看評分標(biāo)準(zhǔn)談解題規(guī)范

王誠

不同于選擇題和填空題，數(shù)學(xué)解答題要求寫出必要的文字說明、證明過程和演算步驟.而不少同學(xué)重結(jié)果、輕證明，更不重視文字說明，因此往往會在解答上丟掉不該丟的分?jǐn)?shù).

那么在解答題中，究竟有哪些內(nèi)容必須書寫清楚，才能避免不必要的扣分呢？

讓我們先從一道解析幾何題出發(fā)，看看同學(xué)們的書寫和參考答案有什么差異.

例［ 2011年臺州市第一次模擬測試（理科）第21題］ （本題滿分15分）如圖1所示，在y軸右側(cè)的動圓與圓O1：（x-1）2+y2=1外切，并與y軸相切.

（1） 求動圓的圓心P的軌跡Γ的方程；

（2） 過點P作圓O2：（x+1）2+y2=1的兩條切線，分別交y軸于A，B兩點，設(shè)AB中點為M（0，m）.求m的取值范圍.

【一位同學(xué)的解答過程（①②③④系本刊標(biāo)注）】

（1） y2=4x. ……………………………………………①

（2） P

，t，y-t=kx

-即kx-y+t-=0.

=1，……………………………………②

得t2（t2+8）k2-8t（t2+4）k+16（t2-1）=0，

k1+k2=.……………………………………③

y-t=k1x

-，y-t=k2x

-，

y1=t-k1，y2=t-k2，………………………………④

故m==t-（k1+k2）==，-≤m≤.

【參考答案和評分標(biāo)準(zhǔn)】

（1） 由題意可知，點P到點（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離，故Γ是拋物線，方程為y2=4x （x≠0）.……… 5分

【注：由=x+1化簡得到y(tǒng)2=4x同樣給分；不寫x≠0不扣分】

（2） 設(shè)P

，t（t≠0），切線斜率為k, 則切線方程為y-t=kx

-，即kx-y+t-=0.…………………………… 6分

由題意可知，圓O2的圓心（-1，0）到切線的距離=1.……………………………………………… 8分

兩邊平方,整理得：t2（t2+8）k2-8t（t2+4）k+16（t2-1）=0，

………………………………………………………… 9分

該方程的兩根k1，k2就是兩條切線的斜率，由韋達(dá)定理得：k1+k2=（Ⅰ）.…………………………………… 11分

另一方面，在y-t=k1x

-，y-t=k2x

-中，令x=0可得A，B兩點的縱坐標(biāo)y1=t-k1，y2=t-k2，故m==t-（k1+k2） （Ⅱ）.…………………………………………… 13分

將（Ⅰ）代入（Ⅱ），得m==， ……………… 14分

故m的取值范圍是-≤m≤，m≠0.…… 15分

【對比】

和參考答案進(jìn)行對照，我們發(fā)現(xiàn)同學(xué)的解答有以下不規(guī)范之處：

（1） ①中沒有提供得出軌跡方程的依據(jù),只有結(jié)果；

（2） 用到的變量未交待其意義，如k1，k2，y1，y2等；

（3） ②③④這些關(guān)鍵結(jié)論得來突然，沒有依據(jù)（條件、公式、定義、定理等）支撐；

（4） 整個解答前后缺少邏輯關(guān)聯(lián)，只有算式的堆積.

雖然這位同學(xué)的解答有過程，答案也是正確的，但是答題不夠規(guī)范，缺少關(guān)鍵步驟的說明，所以會被扣掉3到4分.

除了解析幾何題，同學(xué)們在其他大題中同樣存在不規(guī)范答題的情況.接下來，我們將列舉常見的不規(guī)范答題行為和容易被忽視的解題細(xì)節(jié)，希望同學(xué)們能夠重視.

△三角函數(shù)題

（1） 討論三角函數(shù)性質(zhì)時沒有注意周期性.

例如求f（x）=sin2x

--的遞增區(qū)間時，由-≤2x-≤得到函數(shù)的遞增區(qū)間為-

，

，只考慮了一個周期.

（2） 已知三角函數(shù)值求角，或已知角的一個三角函數(shù)值求它的其他三角函數(shù)值時，忽視角的范圍.

△數(shù)列題

（1） 已知Sn求an時，沒有考慮初始項a1.

（2） 數(shù)列求和時不注意項數(shù).

（3） 在運用數(shù)學(xué)歸納法求遞推數(shù)列通項時，只有歸納或猜想，沒有證明.

△概率題

（1） 求概率時沒有必要的文字說明，用到的符號也沒作出交代.

（2） 寫分布列時，沒有交代變量的取值，每個取值的概率的計算過程也沒有，只有表格或結(jié)果.

△立體幾何題

（1） 隨意使用數(shù)學(xué)符號.如將PB?平面PBC錯寫成PB∈平面PBC.

（2） 平行、垂直關(guān)系的證明中條件缺失，沒有必要的文字說明.

（3） 利用幾何法求角時只有計算，沒有必要的作圖和證明.

△函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題

（1） 在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值時，沒有指明函數(shù)單調(diào)性，直接將極值等同于函數(shù)的最值.

（2） 求函數(shù)單調(diào)性時，最后沒有用集合將單調(diào)區(qū)間表示出來.

數(shù)學(xué)解答題雖然力求簡潔明快，但每一次轉(zhuǎn)化、每一步推理均應(yīng)提供合理的依據(jù).只有答題過程邏輯思路清晰、詳略得當(dāng)，才能避免不必要的失分.

不同于選擇題和填空題，數(shù)學(xué)解答題要求寫出必要的文字說明、證明過程和演算步驟.而不少同學(xué)重結(jié)果、輕證明，更不重視文字說明，因此往往會在解答上丟掉不該丟的分?jǐn)?shù).

那么在解答題中，究竟有哪些內(nèi)容必須書寫清楚，才能避免不必要的扣分呢？

讓我們先從一道解析幾何題出發(fā)，看看同學(xué)們的書寫和參考答案有什么差異.

例［ 2011年臺州市第一次模擬測試（理科）第21題］ （本題滿分15分）如圖1所示，在y軸右側(cè)的動圓與圓O1：（x-1）2+y2=1外切，并與y軸相切.

（1） 求動圓的圓心P的軌跡Γ的方程；

（2） 過點P作圓O2：（x+1）2+y2=1的兩條切線，分別交y軸于A，B兩點，設(shè)AB中點為M（0，m）.求m的取值范圍.

【一位同學(xué)的解答過程（①②③④系本刊標(biāo)注）】

（1） y2=4x. ……………………………………………①

（2） P

，t，y-t=kx

-即kx-y+t-=0.

=1，……………………………………②

得t2（t2+8）k2-8t（t2+4）k+16（t2-1）=0，

k1+k2=.……………………………………③

y-t=k1x

-，y-t=k2x

-，

y1=t-k1，y2=t-k2，………………………………④

故m==t-（k1+k2）==，-≤m≤.

【參考答案和評分標(biāo)準(zhǔn)】

（1） 由題意可知，點P到點（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離，故Γ是拋物線，方程為y2=4x （x≠0）.……… 5分

【注：由=x+1化簡得到y(tǒng)2=4x同樣給分；不寫x≠0不扣分】

（2） 設(shè)P

，t（t≠0），切線斜率為k, 則切線方程為y-t=kx

-，即kx-y+t-=0.…………………………… 6分

由題意可知，圓O2的圓心（-1，0）到切線的距離=1.……………………………………………… 8分

兩邊平方,整理得：t2（t2+8）k2-8t（t2+4）k+16（t2-1）=0，

………………………………………………………… 9分

該方程的兩根k1，k2就是兩條切線的斜率，由韋達(dá)定理得：k1+k2=（Ⅰ）.…………………………………… 11分

另一方面，在y-t=k1x

-，y-t=k2x

-中，令x=0可得A，B兩點的縱坐標(biāo)y1=t-k1，y2=t-k2，故m==t-（k1+k2） （Ⅱ）.…………………………………………… 13分

將（Ⅰ）代入（Ⅱ），得m==， ……………… 14分

故m的取值范圍是-≤m≤，m≠0.…… 15分

【對比】

和參考答案進(jìn)行對照，我們發(fā)現(xiàn)同學(xué)的解答有以下不規(guī)范之處：

（1） ①中沒有提供得出軌跡方程的依據(jù),只有結(jié)果；

（2） 用到的變量未交待其意義，如k1，k2，y1，y2等；

（3） ②③④這些關(guān)鍵結(jié)論得來突然，沒有依據(jù)（條件、公式、定義、定理等）支撐；

（4） 整個解答前后缺少邏輯關(guān)聯(lián)，只有算式的堆積.

雖然這位同學(xué)的解答有過程，答案也是正確的，但是答題不夠規(guī)范，缺少關(guān)鍵步驟的說明，所以會被扣掉3到4分.

除了解析幾何題，同學(xué)們在其他大題中同樣存在不規(guī)范答題的情況.接下來，我們將列舉常見的不規(guī)范答題行為和容易被忽視的解題細(xì)節(jié)，希望同學(xué)們能夠重視.

△三角函數(shù)題

（1） 討論三角函數(shù)性質(zhì)時沒有注意周期性.

例如求f（x）=sin2x

--的遞增區(qū)間時，由-≤2x-≤得到函數(shù)的遞增區(qū)間為-

，

，只考慮了一個周期.

（2） 已知三角函數(shù)值求角，或已知角的一個三角函數(shù)值求它的其他三角函數(shù)值時，忽視角的范圍.

△數(shù)列題

（1） 已知Sn求an時，沒有考慮初始項a1.

（2） 數(shù)列求和時不注意項數(shù).

（3） 在運用數(shù)學(xué)歸納法求遞推數(shù)列通項時，只有歸納或猜想，沒有證明.

△概率題

（1） 求概率時沒有必要的文字說明，用到的符號也沒作出交代.

（2） 寫分布列時，沒有交代變量的取值，每個取值的概率的計算過程也沒有，只有表格或結(jié)果.

△立體幾何題

（1） 隨意使用數(shù)學(xué)符號.如將PB?平面PBC錯寫成PB∈平面PBC.

（2） 平行、垂直關(guān)系的證明中條件缺失，沒有必要的文字說明.

（3） 利用幾何法求角時只有計算，沒有必要的作圖和證明.

△函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題

（1） 在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值時，沒有指明函數(shù)單調(diào)性，直接將極值等同于函數(shù)的最值.

（2） 求函數(shù)單調(diào)性時，最后沒有用集合將單調(diào)區(qū)間表示出來.

數(shù)學(xué)解答題雖然力求簡潔明快，但每一次轉(zhuǎn)化、每一步推理均應(yīng)提供合理的依據(jù).只有答題過程邏輯思路清晰、詳略得當(dāng)，才能避免不必要的失分.

不同于選擇題和填空題，數(shù)學(xué)解答題要求寫出必要的文字說明、證明過程和演算步驟.而不少同學(xué)重結(jié)果、輕證明，更不重視文字說明，因此往往會在解答上丟掉不該丟的分?jǐn)?shù).

那么在解答題中，究竟有哪些內(nèi)容必須書寫清楚，才能避免不必要的扣分呢？

讓我們先從一道解析幾何題出發(fā)，看看同學(xué)們的書寫和參考答案有什么差異.

例［ 2011年臺州市第一次模擬測試（理科）第21題］ （本題滿分15分）如圖1所示，在y軸右側(cè)的動圓與圓O1：（x-1）2+y2=1外切，并與y軸相切.

（1） 求動圓的圓心P的軌跡Γ的方程；

（2） 過點P作圓O2：（x+1）2+y2=1的兩條切線，分別交y軸于A，B兩點，設(shè)AB中點為M（0，m）.求m的取值范圍.

【一位同學(xué)的解答過程（①②③④系本刊標(biāo)注）】

（1） y2=4x. ……………………………………………①

（2） P

，t，y-t=kx

-即kx-y+t-=0.

=1，……………………………………②

得t2（t2+8）k2-8t（t2+4）k+16（t2-1）=0，

k1+k2=.……………………………………③

y-t=k1x

-，y-t=k2x

-，

y1=t-k1，y2=t-k2，………………………………④

故m==t-（k1+k2）==，-≤m≤.

【參考答案和評分標(biāo)準(zhǔn)】

（1） 由題意可知，點P到點（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離，故Γ是拋物線，方程為y2=4x （x≠0）.……… 5分

【注：由=x+1化簡得到y(tǒng)2=4x同樣給分；不寫x≠0不扣分】

（2） 設(shè)P

，t（t≠0），切線斜率為k, 則切線方程為y-t=kx

-，即kx-y+t-=0.…………………………… 6分

由題意可知，圓O2的圓心（-1，0）到切線的距離=1.……………………………………………… 8分

兩邊平方,整理得：t2（t2+8）k2-8t（t2+4）k+16（t2-1）=0，

………………………………………………………… 9分

該方程的兩根k1，k2就是兩條切線的斜率，由韋達(dá)定理得：k1+k2=（Ⅰ）.…………………………………… 11分

另一方面，在y-t=k1x

-，y-t=k2x

-中，令x=0可得A，B兩點的縱坐標(biāo)y1=t-k1，y2=t-k2，故m==t-（k1+k2） （Ⅱ）.…………………………………………… 13分

將（Ⅰ）代入（Ⅱ），得m==， ……………… 14分

故m的取值范圍是-≤m≤，m≠0.…… 15分

【對比】

和參考答案進(jìn)行對照，我們發(fā)現(xiàn)同學(xué)的解答有以下不規(guī)范之處：

（1） ①中沒有提供得出軌跡方程的依據(jù),只有結(jié)果；

（2） 用到的變量未交待其意義，如k1，k2，y1，y2等；

（3） ②③④這些關(guān)鍵結(jié)論得來突然，沒有依據(jù)（條件、公式、定義、定理等）支撐；

（4） 整個解答前后缺少邏輯關(guān)聯(lián)，只有算式的堆積.

雖然這位同學(xué)的解答有過程，答案也是正確的，但是答題不夠規(guī)范，缺少關(guān)鍵步驟的說明，所以會被扣掉3到4分.

除了解析幾何題，同學(xué)們在其他大題中同樣存在不規(guī)范答題的情況.接下來，我們將列舉常見的不規(guī)范答題行為和容易被忽視的解題細(xì)節(jié)，希望同學(xué)們能夠重視.

△三角函數(shù)題

（1） 討論三角函數(shù)性質(zhì)時沒有注意周期性.

例如求f（x）=sin2x

--的遞增區(qū)間時，由-≤2x-≤得到函數(shù)的遞增區(qū)間為-

，

，只考慮了一個周期.

（2） 已知三角函數(shù)值求角，或已知角的一個三角函數(shù)值求它的其他三角函數(shù)值時，忽視角的范圍.

△數(shù)列題

（1） 已知Sn求an時，沒有考慮初始項a1.

（2） 數(shù)列求和時不注意項數(shù).

（3） 在運用數(shù)學(xué)歸納法求遞推數(shù)列通項時，只有歸納或猜想，沒有證明.

△概率題

（1） 求概率時沒有必要的文字說明，用到的符號也沒作出交代.

（2） 寫分布列時，沒有交代變量的取值，每個取值的概率的計算過程也沒有，只有表格或結(jié)果.

△立體幾何題

（1） 隨意使用數(shù)學(xué)符號.如將PB?平面PBC錯寫成PB∈平面PBC.

（2） 平行、垂直關(guān)系的證明中條件缺失，沒有必要的文字說明.

（3） 利用幾何法求角時只有計算，沒有必要的作圖和證明.

△函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題

（1） 在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值時，沒有指明函數(shù)單調(diào)性，直接將極值等同于函數(shù)的最值.

（2） 求函數(shù)單調(diào)性時，最后沒有用集合將單調(diào)區(qū)間表示出來.

數(shù)學(xué)解答題雖然力求簡潔明快，但每一次轉(zhuǎn)化、每一步推理均應(yīng)提供合理的依據(jù).只有答題過程邏輯思路清晰、詳略得當(dāng)，才能避免不必要的失分.