• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    詣零冪級數(shù)McCoy環(huán)

    2013-12-03 06:35:16
    關(guān)鍵詞:冪級數(shù)正整數(shù)乘法

    張 萬 儒

    (河西學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅 張掖 734000)

    本文所有的環(huán)都是有單位元的結(jié)合環(huán).對于環(huán)R,用R[x]表示R上的多項式環(huán),R[[x]]表示R上的冪級數(shù)環(huán),nil(R)表示R中所有冪零元做成的集合,nil(R)[[x]]表示R[[x]]中系數(shù)是冪零元的所有冪級數(shù)做成的集合,Mn(R)表示R上的n階矩陣環(huán).

    定義1[1]如果R[x]中任意非零多項式f(x)和g(x),當f(x)g(x)=0時,存在非零元c∈R,使得f(x)c=0(cg(x)=0)成立,則稱環(huán)R是右(左)McCoy環(huán).如果R既是左McCoy環(huán),又是右McCoy環(huán),則稱R是McCoy環(huán).

    定義2[2]如果R[[x]]中任意非零冪級數(shù)f(x)和g(x),當f(x)g(x)=0時,存在非零元c∈R,使得f(x)c=0(cg(x)=0)成立,則稱環(huán)R是右(左)冪級數(shù)McCoy環(huán).如果R既是左冪級數(shù)McCoy環(huán),又是右冪級數(shù)McCoy環(huán),則稱R是冪級數(shù)McCoy環(huán).

    冪級數(shù)McCoy環(huán)是McCoy環(huán),文獻[2]中例2.6表明,反之并不成立.

    定義3[3]如果R[x]中任意非零多項式f(x)和g(x),當f(x)g(x)∈nil(R)[x]時,存在非零元c∈R,使得f(x)c∈nil(R)[x](cg(x)∈nil(R)[x])成立,則稱環(huán)R是右(左)詣零McCoy環(huán).如果R既是右詣零McCoy環(huán),又是左詣零McCoy環(huán),則稱R是詣零McCoy環(huán).

    文獻[1,4-7]給出了McCoy環(huán)的相關(guān)性質(zhì)和實例;文獻[2]研究了冪級數(shù)McCoy環(huán);文獻[3,8]給出了詣零McCoy環(huán)的相關(guān)性質(zhì)和實例.本文在冪級數(shù)環(huán)中討論環(huán)的詣零McCoy條件,引入了詣零冪級數(shù)McCoy環(huán)的概念,給出了詣零冪級數(shù)McCoy環(huán)的例子,并討論了詣零冪級數(shù)McCoy環(huán)的基本性質(zhì)及詣零冪級數(shù)McCoy環(huán)的擴張.

    定義4設(shè)R是環(huán),如果對R[[x]]中任意非零冪級數(shù)f(x)和g(x),當f(x)g(x)∈nil(R)[[x]]時,存在非零元c∈R,使得f(x)c∈nil(R)[[x]](cg(x)∈nil(R)[[x]])成立,則稱R是詣零冪級數(shù)右(左)McCoy環(huán).如果R既是右詣零冪級數(shù)McCoy環(huán),又是左詣零冪級數(shù)McCoy環(huán),則稱R是詣零冪級數(shù)McCoy環(huán).

    設(shè)R是環(huán),Tn(R)表示R上的n×n上三角矩陣環(huán).記

    按通常的矩陣加法和乘法,Sn(R)和Dn(R)分別構(gòu)成Tn(R)的子環(huán).

    設(shè)R是環(huán),RMR是R雙模,T(R,M)={(a,x)|a∈R,x∈M}.規(guī)定T(R,M)上的加法為對應(yīng)分量相加,乘法為(a1,x1)(a2,x2)=(a1a2,a1x2+x1a2).按規(guī)定的加法和乘法,T(R,M)構(gòu)成一個環(huán),稱為R借助于M的平凡擴張.

    定理1設(shè)R是環(huán),n≥2是正整數(shù),則下列結(jié)論成立:

    1)Tn(R)是詣零冪級數(shù)McCoy環(huán);

    2)Sn(R)是詣零冪級數(shù)McCoy環(huán);

    3)Dn(R)是詣零冪級數(shù)McCoy環(huán);

    4)T(R,M)是詣零冪級數(shù)McCoy環(huán).

    證明:設(shè)Eij(1≤i,j≤n)是矩陣單位.取C=E1n∈Tn(R).容易驗證:對任意的A∈Tn(R),AC和CA都是Tn(R)中的冪零元.所以Tn(R)是詣零冪級數(shù)McCoy環(huán).同理,Sn(R)和Dn(R)也是詣零冪級數(shù)McCoy環(huán).

    任取0≠(0,m)∈T(R,M).容易驗證:對任意的A∈T(R,M),A(0,m)和(0,m)A都是T(R,M)中的冪零元.所以T(R,M)是詣零冪級數(shù)McCoy環(huán).

    定理2如果R是Reduced環(huán)(沒有非零冪零元的環(huán)),n≥2是正整數(shù),則Mn(R)既不是右詣零McCoy環(huán),也不是左詣零McCoy環(huán),從而Mn(R)不是詣零冪級數(shù)McCoy環(huán).

    證明:取

    容易驗證:f(x)g(x)=0∈nil(Mn(R))[x].由于f(x)=E11+E12x+…+Ennxn2-1,如果存在C∈Mn(R),使得f(x)C∈nil(Mn(R))[x],則對任意的1≤i,j≤n,EijC∈nil(Mn(R))成立.不妨設(shè)C=(cij)n×n.由于E11C,E12C,…,E1nC∈nil(Mn(R)),而

    所以c11,c21,…,cn1∈nil(R).由于R是Reduced環(huán),所以c11=c21=…=cn1=0,從而

    同理,由于E21C,E22C,…,E2nC∈nil(Mn(R)),而

    所以c12=c22=…=cn2=0.類似地,可證對任意的1≤i,j≤n,cij=0,所以C=0,從而Mn(R)不是右詣零McCoy環(huán).類似可證:Mn(R)也不是左詣零McCoy環(huán).證畢.

    根據(jù)定理1,可能猜想:當n≥2時,R上的n×n矩陣環(huán)Mn(R)也是詣零冪級數(shù)McCoy環(huán).定理2 表明這個猜想不成立.

    例1設(shè)R是環(huán),S=M2(R).取

    顯然,f(x)g(x)=0∈nil(S)[[x]].但

    ?nil(S).

    所以S不是詣零冪級數(shù)Armendariz環(huán).根據(jù)文獻[9]命題7可知,Tn(S)也不是詣零冪級數(shù)Armendariz環(huán).但根據(jù)定理1,Tn(S)是詣零冪級數(shù)McCoy環(huán).

    顯然,詣零冪級數(shù)Armendariz環(huán)是詣零冪級數(shù)McCoy環(huán).例1表明,反之并不成立.

    例2設(shè)R是環(huán),由文獻[3]例2.4可知,R上的n×n上三角矩陣環(huán)Tn(R)不是右McCoy環(huán),從而不是右冪級數(shù)McCoy環(huán).但根據(jù)定理1,Tn(R)是右詣零冪級數(shù)McCoy環(huán).

    例2表明,詣零冪級數(shù)McCoy環(huán)不是冪級數(shù)McCoy環(huán).

    定理3右詣零冪級數(shù)McCoy環(huán)的直積是右詣零冪級數(shù)McCoy環(huán).

    1) 存在k∈I,使得fk(x)≠0,gk(x)≠0成立.由于Rk是右詣零冪級數(shù)McCoy環(huán),因此存在非零元rk∈Rk,使得fk(x)rk∈nil(Rk)[[x]]成立.令r=(ri)i∈I,其中

    則0≠r∈R,并且f(x)r∈nil(R)[[x]].

    2) 對所有的i∈I,fi(x)≠ 0,gi(x)≠0不能同時成立.由于f(x)≠0,g(x)≠0,因此只有以下兩種情形:

    ① 存在k∈I,使得fk(x)≠0但gk(x)=0.令J={i∈I|fi(x)≠0},則J≠?.同時J≠I,否則,所有的gi(x)=0,從而g(x)=0,矛盾.令r=(ri)i∈I,其中

    則0≠r∈R,并且f(x)r=0∈nil(R)[[x]].

    ② 存在k∈I,使得fk(x)=0但gk(x)≠0.與情形①類似可證,存在0≠r∈R,使得f(x)r∈nil(R)[[x]].

    所以,R是右詣零McCoy環(huán).

    推論1設(shè)R是環(huán),e∈R是中心冪等元.如果eR和(1-e)R都是右詣零冪級數(shù)McCoy環(huán),則R是右詣零冪級數(shù)McCoy環(huán).

    例3設(shè)R是Reduced環(huán),S=M2(R).根據(jù)定理1,T2(S)是右詣零冪級數(shù)McCoy環(huán).但由定理2可知,S作為T2(S)的子環(huán)卻不是右詣零冪級數(shù)McCoy環(huán).設(shè)

    則I是T2(S)的理想,且T2(S)/I?S不是右詣零冪級數(shù)McCoy環(huán).設(shè)E是S中的單位矩陣,

    則e2=e且eT2(S)e?S不是右詣零冪級數(shù)McCoy環(huán).

    例3表明,右詣零冪級數(shù)McCoy環(huán)的子環(huán)和同態(tài)象不一定是右詣零冪級數(shù)McCoy環(huán),并且如果R是右詣零冪級數(shù)McCoy環(huán),e2=e∈R,eRe不一定是右詣零冪級數(shù)McCoy環(huán).

    命題1設(shè)I是環(huán)R的理想.如果I?nil(R),并且R/I是右詣零冪級數(shù)McCoy環(huán),則R是右詣零冪級數(shù)McCoy環(huán).

    對于0≠f(x)∈R[x],用degf表示f(x)的次數(shù).如果f(x)=0,則規(guī)定degf=0.R[x;x-1]表示環(huán)R上的Laurent多項式環(huán).

    定理4如果環(huán)R滿足nil(R[x])=nil(R)[x],則R是右詣零McCoy環(huán)當且僅當R[x]是右詣零McCoy環(huán).

    證明:假設(shè)0≠p(y)=f0+f1y+…+fnyn,0≠q(y)=g0+g1y+…+gmym∈R[x][y],使得p(y)q(y)∈nil(R[x])[y],其中fi,gj∈R[x].取正整數(shù)k=degf0+…+degfn+degg0+…+deggm+1,f(x)=f0+f1xk+f2x2k+…+fnxnk,g(x)=g0+g1xk+g2x2k+…+gmxmk.則f(x)(g(x))的系數(shù)做成的集合和所有fi(x)(gi(x))的系數(shù)做成的集合相等.由于p(y)q(y)∈nil(R[x])[y] 且nil(R[x])=nil(R)[x],因此容易驗證f(x)g(x)∈nil(R)[x].因為R是右詣零McCoy環(huán),所以存在0≠c∈R,使得f(x)c∈nil(R)[x].從而對任意的0≤i≤n,fic∈nil(R)[x]成立.由于nil(R[x])=nil(R)[x],所以p(y)c∈nil(R[x])[y].從而R[x]是右詣零McCoy環(huán).

    設(shè)0≠f(x)=a0+a1x+…+anxn,0≠g(x)=b0+b1x+…+bmxm∈R[x],滿足f(x)g(x)∈nil(R)[x].令p(y)=a0+(a1x)y+…+(anxn)yn,q(y)=b0+(b1x)y+…+(bmxm)ym∈R[x][y].由于nil(R[x])=nil(R)[x],則p(y)q(y)∈nil(R[x])[y].又由于R[x]是右詣零McCoy環(huán),因此存在0≠c(x)=c0+c1x+…+csxs∈R[x],使得p(y)c(x)∈nil(R[x])[y],從而對任意的0≤i≤n,(aixi)c(x)∈nil(R[x])成立.由于nil(R[x])=nil(R)[x],所以(aixi)c(x)∈nil(R)[x].從而對任意的0≤i≤n和0≤j≤s,aicj∈nil(R).又由于0≠c(x),因此存在0≠ck∈R,使得對任意的0≤i≤n,aick∈nil(R)成立.從而f(x)ck∈nil(R)[x].故R是右詣零McCoy環(huán).

    定理5設(shè)R是環(huán),下列條件等價:

    1)R[x]是右詣零McCoy環(huán);

    2)R[x;x-1]是右詣零McCoy環(huán).

    2)?1).假設(shè)0≠f(y)=f0+f1y+…+fnyn,0≠g(y)=g0+g1y+…+gmym∈R[x][y],滿足f(y)g(y)∈nil(R[x])[y],其中fi,gj∈R[x].顯然f(y)g(y)∈nil(R[x;x-1])[y].又由于R[x;x-1]是右詣零McCoy環(huán),因此存在0≠c(x)∈R[x;x-1],使得f(y)c(x)∈nil(R[x;x-1])[y].由于c(x)∈R[x;x-1],因此存在正整數(shù)k,使得c(x)xk=c′(x)∈R[x].容易驗證f(y)c′(x)∈nil(R[x])[y].所以R[x]是右詣零McCoy環(huán).

    [1] Nielsen P P.Semi-commutativity and the McCoy Condition [J].J Algebra,2006,298(1):134-141.

    [2] YANG Shi-zhou,SONG Xue-mei,LIU Zhong-kui.Power-Serieswise McCoy Rings [J].Algebra Colloq,2011,18(2):301-310.

    [3] ZHAO Liang,ZHU Xiao-sheng,GU Qin-qin.Nilpotent Elements and McCoy Rings [J].Studia Sci Math Hungar,2012,49(3):326-337.

    [4] Camillo V,Nielsen P P.McCoy Rings and Zero Divisors [J].J Pure Appl Algebra,2008,212(3):599-615.

    [5] ZHAO Ren-yu,LIU Zhong-kui.Extensions of McCoy Rings [J].Algebra Colloq,2009,16(3):495-502.

    [6] Alhevaz A,Moussavi A,Habibi M.On Rings Having McCoy-Like Conditions [J].Comm Algebra,2012,40(4):1195-1221.

    [7] Jeon Y C,Kim H K,Kim N K,et al.On a Generalization of the McCoy Condition [J].J Korean Math Soc,2010,47(6):1269-1282.

    [8] Antoine R.Nilpotent Elements and Armendariz Rings [J].J Algebra,2008,319(8):3128-3140.

    [9] Hizem S.A Note on Nil Power Serieswise Armendariz Rings [J].Rend Circ Mat Palermo,2010,59(1):87-99.

    猜你喜歡
    冪級數(shù)正整數(shù)乘法
    算乘法
    我們一起來學(xué)習(xí)“乘法的初步認識”
    《整式的乘法與因式分解》鞏固練習(xí)
    被k(2≤k≤16)整除的正整數(shù)的特征
    把加法變成乘法
    冪級數(shù)的求和方法總結(jié)
    矩陣環(huán)的冪級數(shù)弱McCoy子環(huán)
    周期數(shù)列中的常見結(jié)論及應(yīng)用*
    方程xy=yx+1的全部正整數(shù)解
    冪級數(shù)J-Armendariz環(huán)*
    日日干狠狠操夜夜爽| 搡老岳熟女国产| 精品久久久精品久久久| 法律面前人人平等表现在哪些方面| 美女高潮喷水抽搐中文字幕| 久久久久久免费高清国产稀缺| 看免费av毛片| 中出人妻视频一区二区| 亚洲国产精品成人综合色| 日本欧美视频一区| 亚洲一区中文字幕在线| 成人18禁在线播放| 国产欧美日韩一区二区精品| АⅤ资源中文在线天堂| 午夜免费成人在线视频| 欧美精品啪啪一区二区三区| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看| 国产精品久久视频播放| 亚洲av成人av| ponron亚洲| 午夜成年电影在线免费观看| a在线观看视频网站| 欧美日本中文国产一区发布| 久久久久亚洲av毛片大全| 久热爱精品视频在线9| 欧美久久黑人一区二区| 日韩有码中文字幕| 亚洲欧美一区二区三区黑人| 欧美激情 高清一区二区三区| ponron亚洲| 亚洲专区国产一区二区| 黑人操中国人逼视频| 国产在线精品亚洲第一网站| 亚洲av电影不卡..在线观看| 91国产中文字幕| 日韩av在线大香蕉| 欧美激情极品国产一区二区三区| 亚洲欧美日韩无卡精品| 999久久久国产精品视频| 美女国产高潮福利片在线看| 亚洲中文日韩欧美视频| 国内精品久久久久精免费| 成年女人毛片免费观看观看9| 精品欧美国产一区二区三| a级毛片在线看网站| 亚洲熟妇熟女久久| 99re在线观看精品视频| 老熟妇仑乱视频hdxx| 欧美 亚洲 国产 日韩一| 国产激情欧美一区二区| 成人三级做爰电影| 搡老妇女老女人老熟妇| 天天添夜夜摸| videosex国产| 国产精品一区二区三区四区久久 | 免费看十八禁软件| 久久久精品欧美日韩精品| 久久精品影院6| 巨乳人妻的诱惑在线观看| 老司机靠b影院| 国产亚洲av高清不卡| 成年版毛片免费区| 超碰成人久久| 色综合婷婷激情| 丝袜美足系列| 亚洲情色 制服丝袜| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| 欧美一级毛片孕妇| 热99re8久久精品国产| 国产国语露脸激情在线看| 99香蕉大伊视频| 18美女黄网站色大片免费观看| 精品免费久久久久久久清纯| 中文字幕另类日韩欧美亚洲嫩草| 99国产精品免费福利视频| 欧美激情 高清一区二区三区| 亚洲成人国产一区在线观看| 国产精品久久久人人做人人爽| 日韩 欧美 亚洲 中文字幕| 久久久国产欧美日韩av| 好男人电影高清在线观看| 999精品在线视频| 精品国产亚洲在线| 亚洲专区国产一区二区| 一级a爱视频在线免费观看| 久久久久久久久中文| 91精品国产国语对白视频| 精品国产国语对白av| 亚洲中文日韩欧美视频| 日韩大尺度精品在线看网址 | 神马国产精品三级电影在线观看 | 后天国语完整版免费观看| 人成视频在线观看免费观看| 少妇裸体淫交视频免费看高清 | 可以在线观看的亚洲视频| 午夜免费激情av| 国产成人影院久久av| cao死你这个sao货| 久久人妻熟女aⅴ| 99国产精品一区二区蜜桃av| 亚洲精品久久国产高清桃花| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕| 久久精品成人免费网站| 狠狠狠狠99中文字幕| 制服丝袜大香蕉在线| 久久久久久大精品| 91成年电影在线观看| 美女高潮到喷水免费观看| 久久香蕉国产精品| 亚洲av成人av| 老汉色av国产亚洲站长工具| 老汉色av国产亚洲站长工具| 99国产精品免费福利视频| 久久婷婷人人爽人人干人人爱 | 桃红色精品国产亚洲av| 午夜免费激情av| 亚洲成av人片免费观看| 久9热在线精品视频| 久久香蕉激情| 禁无遮挡网站| 欧美乱妇无乱码| 在线观看午夜福利视频| av超薄肉色丝袜交足视频| 夜夜爽天天搞| 免费搜索国产男女视频| 久久久久久久久久久久大奶| 精品免费久久久久久久清纯| 亚洲av第一区精品v没综合| 日本免费a在线| 亚洲av熟女| 日本 欧美在线| 亚洲人成电影观看| 午夜精品在线福利| 女警被强在线播放| 人人妻人人澡人人看| 国产精品美女特级片免费视频播放器 | 91九色精品人成在线观看| 中文字幕av电影在线播放| 亚洲在线自拍视频| 久久国产乱子伦精品免费另类| 欧美+亚洲+日韩+国产| 国产成年人精品一区二区| 色综合亚洲欧美另类图片| 婷婷六月久久综合丁香| 日本 av在线| 国产一区二区三区综合在线观看| 岛国视频午夜一区免费看| 久久精品影院6| 国产av精品麻豆| av网站免费在线观看视频| 久久精品成人免费网站| 亚洲精品久久国产高清桃花| 一本久久中文字幕| a在线观看视频网站| 欧美成狂野欧美在线观看| 男人操女人黄网站| 99久久国产精品久久久| 国产精品亚洲av一区麻豆| 欧美黄色淫秽网站| 精品久久蜜臀av无| 美女 人体艺术 gogo| 久久久国产成人免费| 欧美色欧美亚洲另类二区 | 在线观看免费视频日本深夜| 国产精品一区二区精品视频观看| 国产视频一区二区在线看| 国产精品98久久久久久宅男小说| 少妇 在线观看| 欧美成人午夜精品| 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| 午夜免费成人在线视频| 啦啦啦免费观看视频1| 亚洲国产看品久久| 亚洲男人天堂网一区| 长腿黑丝高跟| 日本免费a在线| 制服诱惑二区| www国产在线视频色| 午夜成年电影在线免费观看| 免费一级毛片在线播放高清视频 | 久久人妻福利社区极品人妻图片| 久久亚洲真实| 99riav亚洲国产免费| 在线观看免费午夜福利视频| av片东京热男人的天堂| 色尼玛亚洲综合影院| 可以在线观看毛片的网站| 美女国产高潮福利片在线看| 亚洲专区中文字幕在线| 97人妻精品一区二区三区麻豆 | 免费无遮挡裸体视频| 999久久久国产精品视频| 国产真人三级小视频在线观看| 午夜福利,免费看| 国产av精品麻豆| 日韩大码丰满熟妇| 国产成人一区二区三区免费视频网站| 91麻豆av在线| 免费观看精品视频网站| 在线十欧美十亚洲十日本专区| 精品国产亚洲在线| 亚洲第一av免费看| 啦啦啦 在线观看视频| 18禁美女被吸乳视频| 国产av又大| 亚洲avbb在线观看| 精品国产乱子伦一区二区三区| 91九色精品人成在线观看| 久久国产精品影院| 此物有八面人人有两片| 欧美午夜高清在线| 久久人妻福利社区极品人妻图片| 国产精品久久久久久人妻精品电影| 99香蕉大伊视频| √禁漫天堂资源中文www| 热re99久久国产66热| 国产精品一区二区精品视频观看| 日韩精品青青久久久久久| 久久精品国产亚洲av香蕉五月| 视频区欧美日本亚洲| 日韩大码丰满熟妇| 欧美丝袜亚洲另类 | 国产一区二区三区在线臀色熟女| 丝袜人妻中文字幕| 亚洲成国产人片在线观看| 人人澡人人妻人| 亚洲va日本ⅴa欧美va伊人久久| 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 啦啦啦免费观看视频1| 久久香蕉国产精品| 日韩高清综合在线| 午夜福利成人在线免费观看| 人人澡人人妻人| 成人国产综合亚洲| av天堂在线播放| 国产成年人精品一区二区| 搡老妇女老女人老熟妇| 黄色片一级片一级黄色片| 午夜久久久久精精品| 国产免费男女视频| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 国产精品香港三级国产av潘金莲| 国产一区二区三区综合在线观看| 亚洲国产欧美一区二区综合| 韩国精品一区二区三区| 黄色女人牲交| 99在线人妻在线中文字幕| 大型av网站在线播放| 黄色片一级片一级黄色片| 国产日韩一区二区三区精品不卡| 一本大道久久a久久精品| 亚洲一区二区三区色噜噜| 亚洲片人在线观看| 国产精品自产拍在线观看55亚洲| 香蕉国产在线看| av片东京热男人的天堂| 非洲黑人性xxxx精品又粗又长| 久久中文字幕一级| 欧美av亚洲av综合av国产av| 激情在线观看视频在线高清| 欧美色视频一区免费| 欧美日本亚洲视频在线播放| 日韩成人在线观看一区二区三区| 男人舔女人下体高潮全视频| 一个人免费在线观看的高清视频| www.www免费av| 亚洲第一欧美日韩一区二区三区| 国产伦一二天堂av在线观看| 不卡一级毛片| av欧美777| 亚洲狠狠婷婷综合久久图片| 波多野结衣一区麻豆| 成熟少妇高潮喷水视频| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看 | 一夜夜www| 真人一进一出gif抽搐免费| 一卡2卡三卡四卡精品乱码亚洲| netflix在线观看网站| 亚洲成人免费电影在线观看| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 亚洲精品国产精品久久久不卡| 国产伦人伦偷精品视频| 操出白浆在线播放| 国产激情久久老熟女| 精品久久久精品久久久| 精品久久久久久,| 亚洲精品美女久久av网站| 母亲3免费完整高清在线观看| 三级毛片av免费| 天堂影院成人在线观看| 亚洲最大成人中文| 婷婷精品国产亚洲av在线| 亚洲无线在线观看| 后天国语完整版免费观看| 日本三级黄在线观看| 成人永久免费在线观看视频| 纯流量卡能插随身wifi吗| 亚洲视频免费观看视频| 久久久久久久精品吃奶| 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 免费在线观看日本一区| 精品不卡国产一区二区三区| 国产xxxxx性猛交| 久久久精品欧美日韩精品| 久99久视频精品免费| 国产精品 欧美亚洲| 亚洲最大成人中文| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 香蕉丝袜av| 国产极品粉嫩免费观看在线| 国内精品久久久久精免费| 欧美日韩黄片免| 国产私拍福利视频在线观看| 久久性视频一级片| 久久伊人香网站| 欧美乱色亚洲激情| 午夜影院日韩av| 国产精品自产拍在线观看55亚洲| 热99re8久久精品国产| 久久国产亚洲av麻豆专区| 久久久久久免费高清国产稀缺| 99热只有精品国产| 99riav亚洲国产免费| 亚洲avbb在线观看| 国产精品乱码一区二三区的特点 | 午夜精品久久久久久毛片777| 久久国产精品人妻蜜桃| 激情在线观看视频在线高清| 色在线成人网| 黑丝袜美女国产一区| 好男人在线观看高清免费视频 | 色综合欧美亚洲国产小说| 看黄色毛片网站| 少妇粗大呻吟视频| 国产一区二区三区综合在线观看| 国产欧美日韩一区二区精品| 91老司机精品| 久久国产精品影院| 美女免费视频网站| 国产精品精品国产色婷婷| 久久香蕉激情| 亚洲色图综合在线观看| 国产一区二区三区视频了| 美女高潮喷水抽搐中文字幕| 在线观看免费日韩欧美大片| 久久人人爽av亚洲精品天堂| 亚洲精品在线美女| 亚洲av美国av| 麻豆国产av国片精品| 久久青草综合色| 欧美亚洲日本最大视频资源| 国产精品九九99| 国产精品美女特级片免费视频播放器 | 亚洲国产欧美一区二区综合| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看| 亚洲专区字幕在线| 久久国产精品男人的天堂亚洲| 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区 | 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 亚洲色图av天堂| 琪琪午夜伦伦电影理论片6080| 一卡2卡三卡四卡精品乱码亚洲| 国产精品综合久久久久久久免费 | av天堂久久9| 好男人电影高清在线观看| 色精品久久人妻99蜜桃| 丝袜美足系列| 美女高潮喷水抽搐中文字幕| 可以免费在线观看a视频的电影网站| 不卡一级毛片| 一个人观看的视频www高清免费观看 | 夜夜夜夜夜久久久久| 国产亚洲av高清不卡| 黄色视频不卡| 日韩大尺度精品在线看网址 | 好看av亚洲va欧美ⅴa在| 黄色视频,在线免费观看| 韩国av一区二区三区四区| av在线天堂中文字幕| 国产伦一二天堂av在线观看| 高清黄色对白视频在线免费看| 久久精品国产综合久久久| 99国产综合亚洲精品| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| 叶爱在线成人免费视频播放| 女性被躁到高潮视频| 日韩av在线大香蕉| 国产精品亚洲一级av第二区| 男人操女人黄网站| 日韩欧美国产一区二区入口| 性欧美人与动物交配| 亚洲国产精品999在线| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91| 男人舔女人下体高潮全视频| 亚洲天堂国产精品一区在线| 国产三级黄色录像| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看 | 99久久综合精品五月天人人| 精品人妻在线不人妻| 国产高清videossex| 久久精品国产清高在天天线| 50天的宝宝边吃奶边哭怎么回事| 亚洲中文av在线| 99国产精品99久久久久| 丝袜美腿诱惑在线| 激情在线观看视频在线高清| 十八禁人妻一区二区| 亚洲精品国产区一区二| 日本一区二区免费在线视频| 日韩成人在线观看一区二区三区| www.精华液| 91麻豆精品激情在线观看国产| 久久人人爽av亚洲精品天堂| 国产精品日韩av在线免费观看 | 国产精品 国内视频| 国产亚洲av高清不卡| 在线观看免费日韩欧美大片| 日韩中文字幕欧美一区二区| 精品熟女少妇八av免费久了| 一级黄色大片毛片| 欧美成狂野欧美在线观看| 国产欧美日韩一区二区三区在线| 国产97色在线日韩免费| 亚洲精品久久成人aⅴ小说| 日日爽夜夜爽网站| 人人妻,人人澡人人爽秒播| 激情在线观看视频在线高清| 夜夜躁狠狠躁天天躁| 国产私拍福利视频在线观看| 欧美中文综合在线视频| 国产三级在线视频| 国产国语露脸激情在线看| 国产精品综合久久久久久久免费 | 午夜免费鲁丝| 国产精品九九99| 脱女人内裤的视频| 99国产精品免费福利视频| 可以在线观看毛片的网站| 亚洲精品粉嫩美女一区| 国产精品一区二区免费欧美| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频| 91大片在线观看| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 老司机午夜福利在线观看视频| 亚洲精品一区av在线观看| 国产成+人综合+亚洲专区| 精品国产乱码久久久久久男人| 亚洲一区二区三区不卡视频| av视频在线观看入口| 老司机在亚洲福利影院| 一边摸一边抽搐一进一小说| 黄网站色视频无遮挡免费观看| 久久性视频一级片| 91字幕亚洲| 国产97色在线日韩免费| 国产xxxxx性猛交| 美女大奶头视频| 成熟少妇高潮喷水视频| 久久天堂一区二区三区四区| 脱女人内裤的视频| 免费观看人在逋| 国产熟女xx| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| 曰老女人黄片| 国产亚洲av嫩草精品影院| 女人被躁到高潮嗷嗷叫费观| 夜夜夜夜夜久久久久| 亚洲国产看品久久| 国产日韩一区二区三区精品不卡| 国产精品九九99| 搞女人的毛片| 男人的好看免费观看在线视频 | 九色亚洲精品在线播放| 国产色视频综合| 亚洲专区中文字幕在线| 狂野欧美激情性xxxx| 日韩欧美一区视频在线观看| 我的亚洲天堂| 黄色视频,在线免费观看| 757午夜福利合集在线观看| 麻豆av在线久日| 色哟哟哟哟哟哟| 精品无人区乱码1区二区| 搡老岳熟女国产| 高清在线国产一区| 亚洲精品国产精品久久久不卡| 好看av亚洲va欧美ⅴa在| 人成视频在线观看免费观看| 欧美亚洲日本最大视频资源| 两人在一起打扑克的视频| 男人舔女人下体高潮全视频| 黄片播放在线免费| 天天添夜夜摸| 欧美精品亚洲一区二区| 麻豆国产av国片精品| 亚洲少妇的诱惑av| 国产精品久久电影中文字幕| 久久久水蜜桃国产精品网| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| 色播亚洲综合网| 在线观看www视频免费| 波多野结衣一区麻豆| av中文乱码字幕在线| 精品久久久久久成人av| 少妇被粗大的猛进出69影院| 脱女人内裤的视频| 欧美成人性av电影在线观看| 亚洲电影在线观看av| 美女 人体艺术 gogo| 亚洲片人在线观看| 久久青草综合色| 免费观看人在逋| 亚洲中文字幕日韩| 亚洲人成伊人成综合网2020| 久久亚洲精品不卡| 亚洲色图综合在线观看| 亚洲欧美一区二区三区黑人| 亚洲电影在线观看av| 操美女的视频在线观看| 日韩欧美一区二区三区在线观看| 99精品在免费线老司机午夜| 一夜夜www| 亚洲中文字幕日韩| 十分钟在线观看高清视频www| 黄色女人牲交| 亚洲av片天天在线观看| a级毛片在线看网站| 女人被躁到高潮嗷嗷叫费观| 午夜福利成人在线免费观看| 亚洲精品美女久久久久99蜜臀| 国产亚洲精品一区二区www| 1024视频免费在线观看| 好男人电影高清在线观看| 一卡2卡三卡四卡精品乱码亚洲| 美女高潮喷水抽搐中文字幕| 搞女人的毛片| 欧美色视频一区免费| 亚洲自拍偷在线| 久久午夜综合久久蜜桃| 国内毛片毛片毛片毛片毛片| 亚洲人成网站在线播放欧美日韩| 美女 人体艺术 gogo| 少妇被粗大的猛进出69影院| netflix在线观看网站| 亚洲国产欧美一区二区综合| 老熟妇仑乱视频hdxx| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91| 欧美黑人欧美精品刺激| 亚洲最大成人中文| 波多野结衣一区麻豆| 日韩 欧美 亚洲 中文字幕| 中文字幕久久专区| 满18在线观看网站| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 十分钟在线观看高清视频www| 午夜福利,免费看| 亚洲色图综合在线观看| 99国产综合亚洲精品| 免费在线观看视频国产中文字幕亚洲| 亚洲五月婷婷丁香| 婷婷精品国产亚洲av在线| 在线av久久热| 在线观看一区二区三区| 50天的宝宝边吃奶边哭怎么回事| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| 老汉色∧v一级毛片| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 亚洲av日韩精品久久久久久密| 国语自产精品视频在线第100页| 欧美日韩福利视频一区二区| 在线观看免费视频网站a站| 久久 成人 亚洲| 夜夜爽天天搞| 日韩精品青青久久久久久| 国产精品永久免费网站| 免费高清在线观看日韩| 亚洲人成网站在线播放欧美日韩| 性欧美人与动物交配| 99国产精品免费福利视频| 亚洲一区中文字幕在线| 国产欧美日韩综合在线一区二区| 日韩欧美一区二区三区在线观看| 亚洲一区二区三区不卡视频| 一区在线观看完整版| 精品国产一区二区三区四区第35| 亚洲精品av麻豆狂野| 中国美女看黄片| 亚洲精品一区av在线观看| 淫妇啪啪啪对白视频| 亚洲精品中文字幕一二三四区| 999久久久国产精品视频| 伦理电影免费视频| 叶爱在线成人免费视频播放| 久久久久久免费高清国产稀缺| 大码成人一级视频| 国产黄a三级三级三级人| 国语自产精品视频在线第100页| 操美女的视频在线观看| 老汉色av国产亚洲站长工具| 老熟妇乱子伦视频在线观看| 国产成人av教育| 91麻豆精品激情在线观看国产| av电影中文网址| 精品欧美国产一区二区三| 男人舔女人下体高潮全视频| 9191精品国产免费久久| 91国产中文字幕| 国产一区在线观看成人免费| 看片在线看免费视频| 一边摸一边抽搐一进一小说| 国产在线观看jvid| 99国产精品99久久久久| 高清毛片免费观看视频网站| 午夜福利欧美成人| 在线国产一区二区在线|