淺談冪級數(shù)的斂散性與函數(shù)的冪級數(shù)展開

馬曉東++李淑娟

摘 要：冪級數(shù)是數(shù)學(xué)分析當(dāng)中重要概念之一，在數(shù)學(xué)中，冪級數(shù)是一類形式簡單而應(yīng)用廣泛的函數(shù)級數(shù)，變量可以是一個(gè)或多個(gè)。冪級數(shù)被作為基礎(chǔ)內(nèi)容應(yīng)用到了實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)等眾多領(lǐng)域。本文就冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域、馬克勞林級數(shù)等內(nèi)容進(jìn)行淺析。

關(guān)鍵詞：冪級數(shù) 斂散性 收斂半徑 收斂區(qū)間 收斂域 馬克勞林級數(shù)

中圖分類號：O173 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0089-02

1 冪級數(shù)的概念

1.1 冪級數(shù)

形如或的級數(shù)稱為冪級數(shù)，其中常數(shù)叫做冪級數(shù)的系數(shù)。

1.2 收斂半徑與收斂區(qū)間[1]

如果冪級數(shù)不是僅在c=0一點(diǎn)收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂，則必有一個(gè)完全確定的正數(shù)R存在，它具有下列性質(zhì)：

當(dāng)時(shí)，冪級數(shù)絕對收斂；

當(dāng)時(shí)，冪級數(shù)發(fā)散；

當(dāng)x=R與X=-R時(shí)，冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。

正數(shù)R通常叫做冪級數(shù)的收斂半徑。由冪級數(shù)在處的收斂性決定它在區(qū)間、或上收斂，這區(qū)間叫做冪級數(shù)的收斂域，而開區(qū)間（-R，R）稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間。

如果僅在c=0收斂，就規(guī)定R=0，如果對一切c都收斂，則規(guī)定R=。

1.3 收斂半徑的求法

（1）對于不缺項(xiàng)的冪級數(shù)

定理：設(shè)冪級數(shù)的系數(shù)有則：

①當(dāng)0<<時(shí)，有R=。

②當(dāng)=0時(shí)，定義R=。

③當(dāng)時(shí)，定義R=0。

（2）對于缺項(xiàng)的冪級數(shù)，例如

令，，考察==

則當(dāng)<1時(shí)，級數(shù)收斂，此時(shí)可得知

①當(dāng)時(shí)，R=。

②當(dāng)時(shí)，R=。

③當(dāng)時(shí)，定義R=0。

2 將初等函數(shù)展開為冪級數(shù)

如果f（x）在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有各有階導(dǎo)數(shù)、、…，…，這時(shí)稱冪級數(shù)

為函數(shù)f（x）在x=處展開的泰勒級數(shù)。

特別地，取得冪級數(shù)

稱為函數(shù)的馬克勞林級數(shù)。

常用的馬克勞林級數(shù)有：

（1）

（2）Sinx=

（3）Cosx=

（4）Ln（1+x）=

（5）

3 間接展開法

利用冪級數(shù)的基本性質(zhì)與幾個(gè)常用的標(biāo)準(zhǔn)展開式，將初等函數(shù)展開為冪級數(shù)的方法，稱為間接展開法。

4 冪級數(shù)的基本性質(zhì)

（1）冪級數(shù)的和函數(shù)S（x）在其收斂區(qū)間（-R，R）內(nèi)為連續(xù)函數(shù)。

（2）冪級數(shù)在其收斂區(qū)間（-R，R）內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，即：

=

且逐項(xiàng)積分后所得到的冪級數(shù)的收斂半徑也是R。

（3）冪級數(shù)在其收斂區(qū)間（-R，R）內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，即：

（注意下標(biāo)的變化）

且逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得的冪級數(shù)的收斂半徑仍為R。

說明：如果逐項(xiàng)積分或逐項(xiàng)微分后的冪級數(shù)在c=R（或-R）處收斂，則性質(zhì)2，3在c=R（或-R）處仍成立。

（4）若的收斂區(qū)間為（），的收斂區(qū)間為（），則

且的收斂區(qū)間為（-R，R），其中R=min

典型例題分析[2]

4.1 選擇題

（1）冪級數(shù)的收斂區(qū)間為（ ）。

A.（-1，1） B.

C. D.

分析：因?yàn)?/p>

所以且當(dāng)x=-1時(shí)，發(fā)散。

當(dāng)x=1時(shí)，收斂，故收斂區(qū)間為，答：C。

（2）設(shè)冪級數(shù)在c=2處收斂，則該冪級數(shù)在c=-1處必定（ ）。

A.發(fā)散 B.條件收斂

C.絕對收斂 D.斂散性不能確定

分析：由于冪級數(shù)在其收斂區(qū)間（-R，R）內(nèi)絕對收斂，在時(shí)發(fā)散.可知，當(dāng)冪級數(shù)在c=2處收斂時(shí)，必有。因此在（-2，2）內(nèi)必定絕對收斂，由于c=-1（-2，2），因此可知在c=-1處必定絕對收斂，故應(yīng)選C，答：C。

（3）下列冪級數(shù)中，收斂半徑為R=1的是（ ）。

A. B.

C. D.

分析：A

B

C

D

可見B為正確答案，答：B。

4.2 填空題

（1）冪級數(shù)的收斂域?yàn)?/p>

分析：當(dāng)，即0

又當(dāng)x=0時(shí)，=發(fā)散。

而當(dāng)x=2時(shí)，=收斂。

故收斂域?yàn)椋穑骸?/p>

（2）關(guān)于的冪級數(shù)展開式為（-2

分析：

= = （-2

答：（-2

4.3 解答題

（1）求冪級數(shù)的收斂半徑。

分析：

，于是可知收斂半徑為答：2。

（2）求的收斂區(qū)間。

分析：所給級數(shù)為不缺項(xiàng)情形，，

=

因此，所以冪級數(shù)的收斂區(qū)間為（-3，3），答：（-3，3）。

（3）求的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域。

分析：

于是

可知收斂半徑為R=即當(dāng)即時(shí)，收斂。

當(dāng)c=0時(shí)，=發(fā)散。

當(dāng)c=2時(shí)，收斂。

故收斂區(qū)間為（0，2），收斂域?yàn)椋穑?，（0，2），。

（4）把函數(shù)展開為x-2的冪級數(shù)，并求收斂區(qū)間。

分析：=

利用函數(shù)

，R=1，得到

，，

所以

（5）求函數(shù)的馬克勞林級數(shù)展開式。

分析：已知

=，

答：

（6）將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。

分析：

=

=

利用公式（2）與（3）以代入得：

，

，

在處的展開式為：

Sinc=

參考文獻(xiàn)

[1] 高霞.高等數(shù)學(xué)[M].南開大學(xué)出版社，2010.

[2] 葉正道.高等數(shù)學(xué)[M].中國社會出版社，2005.

摘 要：冪級數(shù)是數(shù)學(xué)分析當(dāng)中重要概念之一，在數(shù)學(xué)中，冪級數(shù)是一類形式簡單而應(yīng)用廣泛的函數(shù)級數(shù)，變量可以是一個(gè)或多個(gè)。冪級數(shù)被作為基礎(chǔ)內(nèi)容應(yīng)用到了實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)等眾多領(lǐng)域。本文就冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域、馬克勞林級數(shù)等內(nèi)容進(jìn)行淺析。

關(guān)鍵詞：冪級數(shù) 斂散性 收斂半徑 收斂區(qū)間 收斂域 馬克勞林級數(shù)

中圖分類號：O173 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0089-02

1 冪級數(shù)的概念

1.1 冪級數(shù)

形如或的級數(shù)稱為冪級數(shù)，其中常數(shù)叫做冪級數(shù)的系數(shù)。

1.2 收斂半徑與收斂區(qū)間[1]

如果冪級數(shù)不是僅在c=0一點(diǎn)收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂，則必有一個(gè)完全確定的正數(shù)R存在，它具有下列性質(zhì)：

當(dāng)時(shí)，冪級數(shù)絕對收斂；

當(dāng)時(shí)，冪級數(shù)發(fā)散；

當(dāng)x=R與X=-R時(shí)，冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。

正數(shù)R通常叫做冪級數(shù)的收斂半徑。由冪級數(shù)在處的收斂性決定它在區(qū)間、或上收斂，這區(qū)間叫做冪級數(shù)的收斂域，而開區(qū)間（-R，R）稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間。

如果僅在c=0收斂，就規(guī)定R=0，如果對一切c都收斂，則規(guī)定R=。

1.3 收斂半徑的求法

（1）對于不缺項(xiàng)的冪級數(shù)

定理：設(shè)冪級數(shù)的系數(shù)有則：

①當(dāng)0<<時(shí)，有R=。

②當(dāng)=0時(shí)，定義R=。

③當(dāng)時(shí)，定義R=0。

（2）對于缺項(xiàng)的冪級數(shù)，例如

令，，考察==

則當(dāng)<1時(shí)，級數(shù)收斂，此時(shí)可得知

①當(dāng)時(shí)，R=。

②當(dāng)時(shí)，R=。

③當(dāng)時(shí)，定義R=0。

2 將初等函數(shù)展開為冪級數(shù)

如果f（x）在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有各有階導(dǎo)數(shù)、、…，…，這時(shí)稱冪級數(shù)

為函數(shù)f（x）在x=處展開的泰勒級數(shù)。

特別地，取得冪級數(shù)

稱為函數(shù)的馬克勞林級數(shù)。

常用的馬克勞林級數(shù)有：

（1）

（2）Sinx=

（3）Cosx=

（4）Ln（1+x）=

（5）

3 間接展開法

利用冪級數(shù)的基本性質(zhì)與幾個(gè)常用的標(biāo)準(zhǔn)展開式，將初等函數(shù)展開為冪級數(shù)的方法，稱為間接展開法。

4 冪級數(shù)的基本性質(zhì)

（1）冪級數(shù)的和函數(shù)S（x）在其收斂區(qū)間（-R，R）內(nèi)為連續(xù)函數(shù)。

（2）冪級數(shù)在其收斂區(qū)間（-R，R）內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，即：

=

且逐項(xiàng)積分后所得到的冪級數(shù)的收斂半徑也是R。

（3）冪級數(shù)在其收斂區(qū)間（-R，R）內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，即：

（注意下標(biāo)的變化）

且逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得的冪級數(shù)的收斂半徑仍為R。

說明：如果逐項(xiàng)積分或逐項(xiàng)微分后的冪級數(shù)在c=R（或-R）處收斂，則性質(zhì)2，3在c=R（或-R）處仍成立。

（4）若的收斂區(qū)間為（），的收斂區(qū)間為（），則

且的收斂區(qū)間為（-R，R），其中R=min

典型例題分析[2]

4.1 選擇題

（1）冪級數(shù)的收斂區(qū)間為（ ）。

A.（-1，1） B.

C. D.

分析：因?yàn)?/p>

所以且當(dāng)x=-1時(shí)，發(fā)散。

當(dāng)x=1時(shí)，收斂，故收斂區(qū)間為，答：C。

（2）設(shè)冪級數(shù)在c=2處收斂，則該冪級數(shù)在c=-1處必定（ ）。

A.發(fā)散 B.條件收斂

C.絕對收斂 D.斂散性不能確定

分析：由于冪級數(shù)在其收斂區(qū)間（-R，R）內(nèi)絕對收斂，在時(shí)發(fā)散.可知，當(dāng)冪級數(shù)在c=2處收斂時(shí)，必有。因此在（-2，2）內(nèi)必定絕對收斂，由于c=-1（-2，2），因此可知在c=-1處必定絕對收斂，故應(yīng)選C，答：C。

（3）下列冪級數(shù)中，收斂半徑為R=1的是（ ）。

A. B.

C. D.

分析：A

B

C

D

可見B為正確答案，答：B。

4.2 填空題

（1）冪級數(shù)的收斂域?yàn)?/p>

分析：當(dāng)，即0

又當(dāng)x=0時(shí)，=發(fā)散。

而當(dāng)x=2時(shí)，=收斂。

故收斂域?yàn)?，答：?/p>

（2）關(guān)于的冪級數(shù)展開式為（-2

分析：

= = （-2

答：（-2

4.3 解答題

（1）求冪級數(shù)的收斂半徑。

分析：

，于是可知收斂半徑為答：2。

（2）求的收斂區(qū)間。

分析：所給級數(shù)為不缺項(xiàng)情形，，

=

因此，所以冪級數(shù)的收斂區(qū)間為（-3，3），答：（-3，3）。

（3）求的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域。

分析：

于是

可知收斂半徑為R=即當(dāng)即時(shí)，收斂。

當(dāng)c=0時(shí)，=發(fā)散。

當(dāng)c=2時(shí)，收斂。

故收斂區(qū)間為（0，2），收斂域?yàn)?，答?，（0，2），。

（4）把函數(shù)展開為x-2的冪級數(shù)，并求收斂區(qū)間。

分析：=

利用函數(shù)

，R=1，得到

，，

所以

（5）求函數(shù)的馬克勞林級數(shù)展開式。

分析：已知

=，

答：

（6）將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。

分析：

=

=

利用公式（2）與（3）以代入得：

，

，

在處的展開式為：

Sinc=

參考文獻(xiàn)

[1] 高霞.高等數(shù)學(xué)[M].南開大學(xué)出版社，2010.

[2] 葉正道.高等數(shù)學(xué)[M].中國社會出版社，2005.

摘 要：冪級數(shù)是數(shù)學(xué)分析當(dāng)中重要概念之一，在數(shù)學(xué)中，冪級數(shù)是一類形式簡單而應(yīng)用廣泛的函數(shù)級數(shù)，變量可以是一個(gè)或多個(gè)。冪級數(shù)被作為基礎(chǔ)內(nèi)容應(yīng)用到了實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)等眾多領(lǐng)域。本文就冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域、馬克勞林級數(shù)等內(nèi)容進(jìn)行淺析。

關(guān)鍵詞：冪級數(shù) 斂散性 收斂半徑 收斂區(qū)間 收斂域 馬克勞林級數(shù)

中圖分類號：O173 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0089-02

1 冪級數(shù)的概念

1.1 冪級數(shù)

形如或的級數(shù)稱為冪級數(shù)，其中常數(shù)叫做冪級數(shù)的系數(shù)。

1.2 收斂半徑與收斂區(qū)間[1]

如果冪級數(shù)不是僅在c=0一點(diǎn)收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂，則必有一個(gè)完全確定的正數(shù)R存在，它具有下列性質(zhì)：

當(dāng)時(shí)，冪級數(shù)絕對收斂；

當(dāng)時(shí)，冪級數(shù)發(fā)散；

當(dāng)x=R與X=-R時(shí)，冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。

正數(shù)R通常叫做冪級數(shù)的收斂半徑。由冪級數(shù)在處的收斂性決定它在區(qū)間、或上收斂，這區(qū)間叫做冪級數(shù)的收斂域，而開區(qū)間（-R，R）稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間。

如果僅在c=0收斂，就規(guī)定R=0，如果對一切c都收斂，則規(guī)定R=。

1.3 收斂半徑的求法

（1）對于不缺項(xiàng)的冪級數(shù)

定理：設(shè)冪級數(shù)的系數(shù)有則：

①當(dāng)0<<時(shí)，有R=。

②當(dāng)=0時(shí)，定義R=。

③當(dāng)時(shí)，定義R=0。

（2）對于缺項(xiàng)的冪級數(shù)，例如

令，，考察==

則當(dāng)<1時(shí)，級數(shù)收斂，此時(shí)可得知

①當(dāng)時(shí)，R=。

②當(dāng)時(shí)，R=。

③當(dāng)時(shí)，定義R=0。

2 將初等函數(shù)展開為冪級數(shù)

如果f（x）在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有各有階導(dǎo)數(shù)、、…，…，這時(shí)稱冪級數(shù)

為函數(shù)f（x）在x=處展開的泰勒級數(shù)。

特別地，取得冪級數(shù)

稱為函數(shù)的馬克勞林級數(shù)。

常用的馬克勞林級數(shù)有：

（1）

（2）Sinx=

（3）Cosx=

（4）Ln（1+x）=

（5）

3 間接展開法

利用冪級數(shù)的基本性質(zhì)與幾個(gè)常用的標(biāo)準(zhǔn)展開式，將初等函數(shù)展開為冪級數(shù)的方法，稱為間接展開法。

4 冪級數(shù)的基本性質(zhì)

（1）冪級數(shù)的和函數(shù)S（x）在其收斂區(qū)間（-R，R）內(nèi)為連續(xù)函數(shù)。

（2）冪級數(shù)在其收斂區(qū)間（-R，R）內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，即：

=

且逐項(xiàng)積分后所得到的冪級數(shù)的收斂半徑也是R。

（3）冪級數(shù)在其收斂區(qū)間（-R，R）內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，即：

（注意下標(biāo)的變化）

且逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得的冪級數(shù)的收斂半徑仍為R。

說明：如果逐項(xiàng)積分或逐項(xiàng)微分后的冪級數(shù)在c=R（或-R）處收斂，則性質(zhì)2，3在c=R（或-R）處仍成立。

（4）若的收斂區(qū)間為（），的收斂區(qū)間為（），則

且的收斂區(qū)間為（-R，R），其中R=min

典型例題分析[2]

4.1 選擇題

（1）冪級數(shù)的收斂區(qū)間為（ ）。

A.（-1，1） B.

C. D.

分析：因?yàn)?/p>

所以且當(dāng)x=-1時(shí)，發(fā)散。

當(dāng)x=1時(shí)，收斂，故收斂區(qū)間為，答：C。

（2）設(shè)冪級數(shù)在c=2處收斂，則該冪級數(shù)在c=-1處必定（ ）。

A.發(fā)散 B.條件收斂

C.絕對收斂 D.斂散性不能確定

分析：由于冪級數(shù)在其收斂區(qū)間（-R，R）內(nèi)絕對收斂，在時(shí)發(fā)散.可知，當(dāng)冪級數(shù)在c=2處收斂時(shí)，必有。因此在（-2，2）內(nèi)必定絕對收斂，由于c=-1（-2，2），因此可知在c=-1處必定絕對收斂，故應(yīng)選C，答：C。

（3）下列冪級數(shù)中，收斂半徑為R=1的是（ ）。

A. B.

C. D.

分析：A

B

C

D

可見B為正確答案，答：B。

4.2 填空題

（1）冪級數(shù)的收斂域?yàn)?/p>

分析：當(dāng)，即0

又當(dāng)x=0時(shí)，=發(fā)散。

而當(dāng)x=2時(shí)，=收斂。

故收斂域?yàn)?，答：?/p>

（2）關(guān)于的冪級數(shù)展開式為（-2

分析：

= = （-2

答：（-2

4.3 解答題

（1）求冪級數(shù)的收斂半徑。

分析：

，于是可知收斂半徑為答：2。

（2）求的收斂區(qū)間。

分析：所給級數(shù)為不缺項(xiàng)情形，，

=

因此，所以冪級數(shù)的收斂區(qū)間為（-3，3），答：（-3，3）。

（3）求的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域。

分析：

于是

可知收斂半徑為R=即當(dāng)即時(shí)，收斂。

當(dāng)c=0時(shí)，=發(fā)散。

當(dāng)c=2時(shí)，收斂。

故收斂區(qū)間為（0，2），收斂域?yàn)?，答?，（0，2），。

（4）把函數(shù)展開為x-2的冪級數(shù)，并求收斂區(qū)間。

分析：=

利用函數(shù)

，R=1，得到

，，

所以

（5）求函數(shù)的馬克勞林級數(shù)展開式。

分析：已知

=，

答：

（6）將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。

分析：

=

=

利用公式（2）與（3）以代入得：

，

，

在處的展開式為：

Sinc=

參考文獻(xiàn)

[1] 高霞.高等數(shù)學(xué)[M].南開大學(xué)出版社，2010.

[2] 葉正道.高等數(shù)學(xué)[M].中國社會出版社，2005.