像高手一樣解題

在數(shù)學(xué)愛好者看來，

解題不只是鞏固知識與方法、訓(xùn)練思維的過程，

更是一場攀登智力之峰的游戲.

現(xiàn)在，讓我們沿著高手的視線，

一探他們眼中的數(shù)學(xué)題.

與問題“對話”

數(shù)學(xué)語言以精確而簡潔著稱，被譽(yù)為“科學(xué)的語言”，形式化和符號化是它的主要特點(diǎn).如果把整個數(shù)學(xué)的解題過程看成是解題者與數(shù)學(xué)問題的一場“對話”，高手便是那個能夠迅速領(lǐng)會題目中形式化、符號化語言所傳遞信息的人.

例1如圖1所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥BC，AD=DC，A1A=AB=2，BC=3.

（1） 求證： BC⊥AB1；

（2） AB1∥平面BC1D；

（3） 求四棱錐B-AA1C1D的體積.

我們先從已知條件中去領(lǐng)會題目傳達(dá)的信息.

已知1： 三棱柱ABC-A1B1C1

? 三棱柱中有很多平行關(guān)系，如兩底面平行、側(cè)棱互相平行……

已知2： A1A⊥底面ABC

? A1A與底面ABC的三條邊垂直.結(jié)合從已知1獲得的信息，還可以得出A1A與另一底面A1B1C1的三條邊也垂直.

由A1A?平面A1ACC1 且A1A?平面A1ABB1，可以得到平面A1ACC1⊥底面ABC、平面A1ABB1⊥底面ABC、平面A1ACC1⊥底面A1B1C1……

已知3： AB⊥BC

? 由已知2可得A1A⊥BC，結(jié)合已知3可知BC⊥平面A1ABB1，所以BC垂直平面A1ABB1內(nèi)的所有直線，如BC⊥A1B（∠A1BC=90°），BC⊥AB1，后者正是（1）要證的結(jié)論……

已知4： AD=DC

? D為AC中點(diǎn).只要再取一個中點(diǎn)，就將出現(xiàn)中位線.另一個中點(diǎn)可以取在從A點(diǎn)出發(fā)的各條線段上，如AA1，AB1，AC1；也可以取在從C點(diǎn)出發(fā)的各條線段上，如CC1，CA1，CB1.

由線線平行可以得到線面平行.如取CB1的中點(diǎn)E，由AB1∥DE，C1B∩CB1=E可得AB1∥平面BC1D.這正是（2）要證的結(jié)論……

現(xiàn)在來看問題（3）.過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，由于平面A1ACC1⊥底面ABC （由已知2可得），則BF就是四棱錐B-AA1C1D的高.由此可得VB-AA1C1D=·BF·SAA1C1D=···AC·A1A=3.

在對例1進(jìn)行分析的過程中，我們發(fā)現(xiàn)，如果解題者領(lǐng)會到形式化和符號化語言背后傳遞的信息，甚至有所拓展，解題過程將會更為順利.不過，這種信息的領(lǐng)會和拓展是建立在必要的知識與技能之上的.正如荷蘭數(shù)學(xué)教育家G·波利亞在其傳世名著《怎樣解題》中所言：“好的思路來源于過去的經(jīng)驗(yàn)和以前獲得的知識.”

解題不只是構(gòu)建條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，更要選擇合適的路徑，即解題策略.對高手而言，在具體采用某一方法時，他們并不是一味地跟著感覺走，而是“像上帝那樣俯瞰”整個問題，對目前的處境作出清醒的評估，并適時對解題策略作出調(diào)整.

例2如圖2所示，已知拋物線C1：y2=4x，橢圓C2：+=1與x軸正半軸交于點(diǎn)A.過點(diǎn)A作直線l交C1于C，D兩點(diǎn)，直線OC，OD分別交C2于E，F(xiàn)兩點(diǎn).

（1） 求證： O點(diǎn)在以EF為直徑的圓的內(nèi)部；

（2） 設(shè)△OEF，△OCD的面積分別為S1，S2，若3S2=13S1，求直線l的方程.

解答例2的一般思路： 證明O點(diǎn)在以EF為直徑的圓的內(nèi)部，即證∠EOF為鈍角，只需證[OE]·[OF]<0.

設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），E（x3，y3），F(xiàn)（x4，y4），由題意可知，x1，x2，x3，x4均大于0.

由直線l過A（2，0）可設(shè)其方程為x=my+2，與y2=4x聯(lián)立消去x，得y2-4my-8=0，所以y1+y2=4m，y1y2=-8.

由[y1][2]=4x1可得C點(diǎn)坐標(biāo)為

，y1，則直線OC的方程為y=x，與+=1聯(lián)立消去y，得x2=，所以x3=.同理可得x4=.

所以[OE]·[OF]=x3x4+y3y4=x3x4+x3·x4=x3x41+

=

-x3x4<0，∠EOF為鈍角，O點(diǎn)在以EF為直徑的圓內(nèi).

（2） 由3S2=13S1可得===.

OC·OD=·=·=，因?yàn)閤1+x2===4（m2+1），x1x2==4，所以O(shè)C·OD=4.

OE·OF====，其中（x3x4）2=·，[x3][2]+[x4][2]=+.接下來等待我們的是大量的計(jì)算，過程相當(dāng)煩瑣……

解題高手的思路： （1） 證明O點(diǎn)在以EF為直徑的圓的內(nèi)部，即證∠EOF為鈍角， 只需證[OE]·[OF]<0.

設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2）.設(shè)直線l：x=my+2，與y2=4x聯(lián)立消去x，得y2-4my-8=0，所以y1+y2=4m，y1y2=-8.

由[OC]·[OD]=x1x2+y1y2=+y1y2=-8=-4<0可證得∠COD為鈍角.因?yàn)椤螮OF=∠COD，所以∠EOF為鈍角，O點(diǎn)在以EF為直徑的圓內(nèi).

（2） 由3S2=13S1可得===.

設(shè)E（x3，y3），F(xiàn)（x4，y4），因?yàn)镺，E，C三點(diǎn)共線，O，F(xiàn)，D三點(diǎn)也共線，所以=·=

·

==.

由[y1][2]=4x1可得C點(diǎn)坐標(biāo)為

，y1，則直線OC方程為y=x，與+=1聯(lián)立消去x，得[y3][2]=.同理可得[y4][2]=.所以（y3y4）2==.

因?yàn)?·==，所以y3y4=，即（y3y4）2==

2，解得m=±1，所以直線l的方程為x±y-2=0.

“像上帝那樣俯瞰”整個問題，源于解題高手的“全局視野”.在例2的求解過程中，他們把圖2看成一個整體，將證明∠EOF為鈍角轉(zhuǎn)化為證明∠COD為鈍角；同時，在預(yù)估到計(jì)算OE·OF，OC·OD可能面臨的困難后，選擇先將其優(yōu)化為·，并利用相似三角形和各個對應(yīng)點(diǎn)之間的坐標(biāo)關(guān)系，巧妙地將·轉(zhuǎn)化為

·

，大大提高了解題效率.

“全局視野”的練就歷程

要想練就解題高手的“全局視野”，就不能滿足于解決某個問題，而要在成功解題后，自覺地反思和回顧，尋找更簡便的方法.

例3已知+=1，求證：+=1.

解析1： 比較條件和結(jié)論，使人聯(lián)想到α，β之間可能存在cosα=±cosβ或sinα=±sinβ等關(guān)系.

=1-

?cos4αsin2β=sin2βcos2β-sin4αcos2β

?cos4αsin2β=sin2βcos2β-sin4α（1-sin2β）

?sin2β·（cos4α-sin4α）=cos2β·sin2β-sin4α

?sin2β·（cos2α-sin2α）=cos2β·sin2β-sin4α

?sin2β·（cos2α-cos2β）=sin2α·（sin2β-sin2α）

?sin2β·（cos2α-cos2β）=sin2α·（1-cos2β-1+cos2α）

?sin2β=sin2α

?cos2β=cos2α.

所以+=+=1.

解析2： 分析已知條件，聯(lián)想到圓方程的形式，可知點(diǎn)A

，

在圓x2+y2=1上，再結(jié)合cos2α+sin2α=1，能否使例3得證呢？

設(shè)點(diǎn)A

，

，因?yàn)?/p>

2+

2=+=1，所以點(diǎn)A在圓x2+y2=1上.

設(shè)圓上一點(diǎn)C（cosβ，sinβ），則過點(diǎn)C的單位圓的切線的斜率=，化簡得切線方程x·cosβ+y·sinβ=1.

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入切線方程，可得·cosβ+·sinβ=cos2α+sin2α=1，所以點(diǎn)A在過C點(diǎn)的圓x2+y2=1的切線上.因?yàn)辄c(diǎn)A也在該圓上，所以A，C兩點(diǎn)重合，即

=cosβ，

=sinβ.所以cos2α=cos2β，

sin2α=sin2β，可得+=1.

解析3： 由已知條件聯(lián)想到一個結(jié)構(gòu)相似的問題：已知a·+b·=1，求證：a2+b2=1.

因?yàn)閍·+b·≤+=1 （①），又a·+b·=1，所以①式能取到等號，所以a=

，

b=

，由此可得a2+b2=1.

如果例3用以上方法求解，會不會比解析1、解析2更加簡便呢？

+cos2β≥2=2cos2α且+sin2β≥2=2sin2α，兩式相加得+≥1，當(dāng)且僅當(dāng)

=cos2β，

=sin2β時等號成立，所以cos2α=cos2β，

sin2α=sin2β，由此可得+=1.

回顧例3的整個解題過程，每一種解法都比之前的更加簡便.高手們在不斷地利用之前學(xué)過的知識，探索更加有效的解題途徑.他們能從問題或解題過程中獲得靈感，進(jìn)而浮想聯(lián)翩，最終又回到數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，對猜想進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明.

在數(shù)學(xué)愛好者看來，

解題不只是鞏固知識與方法、訓(xùn)練思維的過程，

更是一場攀登智力之峰的游戲.

現(xiàn)在，讓我們沿著高手的視線，

一探他們眼中的數(shù)學(xué)題.

與問題“對話”

數(shù)學(xué)語言以精確而簡潔著稱，被譽(yù)為“科學(xué)的語言”，形式化和符號化是它的主要特點(diǎn).如果把整個數(shù)學(xué)的解題過程看成是解題者與數(shù)學(xué)問題的一場“對話”，高手便是那個能夠迅速領(lǐng)會題目中形式化、符號化語言所傳遞信息的人.

例1如圖1所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥BC，AD=DC，A1A=AB=2，BC=3.

（1） 求證： BC⊥AB1；

（2） AB1∥平面BC1D；

（3） 求四棱錐B-AA1C1D的體積.

我們先從已知條件中去領(lǐng)會題目傳達(dá)的信息.

已知1： 三棱柱ABC-A1B1C1

? 三棱柱中有很多平行關(guān)系，如兩底面平行、側(cè)棱互相平行……

已知2： A1A⊥底面ABC

? A1A與底面ABC的三條邊垂直.結(jié)合從已知1獲得的信息，還可以得出A1A與另一底面A1B1C1的三條邊也垂直.

由A1A?平面A1ACC1 且A1A?平面A1ABB1，可以得到平面A1ACC1⊥底面ABC、平面A1ABB1⊥底面ABC、平面A1ACC1⊥底面A1B1C1……

已知3： AB⊥BC

? 由已知2可得A1A⊥BC，結(jié)合已知3可知BC⊥平面A1ABB1，所以BC垂直平面A1ABB1內(nèi)的所有直線，如BC⊥A1B（∠A1BC=90°），BC⊥AB1，后者正是（1）要證的結(jié)論……

已知4： AD=DC

? D為AC中點(diǎn).只要再取一個中點(diǎn)，就將出現(xiàn)中位線.另一個中點(diǎn)可以取在從A點(diǎn)出發(fā)的各條線段上，如AA1，AB1，AC1；也可以取在從C點(diǎn)出發(fā)的各條線段上，如CC1，CA1，CB1.

由線線平行可以得到線面平行.如取CB1的中點(diǎn)E，由AB1∥DE，C1B∩CB1=E可得AB1∥平面BC1D.這正是（2）要證的結(jié)論……

現(xiàn)在來看問題（3）.過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，由于平面A1ACC1⊥底面ABC （由已知2可得），則BF就是四棱錐B-AA1C1D的高.由此可得VB-AA1C1D=·BF·SAA1C1D=···AC·A1A=3.

在對例1進(jìn)行分析的過程中，我們發(fā)現(xiàn)，如果解題者領(lǐng)會到形式化和符號化語言背后傳遞的信息，甚至有所拓展，解題過程將會更為順利.不過，這種信息的領(lǐng)會和拓展是建立在必要的知識與技能之上的.正如荷蘭數(shù)學(xué)教育家G·波利亞在其傳世名著《怎樣解題》中所言：“好的思路來源于過去的經(jīng)驗(yàn)和以前獲得的知識.”

解題不只是構(gòu)建條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，更要選擇合適的路徑，即解題策略.對高手而言，在具體采用某一方法時，他們并不是一味地跟著感覺走，而是“像上帝那樣俯瞰”整個問題，對目前的處境作出清醒的評估，并適時對解題策略作出調(diào)整.

例2如圖2所示，已知拋物線C1：y2=4x，橢圓C2：+=1與x軸正半軸交于點(diǎn)A.過點(diǎn)A作直線l交C1于C，D兩點(diǎn)，直線OC，OD分別交C2于E，F(xiàn)兩點(diǎn).

（1） 求證： O點(diǎn)在以EF為直徑的圓的內(nèi)部；

（2） 設(shè)△OEF，△OCD的面積分別為S1，S2，若3S2=13S1，求直線l的方程.

解答例2的一般思路： 證明O點(diǎn)在以EF為直徑的圓的內(nèi)部，即證∠EOF為鈍角，只需證[OE]·[OF]<0.

設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），E（x3，y3），F(xiàn)（x4，y4），由題意可知，x1，x2，x3，x4均大于0.

由直線l過A（2，0）可設(shè)其方程為x=my+2，與y2=4x聯(lián)立消去x，得y2-4my-8=0，所以y1+y2=4m，y1y2=-8.

由[y1][2]=4x1可得C點(diǎn)坐標(biāo)為

，y1，則直線OC的方程為y=x，與+=1聯(lián)立消去y，得x2=，所以x3=.同理可得x4=.

所以[OE]·[OF]=x3x4+y3y4=x3x4+x3·x4=x3x41+

=

-x3x4<0，∠EOF為鈍角，O點(diǎn)在以EF為直徑的圓內(nèi).

（2） 由3S2=13S1可得===.

OC·OD=·=·=，因?yàn)閤1+x2===4（m2+1），x1x2==4，所以O(shè)C·OD=4.

OE·OF====，其中（x3x4）2=·，[x3][2]+[x4][2]=+.接下來等待我們的是大量的計(jì)算，過程相當(dāng)煩瑣……

解題高手的思路： （1） 證明O點(diǎn)在以EF為直徑的圓的內(nèi)部，即證∠EOF為鈍角， 只需證[OE]·[OF]<0.

設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2）.設(shè)直線l：x=my+2，與y2=4x聯(lián)立消去x，得y2-4my-8=0，所以y1+y2=4m，y1y2=-8.

由[OC]·[OD]=x1x2+y1y2=+y1y2=-8=-4<0可證得∠COD為鈍角.因?yàn)椤螮OF=∠COD，所以∠EOF為鈍角，O點(diǎn)在以EF為直徑的圓內(nèi).

（2） 由3S2=13S1可得===.

設(shè)E（x3，y3），F(xiàn)（x4，y4），因?yàn)镺，E，C三點(diǎn)共線，O，F(xiàn)，D三點(diǎn)也共線，所以=·=

·

==.

由[y1][2]=4x1可得C點(diǎn)坐標(biāo)為

，y1，則直線OC方程為y=x，與+=1聯(lián)立消去x，得[y3][2]=.同理可得[y4][2]=.所以（y3y4）2==.

因?yàn)?·==，所以y3y4=，即（y3y4）2==

2，解得m=±1，所以直線l的方程為x±y-2=0.

“像上帝那樣俯瞰”整個問題，源于解題高手的“全局視野”.在例2的求解過程中，他們把圖2看成一個整體，將證明∠EOF為鈍角轉(zhuǎn)化為證明∠COD為鈍角；同時，在預(yù)估到計(jì)算OE·OF，OC·OD可能面臨的困難后，選擇先將其優(yōu)化為·，并利用相似三角形和各個對應(yīng)點(diǎn)之間的坐標(biāo)關(guān)系，巧妙地將·轉(zhuǎn)化為

·

，大大提高了解題效率.

“全局視野”的練就歷程

要想練就解題高手的“全局視野”，就不能滿足于解決某個問題，而要在成功解題后，自覺地反思和回顧，尋找更簡便的方法.

例3已知+=1，求證：+=1.

解析1： 比較條件和結(jié)論，使人聯(lián)想到α，β之間可能存在cosα=±cosβ或sinα=±sinβ等關(guān)系.

=1-

?cos4αsin2β=sin2βcos2β-sin4αcos2β

?cos4αsin2β=sin2βcos2β-sin4α（1-sin2β）

?sin2β·（cos4α-sin4α）=cos2β·sin2β-sin4α

?sin2β·（cos2α-sin2α）=cos2β·sin2β-sin4α

?sin2β·（cos2α-cos2β）=sin2α·（sin2β-sin2α）

?sin2β·（cos2α-cos2β）=sin2α·（1-cos2β-1+cos2α）

?sin2β=sin2α

?cos2β=cos2α.

所以+=+=1.

解析2： 分析已知條件，聯(lián)想到圓方程的形式，可知點(diǎn)A

，

在圓x2+y2=1上，再結(jié)合cos2α+sin2α=1，能否使例3得證呢？

設(shè)點(diǎn)A

，

，因?yàn)?/p>

2+

2=+=1，所以點(diǎn)A在圓x2+y2=1上.

設(shè)圓上一點(diǎn)C（cosβ，sinβ），則過點(diǎn)C的單位圓的切線的斜率=，化簡得切線方程x·cosβ+y·sinβ=1.

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入切線方程，可得·cosβ+·sinβ=cos2α+sin2α=1，所以點(diǎn)A在過C點(diǎn)的圓x2+y2=1的切線上.因?yàn)辄c(diǎn)A也在該圓上，所以A，C兩點(diǎn)重合，即

=cosβ，

=sinβ.所以cos2α=cos2β，

sin2α=sin2β，可得+=1.

解析3： 由已知條件聯(lián)想到一個結(jié)構(gòu)相似的問題：已知a·+b·=1，求證：a2+b2=1.

因?yàn)閍·+b·≤+=1 （①），又a·+b·=1，所以①式能取到等號，所以a=

，

b=

，由此可得a2+b2=1.

如果例3用以上方法求解，會不會比解析1、解析2更加簡便呢？

+cos2β≥2=2cos2α且+sin2β≥2=2sin2α，兩式相加得+≥1，當(dāng)且僅當(dāng)

=cos2β，

=sin2β時等號成立，所以cos2α=cos2β，

sin2α=sin2β，由此可得+=1.

回顧例3的整個解題過程，每一種解法都比之前的更加簡便.高手們在不斷地利用之前學(xué)過的知識，探索更加有效的解題途徑.他們能從問題或解題過程中獲得靈感，進(jìn)而浮想聯(lián)翩，最終又回到數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，對猜想進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明.

在數(shù)學(xué)愛好者看來，

解題不只是鞏固知識與方法、訓(xùn)練思維的過程，

更是一場攀登智力之峰的游戲.

現(xiàn)在，讓我們沿著高手的視線，

一探他們眼中的數(shù)學(xué)題.

與問題“對話”

數(shù)學(xué)語言以精確而簡潔著稱，被譽(yù)為“科學(xué)的語言”，形式化和符號化是它的主要特點(diǎn).如果把整個數(shù)學(xué)的解題過程看成是解題者與數(shù)學(xué)問題的一場“對話”，高手便是那個能夠迅速領(lǐng)會題目中形式化、符號化語言所傳遞信息的人.

例1如圖1所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥BC，AD=DC，A1A=AB=2，BC=3.

（1） 求證： BC⊥AB1；

（2） AB1∥平面BC1D；

（3） 求四棱錐B-AA1C1D的體積.

我們先從已知條件中去領(lǐng)會題目傳達(dá)的信息.

已知1： 三棱柱ABC-A1B1C1

? 三棱柱中有很多平行關(guān)系，如兩底面平行、側(cè)棱互相平行……

已知2： A1A⊥底面ABC

? A1A與底面ABC的三條邊垂直.結(jié)合從已知1獲得的信息，還可以得出A1A與另一底面A1B1C1的三條邊也垂直.

由A1A?平面A1ACC1 且A1A?平面A1ABB1，可以得到平面A1ACC1⊥底面ABC、平面A1ABB1⊥底面ABC、平面A1ACC1⊥底面A1B1C1……

已知3： AB⊥BC

? 由已知2可得A1A⊥BC，結(jié)合已知3可知BC⊥平面A1ABB1，所以BC垂直平面A1ABB1內(nèi)的所有直線，如BC⊥A1B（∠A1BC=90°），BC⊥AB1，后者正是（1）要證的結(jié)論……

已知4： AD=DC

? D為AC中點(diǎn).只要再取一個中點(diǎn)，就將出現(xiàn)中位線.另一個中點(diǎn)可以取在從A點(diǎn)出發(fā)的各條線段上，如AA1，AB1，AC1；也可以取在從C點(diǎn)出發(fā)的各條線段上，如CC1，CA1，CB1.

由線線平行可以得到線面平行.如取CB1的中點(diǎn)E，由AB1∥DE，C1B∩CB1=E可得AB1∥平面BC1D.這正是（2）要證的結(jié)論……

現(xiàn)在來看問題（3）.過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，由于平面A1ACC1⊥底面ABC （由已知2可得），則BF就是四棱錐B-AA1C1D的高.由此可得VB-AA1C1D=·BF·SAA1C1D=···AC·A1A=3.

在對例1進(jìn)行分析的過程中，我們發(fā)現(xiàn)，如果解題者領(lǐng)會到形式化和符號化語言背后傳遞的信息，甚至有所拓展，解題過程將會更為順利.不過，這種信息的領(lǐng)會和拓展是建立在必要的知識與技能之上的.正如荷蘭數(shù)學(xué)教育家G·波利亞在其傳世名著《怎樣解題》中所言：“好的思路來源于過去的經(jīng)驗(yàn)和以前獲得的知識.”

解題不只是構(gòu)建條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，更要選擇合適的路徑，即解題策略.對高手而言，在具體采用某一方法時，他們并不是一味地跟著感覺走，而是“像上帝那樣俯瞰”整個問題，對目前的處境作出清醒的評估，并適時對解題策略作出調(diào)整.

例2如圖2所示，已知拋物線C1：y2=4x，橢圓C2：+=1與x軸正半軸交于點(diǎn)A.過點(diǎn)A作直線l交C1于C，D兩點(diǎn)，直線OC，OD分別交C2于E，F(xiàn)兩點(diǎn).

（1） 求證： O點(diǎn)在以EF為直徑的圓的內(nèi)部；

（2） 設(shè)△OEF，△OCD的面積分別為S1，S2，若3S2=13S1，求直線l的方程.

解答例2的一般思路： 證明O點(diǎn)在以EF為直徑的圓的內(nèi)部，即證∠EOF為鈍角，只需證[OE]·[OF]<0.

設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），E（x3，y3），F(xiàn)（x4，y4），由題意可知，x1，x2，x3，x4均大于0.

由直線l過A（2，0）可設(shè)其方程為x=my+2，與y2=4x聯(lián)立消去x，得y2-4my-8=0，所以y1+y2=4m，y1y2=-8.

由[y1][2]=4x1可得C點(diǎn)坐標(biāo)為

，y1，則直線OC的方程為y=x，與+=1聯(lián)立消去y，得x2=，所以x3=.同理可得x4=.

所以[OE]·[OF]=x3x4+y3y4=x3x4+x3·x4=x3x41+

=

-x3x4<0，∠EOF為鈍角，O點(diǎn)在以EF為直徑的圓內(nèi).

（2） 由3S2=13S1可得===.

OC·OD=·=·=，因?yàn)閤1+x2===4（m2+1），x1x2==4，所以O(shè)C·OD=4.

OE·OF====，其中（x3x4）2=·，[x3][2]+[x4][2]=+.接下來等待我們的是大量的計(jì)算，過程相當(dāng)煩瑣……

解題高手的思路： （1） 證明O點(diǎn)在以EF為直徑的圓的內(nèi)部，即證∠EOF為鈍角， 只需證[OE]·[OF]<0.

設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2）.設(shè)直線l：x=my+2，與y2=4x聯(lián)立消去x，得y2-4my-8=0，所以y1+y2=4m，y1y2=-8.

由[OC]·[OD]=x1x2+y1y2=+y1y2=-8=-4<0可證得∠COD為鈍角.因?yàn)椤螮OF=∠COD，所以∠EOF為鈍角，O點(diǎn)在以EF為直徑的圓內(nèi).

（2） 由3S2=13S1可得===.

設(shè)E（x3，y3），F(xiàn)（x4，y4），因?yàn)镺，E，C三點(diǎn)共線，O，F(xiàn)，D三點(diǎn)也共線，所以=·=

·

==.

由[y1][2]=4x1可得C點(diǎn)坐標(biāo)為

，y1，則直線OC方程為y=x，與+=1聯(lián)立消去x，得[y3][2]=.同理可得[y4][2]=.所以（y3y4）2==.

因?yàn)?·==，所以y3y4=，即（y3y4）2==

2，解得m=±1，所以直線l的方程為x±y-2=0.

“像上帝那樣俯瞰”整個問題，源于解題高手的“全局視野”.在例2的求解過程中，他們把圖2看成一個整體，將證明∠EOF為鈍角轉(zhuǎn)化為證明∠COD為鈍角；同時，在預(yù)估到計(jì)算OE·OF，OC·OD可能面臨的困難后，選擇先將其優(yōu)化為·，并利用相似三角形和各個對應(yīng)點(diǎn)之間的坐標(biāo)關(guān)系，巧妙地將·轉(zhuǎn)化為

·

，大大提高了解題效率.

“全局視野”的練就歷程

要想練就解題高手的“全局視野”，就不能滿足于解決某個問題，而要在成功解題后，自覺地反思和回顧，尋找更簡便的方法.

例3已知+=1，求證：+=1.

解析1： 比較條件和結(jié)論，使人聯(lián)想到α，β之間可能存在cosα=±cosβ或sinα=±sinβ等關(guān)系.

=1-

?cos4αsin2β=sin2βcos2β-sin4αcos2β

?cos4αsin2β=sin2βcos2β-sin4α（1-sin2β）

?sin2β·（cos4α-sin4α）=cos2β·sin2β-sin4α

?sin2β·（cos2α-sin2α）=cos2β·sin2β-sin4α

?sin2β·（cos2α-cos2β）=sin2α·（sin2β-sin2α）

?sin2β·（cos2α-cos2β）=sin2α·（1-cos2β-1+cos2α）

?sin2β=sin2α

?cos2β=cos2α.

所以+=+=1.

解析2： 分析已知條件，聯(lián)想到圓方程的形式，可知點(diǎn)A

，

在圓x2+y2=1上，再結(jié)合cos2α+sin2α=1，能否使例3得證呢？

設(shè)點(diǎn)A

，

，因?yàn)?/p>

2+

2=+=1，所以點(diǎn)A在圓x2+y2=1上.

設(shè)圓上一點(diǎn)C（cosβ，sinβ），則過點(diǎn)C的單位圓的切線的斜率=，化簡得切線方程x·cosβ+y·sinβ=1.

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入切線方程，可得·cosβ+·sinβ=cos2α+sin2α=1，所以點(diǎn)A在過C點(diǎn)的圓x2+y2=1的切線上.因?yàn)辄c(diǎn)A也在該圓上，所以A，C兩點(diǎn)重合，即

=cosβ，

=sinβ.所以cos2α=cos2β，

sin2α=sin2β，可得+=1.

解析3： 由已知條件聯(lián)想到一個結(jié)構(gòu)相似的問題：已知a·+b·=1，求證：a2+b2=1.

因?yàn)閍·+b·≤+=1 （①），又a·+b·=1，所以①式能取到等號，所以a=

，

b=

，由此可得a2+b2=1.

如果例3用以上方法求解，會不會比解析1、解析2更加簡便呢？

+cos2β≥2=2cos2α且+sin2β≥2=2sin2α，兩式相加得+≥1，當(dāng)且僅當(dāng)

=cos2β，

=sin2β時等號成立，所以cos2α=cos2β，

sin2α=sin2β，由此可得+=1.

回顧例3的整個解題過程，每一種解法都比之前的更加簡便.高手們在不斷地利用之前學(xué)過的知識，探索更加有效的解題途徑.他們能從問題或解題過程中獲得靈感，進(jìn)而浮想聯(lián)翩，最終又回到數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，對猜想進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明.