二元冪級數(shù)的收斂性

郭志華，秦小雨，曹懷信

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安710119)

冪級數(shù)是數(shù)學(xué)分析的重要概念之一，在級數(shù)理論中具有極其重要的地位。關(guān)于一元冪級數(shù)的概念、收斂性及和函數(shù)等性質(zhì)已有一套成熟的理論［1］，而對于多元冪級數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)研究甚少。多項式函數(shù)是一類結(jié)構(gòu)簡單、性質(zhì)良好的函數(shù)類，在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)中具有重要應(yīng)用［2－3］。在文獻［4］中，筆者引入了多元函數(shù)項級數(shù)的概念，給出了其收斂域及和函數(shù)的定義，通過詳實的例子討論了多元冪級數(shù)的收斂域、和函數(shù)及多元函數(shù)展開為多元冪級數(shù)的計算方法。文獻［5］討論了二元冪級數(shù)收斂半徑的計算公式，但沒有明確給出二元冪級數(shù)收斂半徑的定義。文獻［6］討論了一個關(guān)于SP(n)的無窮級數(shù)的收斂性問題，文獻［7］研究了關(guān)于冪級數(shù)在自然數(shù)列中的應(yīng)用。

本文根據(jù)一元冪級數(shù)相關(guān)原理，通過探究二元函數(shù)項級數(shù)的概念及收斂性，引出二元冪級數(shù)及其收斂半徑等概念，給出收斂半徑的相關(guān)性質(zhì)，證明一些收斂和絕對收斂性定理，并以實例給出求解收斂半徑的方法。

1 二元函數(shù)項級數(shù)

1.1 二元函數(shù)項級數(shù)的概念

設(shè){un(x，y)}是定義在區(qū)域D上的一個函數(shù)列，稱表達式

為函數(shù)項級數(shù)(1)的部分和。

1.2 二元函數(shù)項級數(shù)的收斂性

定義1 若點P0=(x0，y0)∈D使得數(shù)項級數(shù)

收斂，即當n→∞ 時，部分和

的極限存在，則稱二元函數(shù)項級數(shù)(1)在點P0=(x0，y0)收斂，且稱點P0=(x0，y0)為級數(shù)(1)的收斂點;若級數(shù)(3)發(fā)散，則稱級數(shù)(1)在點P0=(x0，y0)發(fā)散。若級數(shù)(1)在D的某個子集H上每一點都收斂，則稱級數(shù)(1)在H上收斂。若H為級數(shù)(1)全體收斂點的集合，則稱H為級數(shù)(1)的收斂域。此時，級數(shù)(1)在H上每一點P=(x，y)與其所對應(yīng)的數(shù)項級數(shù)(3)的和S(x，y)構(gòu)成一個定義在H上的函數(shù)，稱為級數(shù)(1)的和函數(shù)，并寫作

即

2 二元冪級數(shù)

2.1 二元冪級數(shù)的概念

稱其為一個二元冪級數(shù)，其中常數(shù)

稱為該冪級數(shù)的系數(shù)。由定義知

例如，當

時，相應(yīng)的二元冪級數(shù)為

2.2 二元冪級數(shù)的收斂性

類似于一元冪級數(shù)的收斂性定理，我們有下面關(guān)于二元冪級數(shù)的收斂性定理。

定理1 (1)若二元冪級數(shù)(6)在點P0=(x0，y0)≠(0，0)收斂，則當

時，二元冪級數(shù)(6)收斂且絕對收斂;

(2)若二元冪級數(shù)(6)在點P0發(fā)散，則當

時，二元冪級數(shù)(6)發(fā)散。

證明 (1)因為二元冪級數(shù)(6)在點P0=(x0，y0)≠(0，0)收斂，所以

收斂，從而當n→∞ 時，通項un(x0，y0)收斂于0。于是，存在常數(shù)M ＞0，使得

于是，當

時，有

(2)由結(jié)論(1)可知。

推論1 若二元冪級數(shù)(6)在某個圓周Cr:x2+y2=r2(r＞0)上的每個點處都收斂，則它在該圓內(nèi)處處絕對收斂。

證明 設(shè)P=(x，y) 為圓周Cr內(nèi)的任一點，則它可表示為(x，y)=k(x0，y0)(|k| ＜ 1)，其中:(x0，y0)∈Cr。從而，由定理1知二元冪級數(shù)(6)在P=(x，y)處絕對收斂。

基于這個推論，我們引入二元冪級數(shù)(6)的收斂半徑的概念。

定義3 稱

為二元冪級數(shù)(6)的收斂半徑。

例1 對于二元冪級數(shù)(7)，由于

所以，由根式判別法知:當|x+y|＜1時，二元冪級數(shù)(7)絕對收斂;當|x+y|＞1時，二元冪級數(shù)(7)發(fā)散。因此，其收斂半徑同時，當|x+y|=1時，二元冪級數(shù)(7)的通項不收斂于0，從而級數(shù)發(fā)散。故二元冪級數(shù)(7)的收斂域為，如圖1所示。

圖1 |x+y|=1的圖像及收斂半徑R，收斂域為兩條直線圍成的無界開域

下面給出收斂半徑的意義。

定理2 (1)當R=0時，二元冪級數(shù)(4)的收斂域不能完全包含任何以原點為中心的圓周;(2)當R→+∞時，二元冪級數(shù)(6)在整個平面處處絕對收斂;(3)當0＜R＜∞時，二元冪級數(shù)(6)在圓CR:x2+y2=R2內(nèi)處處絕對收斂;在圓CR:x2+y2=R2外，至少一點處發(fā)散。

證明 (1)由收斂半徑的定義可知。

(2)當R→+∞時，由收斂半徑的定義知:存在一個趨近于正無窮大的正數(shù)列{rn}，使得在圓周Crn:x2+y2=上，二元冪級數(shù)(6)處處收斂。對于任何圓周Cr:x2+y2=r2(r＞0)，當n足夠大時，有rn＞r。于是，根據(jù)推論1知二元冪級數(shù)(6)在圓Cr上處處絕對收斂。由r的任意性可知:二元冪級數(shù)(6)在整個平面處處絕對收斂。

(3)設(shè)P=(x，y)為圓周CR內(nèi)任一點，則x2+y2＜R2。由收斂半徑的定義知:存在正數(shù)列{rn}使得rn→R(n→∞)且二元冪級數(shù)(6)在Crn上的每個點都收斂。取充分大的自然數(shù)n，使得R2。由推論1知二元冪級數(shù)(6)在點P=(x，y)處絕對收斂。

注1 當R=0時，二元冪級數(shù)(6)可能在除了原點之外的點處收斂。

推論2 對于二元冪級數(shù)(6)，記

注2 對于例2中的冪級數(shù)，有u2n(x，y)=n!xnyn，u2n+1(x，y)=0，a→+∞，但R=0。這說明不等式(10)中的小于號是可以成立的。對于二元冪級數(shù)，有u2n(x，y)=(x2+y2)n，u2n+1(x，y)=0，從而

例3 求二元冪級數(shù)

的收斂半徑及收斂域。

解 由于原級數(shù)可寫為

這是z=x2y3的一元冪級數(shù)，其收斂半徑為所以，當時，原級數(shù)絕對收斂;當時，原級數(shù)發(fā)散;當時，有，可見，原級數(shù)的通項不趨近于0，從而發(fā)散。因此，原級數(shù)的收斂域為

圖2

解 因為

為z=x+y2的冪級數(shù)，其收斂半徑為1，收斂域為［－1，1］，從而原級數(shù)的收斂域為

進一步，由一元函數(shù)的泰勒展開式知，原級數(shù)的和函數(shù)為arctan(x+y2)，即

現(xiàn)在考慮該二元冪級數(shù)的收斂半徑。首先，畫出|x+y2|=1的圖像(見圖3)。收斂域就是兩條曲線y2=－(x－1)(x≤1)和y2=－(x+1)(x≤－1)圍成的無界閉域。設(shè)在曲線y2=－(x－1)(x≤1)上任意一點(x，y)到原點的距離為d，則它在處取得最小值由于曲線y2=－(x+1) (x≤－1)上任意一點(x，y)到原點的距離大于等于所以該二元冪級數(shù)的收斂半徑如圖3所示。

圖3 |x+y2|=1的圖像及其收斂半徑，收斂域為兩條拋物線之間的無界閉域

［1］華東師大數(shù)學(xué)系．數(shù)學(xué)分析(下冊)［M］．北京:高等教育出版社，2010:142－145．

［2］曹飛龍，徐宗本，梁吉業(yè)．多項式函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近:網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造與逼近算法［J］．計算機學(xué)報，2003，26(8):906－912．

［3］王建軍，徐宗本．多元多項式函數(shù)的三層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近方法［J］．計算機學(xué)報，2009，32(12):2482－2488．

［4］高潮邦．關(guān)于多元冪級數(shù)［J］．大學(xué)數(shù)學(xué)，2007，23(3):125－129．

［5］蔡道西．關(guān)于二元冪級數(shù)收斂半徑的計算公式［J］．數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究(教研版)，2009(5):111－112．

［6］周煥芹．一個關(guān)于 SP(n)的無窮級數(shù)的收斂性［J］．渭南師范學(xué)院學(xué)報，2011，26(12):5－7．

［7］王永興，楊倩麗．關(guān)于冪級數(shù)在自然數(shù)列中的應(yīng)用［J］．渭南師范學(xué)院學(xué)報，2005，20(5):21－23．