2+y2-2x-2y-2=0，設(shè)A是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，直線AC交圓C于點(diǎn)B，若在圓C上存在點(diǎn)M，使∠MAB=，則點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍為

.

解析： 圓C：（x-1）2+（y-1）2=4. 如圖1所示，過C點(diǎn)作CN⊥AM于點(diǎn)N，則CN≤CM=2.在Rt△CNA中，∠NAC=，所以AC=2CN≤4.

設(shè)A（x，-x-3），則AC2=（x-1）2+（-x-3-1）2=2x2+6x+17≤16，解得≤x≤.

所以點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍為≤x≤.

點(diǎn)評(píng)： 解答例1 的關(guān)鍵是利用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系，建立不等關(guān)系求解.當(dāng)直線AM與圓C相切時(shí)，N, M兩點(diǎn)重合，CN取到最大值2；而AC可通過∠MAB與CN建立量的關(guān)系，由此構(gòu)建以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x為自變量、以AC為因變量的函數(shù)，進(jìn)而求解.

例2［2013年嘉興市高三教學(xué)測(cè)試（一）第17題］ 已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，若點(diǎn)A，B是該拋物線上的點(diǎn)，∠AFB=，線段AB的中點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為N，則的最大值為.

解析： 如圖2所示，過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A1，B1.

設(shè)FA=t1，F(xiàn)B=t2，則由∠AFB=可得AB=.因?yàn)锳M=MB，NM∥AA1∥BB1，所以MN=（AA1+BB1）.由拋物線定義可知AA1=FA，BB1=FB，所以MN=（FA+FB）=（t1+t2），所以=.

由[t1][2]+[t2][2]≥2t1t2可得2[t1][2]+2[t2][2]≥2t1t2+（[t1][2]+[t2][2]）=（t1+t2）2，t1+t2≤·，所以≤=，當(dāng)且僅當(dāng)t1=t2時(shí)取到等號(hào)，所以的最大值為.

點(diǎn)評(píng)： 例2利用拋物線的定義，將線段MN的長(zhǎng)度與FA，F(xiàn)B的長(zhǎng)度t1，t2相聯(lián)系，構(gòu)造了含有雙變量的函數(shù)，然后利用不等式（a+b）2≤2（a2+b2）求得函數(shù)的最大值.

代數(shù)法

利用題目所給條件的范圍或限制，如點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的斜率、線與線之間構(gòu)成的多邊形的面積等，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)或不等式求解.

例3設(shè)橢圓+=1 （a>b>0）的焦點(diǎn)分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），直線l：x=a2交x軸于點(diǎn)A，且F2為F1 A的中點(diǎn).

（1） 求橢圓的方程；

（2） 如圖3所示,過F1，F(xiàn)2分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D，E，M，N四點(diǎn)，試求四邊形DMEN面積的最大值和最小值.

解析： （1） 由F2為F1A的中點(diǎn)可得F1F2=F2 A，又OF2=1，所以F2 A=2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）.由直線l：x=a2交x軸于點(diǎn)A可得a=，b==，所以橢圓方程為+=1.

（2） 當(dāng)直線DE與x軸垂直時(shí)，MN=2a=2.由F1（-1，0），橢圓方程+=1可得點(diǎn)D-1，

，所以DF1=，DE=2DF1=， 四邊形DMEN的面積S==4.

同理，當(dāng)MN與x軸垂直時(shí)，也可得四邊形DMEN的面積S==4.

當(dāng)直線DE，MN均不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線DE：y=k（x+1），代入+=1中消去y，得（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0.設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2），則x1+x2=

，

x1x2=

.所以x1-x2==，DE==·x1-x2= .

設(shè)直線MN：y=-（x-1），同理可得MN=.所以四邊形DMEN的面積S==··=.

令u=k2+，得S==4-<4.因?yàn)閡=k2+≥2，所以4>S≥4-=，當(dāng)且僅當(dāng)k2=1時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)k=±1時(shí)，Smin=；當(dāng)直線DE或MN與x軸垂直時(shí)，Smax=4.

點(diǎn)評(píng)： 與拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的計(jì)算方法（往往利用定義，即幾何特征法）不同，橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)一般利用代數(shù)法求解，以焦點(diǎn)弦的斜率或傾斜角為變量來表示其長(zhǎng)度，如例3中的DE=.例3正是通過建立四邊形DMEN的面積S與焦點(diǎn)弦的斜率k的函數(shù)關(guān)系，求得了面積S的最值.

與拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的計(jì)算方法（往往利用定義，即幾何特征法）不同，橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)一般利用代數(shù)法求解，以焦點(diǎn)弦的斜率或傾斜角為變量來表示其長(zhǎng)度.

【練一練】 ［2012年嘉興市高三教學(xué)測(cè)試（二） 第9題］ 已知橢圓x2+my2=1的離心率e∈，1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（A） 0，（B） ，+∞（C） 0，∪，+∞（D） ，1∪1，【參考答案】解析： 先將橢圓方程x2+my2=1化為標(biāo)準(zhǔn)方程：x2+=1，因方程為橢圓方程，所以m>0.又因其焦點(diǎn)位置不確定，所以需要分類討論.當(dāng)0<<1即 m>1時(shí)，橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=1，短半軸長(zhǎng)b=，所以離心率e===.由e∈，1可得<<1.因?yàn)閙>1，所以<1恒成立.當(dāng)<時(shí)，解得m>.當(dāng)>1即0

圓錐曲線中的最值與范圍問題是高考的考查熱點(diǎn)，往往以圓錐曲線（包括圓）與直線為載體，結(jié)合函數(shù)、不等式及導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，綜合考查解題能力. 求解這類問題的基本方法有幾何特征法和代數(shù)法.

幾何特征法

幾何特征法即利用圓錐曲線的幾何特征蘊(yùn)含的條件，如拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離、過橢圓焦點(diǎn)的所有弦中通徑最短等，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)或不等式求解.

例1已知直線l：x+y+3=0和圓C：x2+y2-2x-2y-2=0，設(shè)A是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，直線AC交圓C于點(diǎn)B，若在圓C上存在點(diǎn)M，使∠MAB=，則點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍為

.

解析： 圓C：（x-1）2+（y-1）2=4. 如圖1所示，過C點(diǎn)作CN⊥AM于點(diǎn)N，則CN≤CM=2.在Rt△CNA中，∠NAC=，所以AC=2CN≤4.

設(shè)A（x，-x-3），則AC2=（x-1）2+（-x-3-1）2=2x2+6x+17≤16，解得≤x≤.

所以點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍為≤x≤.

點(diǎn)評(píng)： 解答例1 的關(guān)鍵是利用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系，建立不等關(guān)系求解.當(dāng)直線AM與圓C相切時(shí)，N, M兩點(diǎn)重合，CN取到最大值2；而AC可通過∠MAB與CN建立量的關(guān)系，由此構(gòu)建以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x為自變量、以AC為因變量的函數(shù)，進(jìn)而求解.

例2［2013年嘉興市高三教學(xué)測(cè)試（一）第17題］ 已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，若點(diǎn)A，B是該拋物線上的點(diǎn)，∠AFB=，線段AB的中點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為N，則的最大值為.

解析： 如圖2所示，過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A1，B1.

設(shè)FA=t1，F(xiàn)B=t2，則由∠AFB=可得AB=.因?yàn)锳M=MB，NM∥AA1∥BB1，所以MN=（AA1+BB1）.由拋物線定義可知AA1=FA，BB1=FB，所以MN=（FA+FB）=（t1+t2），所以=.

由[t1][2]+[t2][2]≥2t1t2可得2[t1][2]+2[t2][2]≥2t1t2+（[t1][2]+[t2][2]）=（t1+t2）2，t1+t2≤·，所以≤=，當(dāng)且僅當(dāng)t1=t2時(shí)取到等號(hào)，所以的最大值為.

點(diǎn)評(píng)： 例2利用拋物線的定義，將線段MN的長(zhǎng)度與FA，F(xiàn)B的長(zhǎng)度t1，t2相聯(lián)系，構(gòu)造了含有雙變量的函數(shù)，然后利用不等式（a+b）2≤2（a2+b2）求得函數(shù)的最大值.

代數(shù)法

利用題目所給條件的范圍或限制，如點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的斜率、線與線之間構(gòu)成的多邊形的面積等，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)或不等式求解.

例3設(shè)橢圓+=1 （a>b>0）的焦點(diǎn)分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），直線l：x=a2交x軸于點(diǎn)A，且F2為F1 A的中點(diǎn).

（1） 求橢圓的方程；

（2） 如圖3所示,過F1，F(xiàn)2分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D，E，M，N四點(diǎn)，試求四邊形DMEN面積的最大值和最小值.

解析： （1） 由F2為F1A的中點(diǎn)可得F1F2=F2 A，又OF2=1，所以F2 A=2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）.由直線l：x=a2交x軸于點(diǎn)A可得a=，b==，所以橢圓方程為+=1.

（2） 當(dāng)直線DE與x軸垂直時(shí)，MN=2a=2.由F1（-1，0），橢圓方程+=1可得點(diǎn)D-1，

，所以DF1=，DE=2DF1=， 四邊形DMEN的面積S==4.

同理，當(dāng)MN與x軸垂直時(shí)，也可得四邊形DMEN的面積S==4.

當(dāng)直線DE，MN均不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線DE：y=k（x+1），代入+=1中消去y，得（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0.設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2），則x1+x2=

，

x1x2=

.所以x1-x2==，DE==·x1-x2= .

設(shè)直線MN：y=-（x-1），同理可得MN=.所以四邊形DMEN的面積S==··=.

令u=k2+，得S==4-<4.因?yàn)閡=k2+≥2，所以4>S≥4-=，當(dāng)且僅當(dāng)k2=1時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)k=±1時(shí)，Smin=；當(dāng)直線DE或MN與x軸垂直時(shí)，Smax=4.

點(diǎn)評(píng)： 與拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的計(jì)算方法（往往利用定義，即幾何特征法）不同，橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)一般利用代數(shù)法求解，以焦點(diǎn)弦的斜率或傾斜角為變量來表示其長(zhǎng)度，如例3中的DE=.例3正是通過建立四邊形DMEN的面積S與焦點(diǎn)弦的斜率k的函數(shù)關(guān)系，求得了面積S的最值.

與拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的計(jì)算方法（往往利用定義，即幾何特征法）不同，橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)一般利用代數(shù)法求解，以焦點(diǎn)弦的斜率或傾斜角為變量來表示其長(zhǎng)度.

【練一練】 ［2012年嘉興市高三教學(xué)測(cè)試（二） 第9題］ 已知橢圓x2+my2=1的離心率e∈，1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（A） 0，（B） ，+∞（C） 0，∪，+∞（D） ，1∪1，【參考答案】解析： 先將橢圓方程x2+my2=1化為標(biāo)準(zhǔn)方程：x2+=1，因方程為橢圓方程，所以m>0.又因其焦點(diǎn)位置不確定，所以需要分類討論.當(dāng)0<<1即 m>1時(shí)，橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=1，短半軸長(zhǎng)b=，所以離心率e===.由e∈，1可得<<1.因?yàn)閙>1，所以<1恒成立.當(dāng)<時(shí)，解得m>.當(dāng)>1即0

圓錐曲線中的最值與范圍問題是高考的考查熱點(diǎn)，往往以圓錐曲線（包括圓）與直線為載體，結(jié)合函數(shù)、不等式及導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，綜合考查解題能力. 求解這類問題的基本方法有幾何特征法和代數(shù)法.

幾何特征法

幾何特征法即利用圓錐曲線的幾何特征蘊(yùn)含的條件，如拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離、過橢圓焦點(diǎn)的所有弦中通徑最短等，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)或不等式求解.

例1已知直線l：x+y+3=0和圓C：x2+y2-2x-2y-2=0，設(shè)A是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，直線AC交圓C于點(diǎn)B，若在圓C上存在點(diǎn)M，使∠MAB=，則點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍為

.

解析： 圓C：（x-1）2+（y-1）2=4. 如圖1所示，過C點(diǎn)作CN⊥AM于點(diǎn)N，則CN≤CM=2.在Rt△CNA中，∠NAC=，所以AC=2CN≤4.

設(shè)A（x，-x-3），則AC2=（x-1）2+（-x-3-1）2=2x2+6x+17≤16，解得≤x≤.

所以點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍為≤x≤.

點(diǎn)評(píng)： 解答例1 的關(guān)鍵是利用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系，建立不等關(guān)系求解.當(dāng)直線AM與圓C相切時(shí)，N, M兩點(diǎn)重合，CN取到最大值2；而AC可通過∠MAB與CN建立量的關(guān)系，由此構(gòu)建以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x為自變量、以AC為因變量的函數(shù)，進(jìn)而求解.

例2［2013年嘉興市高三教學(xué)測(cè)試（一）第17題］ 已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，若點(diǎn)A，B是該拋物線上的點(diǎn)，∠AFB=，線段AB的中點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為N，則的最大值為.

解析： 如圖2所示，過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A1，B1.

設(shè)FA=t1，F(xiàn)B=t2，則由∠AFB=可得AB=.因?yàn)锳M=MB，NM∥AA1∥BB1，所以MN=（AA1+BB1）.由拋物線定義可知AA1=FA，BB1=FB，所以MN=（FA+FB）=（t1+t2），所以=.

由[t1][2]+[t2][2]≥2t1t2可得2[t1][2]+2[t2][2]≥2t1t2+（[t1][2]+[t2][2]）=（t1+t2）2，t1+t2≤·，所以≤=，當(dāng)且僅當(dāng)t1=t2時(shí)取到等號(hào)，所以的最大值為.

點(diǎn)評(píng)： 例2利用拋物線的定義，將線段MN的長(zhǎng)度與FA，F(xiàn)B的長(zhǎng)度t1，t2相聯(lián)系，構(gòu)造了含有雙變量的函數(shù)，然后利用不等式（a+b）2≤2（a2+b2）求得函數(shù)的最大值.

代數(shù)法

利用題目所給條件的范圍或限制，如點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的斜率、線與線之間構(gòu)成的多邊形的面積等，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)或不等式求解.

例3設(shè)橢圓+=1 （a>b>0）的焦點(diǎn)分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），直線l：x=a2交x軸于點(diǎn)A，且F2為F1 A的中點(diǎn).

（1） 求橢圓的方程；

（2） 如圖3所示,過F1，F(xiàn)2分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D，E，M，N四點(diǎn)，試求四邊形DMEN面積的最大值和最小值.

解析： （1） 由F2為F1A的中點(diǎn)可得F1F2=F2 A，又OF2=1，所以F2 A=2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）.由直線l：x=a2交x軸于點(diǎn)A可得a=，b==，所以橢圓方程為+=1.

（2） 當(dāng)直線DE與x軸垂直時(shí)，MN=2a=2.由F1（-1，0），橢圓方程+=1可得點(diǎn)D-1，

，所以DF1=，DE=2DF1=， 四邊形DMEN的面積S==4.

同理，當(dāng)MN與x軸垂直時(shí)，也可得四邊形DMEN的面積S==4.

當(dāng)直線DE，MN均不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線DE：y=k（x+1），代入+=1中消去y，得（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0.設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2），則x1+x2=

，

x1x2=

.所以x1-x2==，DE==·x1-x2= .

設(shè)直線MN：y=-（x-1），同理可得MN=.所以四邊形DMEN的面積S==··=.

令u=k2+，得S==4-<4.因?yàn)閡=k2+≥2，所以4>S≥4-=，當(dāng)且僅當(dāng)k2=1時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)k=±1時(shí)，Smin=；當(dāng)直線DE或MN與x軸垂直時(shí)，Smax=4.

點(diǎn)評(píng)： 與拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的計(jì)算方法（往往利用定義，即幾何特征法）不同，橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)一般利用代數(shù)法求解，以焦點(diǎn)弦的斜率或傾斜角為變量來表示其長(zhǎng)度，如例3中的DE=.例3正是通過建立四邊形DMEN的面積S與焦點(diǎn)弦的斜率k的函數(shù)關(guān)系，求得了面積S的最值.

與拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的計(jì)算方法（往往利用定義，即幾何特征法）不同，橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)一般利用代數(shù)法求解，以焦點(diǎn)弦的斜率或傾斜角為變量來表示其長(zhǎng)度.

【練一練】 ［2012年嘉興市高三教學(xué)測(cè)試（二） 第9題］ 已知橢圓x2+my2=1的離心率e∈，1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（A） 0，（B） ，+∞（C） 0，∪，+∞（D） ，1∪1，【參考答案】解析： 先將橢圓方程x2+my2=1化為標(biāo)準(zhǔn)方程：x2+=1，因方程為橢圓方程，所以m>0.又因其焦點(diǎn)位置不確定，所以需要分類討論.當(dāng)0<<1即 m>1時(shí)，橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=1，短半軸長(zhǎng)b=，所以離心率e===.由e∈，1可得<<1.因?yàn)閙>1，所以<1恒成立.當(dāng)<時(shí)，解得m>.當(dāng)>1即0