談數(shù)學(xué)知識與思想方法融合的教學(xué)設(shè)計

韓俊

摘 要：知識是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，思想方法是從數(shù)學(xué)知識中提煉出來的學(xué)科精髓，知識的產(chǎn)生過程蘊(yùn)涵著思想和方法的產(chǎn)生，而怎樣融合知識和思想方法的教學(xué)設(shè)計是新課程改革的一個重要課題，本文主要探討怎樣以問題解決作為載體，以數(shù)學(xué)元的知識為主線，以高水平問題為延續(xù)來設(shè)計高三復(fù)習(xí)課，逐步鍛煉學(xué)生解決問題時從操作層面往觀念層面的轉(zhuǎn)化能力.

關(guān)鍵詞：知識；思想方法；載體；主線；延續(xù)；數(shù)學(xué)元；提升思想

■知識與思想方法融合教學(xué)的思考

關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)已成為我國數(shù)學(xué)教育的重要特色，在新課程改革中，教師的教學(xué)目標(biāo)已經(jīng)不僅僅是知識，幾乎都包含了滲透某種思想或者熟練掌握某種方法的要求，雖然教師在知識的傳授過程中不乏數(shù)學(xué)思想或者方法，但是一些學(xué)生在遇到新問題時還是會不知所措，想不到合適的方法解決問題，這說明知識雖已掌握，但思想方法還不能被學(xué)生所內(nèi)化，自然也就談不上靈活運用.

1. 融合教學(xué)設(shè)計的載體

方法是數(shù)學(xué)的行為，思想是數(shù)學(xué)的靈魂，而問題是數(shù)學(xué)的心臟，即思想方法的教學(xué)離不開問題. 問題解決的過程不僅是一個認(rèn)知的過程，更是體驗思想方法產(chǎn)生過程的心理活動. 問題作為思想方法教學(xué)的載體在課堂中舉足輕重，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知順序和心理發(fā)展順序設(shè)計問題，在知識的傳授中融合思想發(fā)展線索以及方法產(chǎn)生線索，才能引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)探究和積極思考.

2. 融合教學(xué)設(shè)計的主線

教學(xué)主線是指圍繞教學(xué)重點目標(biāo)鋪設(shè)的、貫穿課堂教學(xué)首尾的主要發(fā)展脈絡(luò)，一些教師以“為學(xué)生好”為出發(fā)點，加大課堂容量，一節(jié)課包含了多種方法，但沒有突出重點，學(xué)生是囫圇吞棗，不能體會個中緣由，在遇到新問題時還是無從著手，思想方法的收獲更無從談起. 思想方法教學(xué)的主線可以是某一種方法解決多個問題，也可以是一個問題的多種方法，或者是針對某一個知識點的拓展提升，讓學(xué)生能體會到這節(jié)課都在圍繞著某個主題探究、體驗、總結(jié)，自然就能杜絕“高耗低效”的課堂模式.

3. 融合教學(xué)設(shè)計的延續(xù)

思想方法的形成過程是學(xué)生主動參與、積極思維的過程，沒有深層次的思維活動，是不可能形成數(shù)學(xué)思想方法的，要改變以往“一個知識（公式）→一個例題→多個練習(xí)”的“經(jīng)典”授課模式，往往教師精心設(shè)計的知識點的引入，讓學(xué)生思維的動力逐漸增加，但隨著例題的開始慢慢減小，到完成練習(xí)的時候思維動力已幾乎為零，所以教師應(yīng)該重視思想方法教學(xué)的延續(xù)，將教學(xué)目標(biāo)的問題設(shè)置到新的情境中，轉(zhuǎn)化為高水平問題，繼續(xù)激發(fā)學(xué)生的主動探索，實現(xiàn)知識的深層理解、思想方法建構(gòu)間的有效轉(zhuǎn)化.

■知識與思想方法融合教學(xué)的案例

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，很多思想方法如換元法、消元法等，學(xué)生已經(jīng)非常熟悉，但卻不能靈活運用，經(jīng)常出現(xiàn)問題自己不會解決，教師一提醒就恍然大悟的情景，針對這一情況，筆者在學(xué)校公開課活動中開設(shè)了《關(guān)于“數(shù)學(xué)元”的思想方法復(fù)習(xí)課》以作探討.

1. 研究“數(shù)學(xué)元”的意義

“數(shù)學(xué)元”是構(gòu)成數(shù)學(xué)問題的一個基礎(chǔ)元素，它可以是函數(shù)中的自變量x，也可以是數(shù)列中的某一項a■，也可以是一個多元不等關(guān)系式中的某個變量，很多重要的方法都是建立在對“數(shù)學(xué)元”合理把握的基礎(chǔ)之上，只有重視微觀的“數(shù)學(xué)元”的研究，才能透過知識的表層，深入挖掘隱含在知識中的思想方法，引導(dǎo)學(xué)生形成自己的思想方法體系，為應(yīng)對新問題做好準(zhǔn)備.

2. 教學(xué)片段

設(shè)計意圖：通過一個易錯題，感受“數(shù)學(xué)元”的重要性.？搖

問題1 數(shù)列{an}中，滿足a1+2a2+……+nan=2n， 求an的通項公式.

學(xué)生1：寫出前n-1項的和，a1+2a2+……+（n-1）an-1=2n-1（※），

兩式相減得an=■（原式中每一個項都看成一個“數(shù)學(xué)元”，數(shù)列的和中就有n個元，（※）式中就變成n-1個元，再相減，實現(xiàn)消元，但是結(jié)果對嗎）

學(xué)生2：不對，我用n=1代入，求出了a1=2，顯然有矛盾. （數(shù)列通項的特點，可以通過具體值檢驗）

學(xué)生3：an-1作為數(shù)列中的項，應(yīng)該注意n-1≥1，所以n≥2，即an=■，n≥2，an=2，n=1.

學(xué)生4：我寫的是數(shù)列前n+1項的和，再相減得到an+1=■，①

故an=■.②

學(xué)生：此時將①中n+1看成整體數(shù)學(xué)元，替換為n，所以②中n的取值范圍應(yīng)該是和①中n+1的取值范圍一致，所以還是有n≥2，n=1需單獨討論（通過一個易錯題的討論體驗消元，在用整體換元時要注意新元的取值范圍，數(shù)列中的很多問題都可以借助函數(shù)中與“數(shù)學(xué)元”相關(guān)的方法去解決）.

設(shè)計意圖：通過一個問題串，感受“數(shù)學(xué)元”的可變性.

問題2 （1）已知不等式ax+1>0對于任意的x∈[-1，2]恒成立，求a的取值范圍.

學(xué)生5：把x看成“數(shù)學(xué)元”，即為x的一次函數(shù)，只需保證端點-1，2代入大于零即可.

（2）已知不等式ax+1>0對于任意的a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范圍.

學(xué)生6：把a(bǔ)看成主“數(shù)學(xué)元”，即為a的一次函數(shù)，結(jié)果與上題相同.

（3）已知sinθ·x2+2x-1>0，θ∈0，■，求x的取值范圍. （有學(xué)生開始迷茫）

學(xué)生7：令sinθ=t，則t∈[0，1]，再把t看成是主“數(shù)學(xué)元”，即為t的一次函數(shù)，可求解.

（4）已知三次函數(shù)f（x）=■x3+■x2+cx+d（a

學(xué)生8：f ′（x）=ax2+bx+c≥0對于x∈R成立，有a>0且b2-4ac≥0，即S≥■，①

（提醒：此時有三個“數(shù)學(xué)元”，該怎么辦呢）

學(xué)生：要消元，除以a或者b. （怎么消元最簡捷呢）

學(xué)生9：將①式中右邊的分子和分母都除以a，得到S≥■，只要研究關(guān)于“數(shù)學(xué)元”■的函數(shù)即可.

令■-1=t，t∈（0，+∞），可解. （引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)）

學(xué)生：“數(shù)學(xué)元”不一定是最熟悉的變量x，而是以最適合解決問題的變量為“主數(shù)學(xué)元”，可以通過變化得到一個新的“數(shù)學(xué)元”來解決問題. 例如第四問經(jīng)歷了從“a，b，c三個元”→“a，b兩個元”→“■一個元”→“■-1新元”的過程. （利用問題串的設(shè)計，讓學(xué)生思維動力逐漸上升，從多元變?yōu)橐辉?，利用“?shù)學(xué)元”可變性解決問題）

設(shè)計意圖：通過一個高考題，感受“數(shù)學(xué)元”的特殊性.

問題3 （2011年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）設(shè)函數(shù)f（x）=a2lnx-x2+ax，a>0.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）求所有的實數(shù)a，使e-1≤f（x）≤e2對x∈[1，e]恒成立.

（1）利用導(dǎo)數(shù)知識，可得函數(shù)的遞增區(qū)間是（0，a），遞減區(qū)間是（a，+∞） ；

（2）根據(jù)單調(diào)性，求f（x）在x∈[1，e]內(nèi)的最值，而f ′（x）=0，得x=a，所以f（x）的單調(diào)性與a的取值有關(guān)，需要分三種情況討論：①a≤1；②1

學(xué)生12：首先x取端點處的兩個特殊元就應(yīng)該符合要求，f（1）≥e-1，得到a≥e，只要討論第三種情況即可.

■知識與思想方法融合教學(xué)的反思

1. 將知識與思想方法融為一體

作為高三第一輪的復(fù)習(xí)課，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計思路是以問題串為載體，“數(shù)學(xué)元”的核心知識為主線，以高考試題的解決為延續(xù)，教學(xué)過程中學(xué)生用已有的知識和方法在教師的引導(dǎo)下去探究新的情境，并在探究過程中目標(biāo)知識和方法得到系統(tǒng)的消化和增強(qiáng). 另一方面，知識和方法的增長不是課堂的唯一目的，通過本節(jié)課的復(fù)習(xí)，要讓學(xué)生在頭腦中形成分析、解決此類問題的一般思路和方法，轉(zhuǎn)化為自己有意義的經(jīng)驗，從而生成解決新問題的能力.

2. 控制問題的難度與開放度

本節(jié)課的三個重要的環(huán)節(jié)都是以問題為中心組織教學(xué)，教師通過預(yù)先創(chuàng)設(shè)的問題情境，引發(fā)學(xué)生思考.

問題1是教師有意識地讓學(xué)生從較小難度開始，目的是“喚醒”學(xué)生在函數(shù)中比較熟悉的消元法和整體換元法；問題2是逐漸加大難度和開放度的問題串，圍繞著“數(shù)學(xué)元”產(chǎn)生的由簡到難的問題，而且第四小問轉(zhuǎn)變“數(shù)學(xué)元”的途徑不是一種，可讓學(xué)生在嘗試中自己選擇，具有一定的開放性，目的是讓學(xué)生體會到問題解決是一個“熟悉——陌生——熟悉”的過程；問題3是一個高水平問題，僅僅研究兩個數(shù)學(xué)元x和a，利用他們的關(guān)系進(jìn)行討論并不能解決問題，利用這個“故障點”引發(fā)學(xué)生反復(fù)探究和積極思考，引導(dǎo)學(xué)生利用特殊元解決問題，調(diào)動了學(xué)生解決問題的主觀能動性，激發(fā)了學(xué)生思維的潛能，一節(jié)課才能讓學(xué)生印象深刻，回味無窮.

3. 重視數(shù)學(xué)思想的提升

？搖教育部最新頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）中已將“基本數(shù)學(xué)思想”列入了“四基”，在數(shù)學(xué)方法的形成過程中要重視數(shù)學(xué)思想的提升，而不能只是讓學(xué)生掌握方法，或是領(lǐng)悟方法，筆者在授課時總結(jié)，三個問題為什么都要去研究“數(shù)學(xué)元”呢？消元法、換元法、特殊元等方法都只是解決問題的“路徑”，而隱匿其中的“導(dǎo)航”是化歸的思想，從多元到一元，從復(fù)雜到簡單，從陌生到熟悉. 課堂教學(xué)目標(biāo)是要讓學(xué)生在掌握知識、體驗方法的過程中悟得思想，教師在適當(dāng)時間應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)思想，提升思想，這樣的思想方法課堂對學(xué)生的影響才會更有效，更長久.