帶電粒子在電磁場中的運動

朱志平

(渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，陜西 渭南714099)

0 引言

帶電粒子在電磁場中的運動規(guī)律在物理學(xué)和科學(xué)技術(shù)的許多研究領(lǐng)域有著重大意義。就應(yīng)用而言，質(zhì)譜儀、示波管、電子顯微鏡、電視顯像管、磁聚焦、粒子加速器等都與它有密切關(guān)系。［1］就基礎(chǔ)研究而言，人們對原子核和基本粒子的認識大多來源于對其間相互碰撞過程的研究，而帶電粒子的碰撞過程則與它們在電磁場中的運動規(guī)律密切相關(guān)。對于空間物理和天體物理的研究，其研究對象大多是等離子體，其中又存在著各種磁場(如地球磁場、太陽磁場、恒星磁場、星系磁場等)，研究帶電粒子在這些磁場中的運動對許多現(xiàn)象和過程的認識至關(guān)重要。

對于在電磁場中運動的帶電粒子，因受庫侖(Coulomb)力和洛侖茲(Lorentz)力作用，其運動方程為:

其運動規(guī)律比較復(fù)雜，難以由理論分析給出一個直觀的圖像，也不易用實驗方法實現(xiàn)。因此，在研究帶電粒子在電磁場中的運動規(guī)律時，可以借助MATLAB軟件功能將帶電粒子在電磁場中的運動直觀地描繪出來。［2－4］

1 帶電粒子在均勻恒定電磁場中的運動

1.1 帶電粒子在均勻恒定電場中的運動

帶電粒子在電場中，受電場力作用，其運動方程為:

在水平方向(x方向)粒子的運動方程為:

在鉛直方向(y方向)粒子的運動方程為:

當(dāng)α=0或π時，粒子的運動軌跡為:

當(dāng)α≠0或π時，粒子的運動軌跡為:

取 E=1 N/C，q=1．6 × 10－19C，m=1．6 × 10－19kg=2 m/s，對粒子以不同入射角進入電場進行模擬，模擬圖如圖1所示。

圖1 帶電粒子在均勻恒定電場中的運動軌跡

圖2 帶電粒子在勻強磁場中的螺旋運動

1.2 帶電粒子在均勻恒定磁場中的運動

1．2．1 帶電粒子在均勻恒定磁場中的運動

帶電粒子在磁場中運動，受洛侖茲力的作用，其運動方程為:

運動方程的分量形式為:

對式(10)求微分并作代換，得

對式(11)積分，得

再積分，得

其中:v⊥=v0sinθ，v‖=v0cosθ，α及x0、y0、z0都是由初始條件確定的常數(shù)，其中α為初速度在xoy平面內(nèi)的投影與x軸的夾角。

式(13)表明，帶電粒子從初始位置(x0，y0，z0)出發(fā)，以初速度的平行磁場分量v‖沿磁場方向作勻速直線運動。同時，在垂直磁場的xoy平面內(nèi)，以初速度的垂直磁場分量v⊥繞半徑為的圓作勻速圓周運動。即x、y、z的表示式(13)式說明此軌跡是一條螺旋線。取初始入射速度方向與z軸成30°夾角進行模擬，模擬圖像如圖2所示。

1．2．2 磁聚焦原理

運動電荷在磁場中的螺旋運動被廣泛地應(yīng)用于“磁聚焦技術(shù)”［3］。磁聚焦在許多電真空系統(tǒng)中得到應(yīng)用(如電子顯微鏡)。

由于電子速度的垂直分量各不相同，在磁場力的作用下，電子將沿不同半徑的螺旋線前進。［5］但由于水平速度分量近于相等，所有電子從P點經(jīng)過一個螺距之后又重新匯聚于P'點。這與透鏡將光束聚焦成像的作用類似，叫做磁聚焦。

設(shè)磁場軸向路徑長度為L，一束質(zhì)量為m、帶電量為e的電子先經(jīng)過較大的軸向電場加速，獲得速度v‖;再經(jīng)過徑向交變電壓發(fā)散，獲得不同的但很小的徑向速度v⊥;然后進入軸向勻強磁場B中做螺旋運動。電子作螺旋運動的半徑為，由于電子帶負電荷，利用初始條件:t=0時，x=y=z=0，其運動方程可表示為:

經(jīng)過1個周期，電子能在端點匯聚，則L/z=1。若L/z=n(n為整數(shù))，即增加磁感應(yīng)強度B而減小周期T，則電子束有n個匯聚點(焦點)。設(shè)發(fā)散角為θ，則散角越大，焦點越少，則半徑越大。如取電子束聚焦3次進行模擬，模擬圖如圖3所示。

圖3 磁聚焦圖

圖4 空間正交電磁場

1.3 帶電粒子在均勻正交電磁場中的運動

運動方程的分量形式為:

對式(16)求微分并作代換，得

利用初始條件:t=0時，有

對式(18)積分，得帶電粒子的軌跡方程為:

根據(jù)不同的初始速度與電磁場大小對式(20)進行數(shù)值模擬，模擬圖如圖5所示。

由圖5可知，若v0＜E/B時，帶電粒子的軌跡是短幅擺線，如圖5(a)所示;若v0＞E/B時，帶電粒子的軌跡是長幅擺線，如圖5(b)所示;若v0=E/B時，帶電粒子沿x軸作勻速直線運動，如圖5(c)所示。

圖5 帶電粒子在均勻正交電磁場中的運動軌跡

2 帶電粒子在電磁場中運動的普遍情況

2.1 帶電粒子在均勻非正交電磁場中的運動

以上討論了(1)只有電場而沒有磁場;(2)只有磁場而電場為三者兩兩互相垂直的三種情況?，F(xiàn)在討論普遍情況下帶電粒子在電磁場中的運動情況，即成任意夾角時，求解其運動規(guī)律。

圖6 均勻非正交電磁場

代入式(21)，有

整理得一組微分方程:

對式(23)微分并整理，得:

積分，得:

此為帶電粒子在恒定電磁場中運動時其速度在x、y、z軸上的3個分量式。

圖7 帶粒子在勻強非正交電磁場中運動示意圖

解式(26)，得:

利用初始條件:在t=0時，帶電粒子從原點開始運動，初速度為vo。即t=0時，有

并對式(28)積分得粒子的軌跡方程為:

取Ex=1 N/C，Ey=Ez=2 N/C，vox=voy=2 m/s，voz=1 m/s進行模擬，軌跡曲線如圖7所示。

由圖7可知，在勻強非正交電磁場中運動的帶電粒子，在xoy平面內(nèi)作擺線運動，如圖7(a)所示;在沿z軸方向作勻加速直線運動，如圖7(b)所示;帶電粒子在均勻非正交電磁場中的運動軌跡如圖7(c)所示。

圖8 非勻強磁場

2.2 帶電粒子在非勻強磁場中的運動規(guī)律

帶電粒子運動矢量微分方程為:

由于

粒子運動微分方程的分量形式為:

對式(32－3)積分，并利用初始條件可得

再積分，由于z(0)=0，可得

當(dāng)θ=0時，vx=vy=0，因此粒子沿z軸作勻速直線運動。當(dāng)θ=π/2時，vx=v0，vz=vy=0，在x=0的平面，B=0，粒子沿x軸作勻速直線運動。

再求解x方向和y方向的運動方程:由式(33－1)(33－2)得，

利用初始條件:vx=v0sinθ，vy=0得

設(shè) vx=v0sinθcosφ，vy=v0sinθsinφ，φ 為角變量，代入式(32－1)，則得

當(dāng)t=0時，φ=0。對式(37)積分得

對式(38)積分得:

此積分稱為菲涅爾余弦 /正弦積分，只有數(shù)值解。當(dāng)積分上限趨于無窮大時，兩個菲涅耳積分都趨于則粒子的極限坐標(biāo)為:

粒子的極限坐標(biāo)為:

取θ=60°對式(42)進行模擬，得到帶電粒子在非勻強磁場中的運動規(guī)律與軌跡，如圖9(a)、圖9(b)所示。

圖9(a)之上圖和中圖表示，當(dāng)帶電粒子的入射角為60°時，其坐標(biāo)x和y隨時間均做周期性變化，時間越長，幅度越小。圖9(a)之下圖表示，帶電粒子的z坐標(biāo)隨時間直線增加。圖9(b)表示，帶電粒子的運動軌跡是螺旋上升的，時間越長，粒子運動得越高，半徑也越小。［6］由于磁場只有z分量，粒子在z方向作勻速直線運動，因此，粒子不會返回來。

圖9 帶電粒子在非勻強磁場中運動的規(guī)律與軌跡

3 結(jié)語

借助MATLAB軟件的作圖動畫功能，對帶電粒子在電磁場中運動的5種情況進行模擬，將其運動規(guī)律形象而直觀地描繪出來，加強了對帶電粒子在電磁場中運動規(guī)律的理解和掌握，為進一步研究帶電粒子在其他情況下的運動以及運動規(guī)律在科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用提供科學(xué)參考。

［1］陳秉乾，舒幼生，胡望雨．電磁學(xué)專題研究［M］．北京:高等教育出版社，2003．

［2］周博，謝東來，張憲海．MATLAB－科學(xué)計算［M］．北京:機械工業(yè)出版社，2010．

［3］占亞波，于立志．計算機模擬帶電粒子在電磁場中的運動［J］．阜陽師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2010，27(1):40－43．

［4］牛懷崗，朱志平．MATLAB 求解力學(xué)問題探析［J］．渭南師范學(xué)院學(xué)報，2016，31(16):64－69．

［5］高永毅，張平柯．帶電粒子在均勻電磁場中運動的普遍規(guī)律［J］．湘潭師范學(xué)院學(xué)報，1996，17(3):84－87．

［6］歐陽鈐，史兆憲．帶電粒子在電磁場中運動的普遍情況［J］．零陵師專學(xué)報，1981，2(1):47－59．