基于求冪級數(shù)和函數(shù)的方法研究

熊允發(fā)

(中國人民公安大學(xué)信息技術(shù)與網(wǎng)絡(luò)安全學(xué)院， 北京 100038)

0 引言

在微積分課程中，冪級數(shù)是重要的組成部分。它結(jié)構(gòu)最簡單、應(yīng)用最廣泛。在公安應(yīng)用統(tǒng)計(jì)中，可計(jì)算隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差、數(shù)字特征等，在金融領(lǐng)域，計(jì)算相應(yīng)的利率金額，在工程計(jì)算中，更可用于較復(fù)雜的函數(shù)化簡。

為了實(shí)現(xiàn)冪級數(shù)的應(yīng)用探索，必須要掌握冪級數(shù)和函數(shù)的求解問題。這是解決冪級數(shù)問題的核心，只有熟練掌握冪級數(shù)的和函數(shù)，才有可能進(jìn)行反向的探索和拆分精簡。什么是冪級數(shù)和函數(shù)？它的收斂域?yàn)楹?？如何來求和函?shù)呢？正是本文探討的重點(diǎn)。首先從和函數(shù)的界定以及求和函數(shù)的各種方法入手。

1 冪級數(shù)和函數(shù)的概念界定

1.1 冪級數(shù)和函數(shù)的定義[1]

具有下列形式的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

稱為在點(diǎn)x0處的冪級數(shù)。

稱為在點(diǎn)0處的冪級數(shù)。

若對冪級數(shù)中的每一個(gè)x，都有a0+a1x+a2x2+a3x3+…=s(x)，則稱s(x)為冪級數(shù)的和函數(shù)。

簡言之，冪級數(shù)的和函數(shù)即是無窮個(gè)冪函數(shù)之和。因此使得冪級數(shù)有和函數(shù)的自變量x的取值范圍，稱之為冪級數(shù)的收斂域或收斂區(qū)間。而收斂區(qū)間的一半簡稱為收斂半徑R。

1.2 冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)[2]

由1.1可知，我們可以把冪級數(shù)的部分和記為

sn(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn

且部分和sn(x)的極限就是和函數(shù)。即

2 求冪級數(shù)和函數(shù)的方法探究

2.1 定義法[3]

解：當(dāng)|x|<1時(shí)

2.2 逐項(xiàng)求導(dǎo)法

若冪級數(shù)通項(xiàng)的系數(shù)是自然數(shù)的倒數(shù)或相鄰的自然數(shù)乘積的倒數(shù)，即n在分母上時(shí)，可考慮用“先求導(dǎo)，再積分”的做法。

解：由題意，易知冪級數(shù)的收斂區(qū)間為[-1,1]

當(dāng)x≠0時(shí) 不妨設(shè)

先上式兩邊求導(dǎo)得：

再求導(dǎo)得：

這樣經(jīng)過兩次求導(dǎo)得出了一個(gè)系數(shù)不含n的冪級數(shù)，利用無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式就能得出

上式兩邊積分得：

再積分得：

于是就得到當(dāng)x≠0時(shí)的和函數(shù)為

綜上所述

2.3 逐項(xiàng)積分法[4]

若冪級數(shù)通項(xiàng)的系數(shù)是自然數(shù)或相鄰的自然數(shù)相乘的形式，即n在分子上時(shí)，一般可考慮用“先積分，再求導(dǎo)”的做法。

解：由題意，易知冪級數(shù)的收斂域?yàn)?-1,+1)。

設(shè)

先上式兩邊積分得：

再積分得：

再積分得：

這樣經(jīng)過三次積分后就得出了一個(gè)通項(xiàng)不含n的冪級數(shù)了，于是我們利用無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式求出

對上式第一次求導(dǎo)得：

第二次求導(dǎo)得：

第三次求導(dǎo)得：

從而可得所求和函數(shù)

2.4 其他方法

易知x=-1時(shí)級數(shù)收斂，x=1時(shí)級數(shù)發(fā)散，所以該冪級數(shù)的收斂域是[-1,1)

不難求出:

S(x)=0

故有

解：由題意，易見該冪級數(shù)的收斂域?yàn)?-∞,+∞)

(1)

對(1)的兩端兩次求導(dǎo)分別得

(2)

(3)

∴S(x)=(x+x2)exx∈(-∞,+∞)

3 總結(jié)