論復(fù)變函數(shù)與積分變換在電學(xué)中的作用

【摘要】復(fù)變函數(shù)與積分變換是電學(xué)專業(yè)理論分析的基礎(chǔ)工具，在電學(xué)專業(yè)中對于系統(tǒng)狀態(tài)的分析、頻率的分析、場的分析以及圖像信號(hào)處理等起到了舉足輕重的作用.本文通過復(fù)變函數(shù)與積分變換在系統(tǒng)狀態(tài)分析、場的分析以及圖像信號(hào)處理三方面來論證復(fù)變函數(shù)與積分變換在電學(xué)計(jì)算和算法的顯耀作用，并指出隨著科技進(jìn)步，復(fù)變函數(shù)與積分變換在電學(xué)中所起的作用將越來越重要.

【關(guān)鍵詞】復(fù)變函數(shù)；積分變換；系統(tǒng)斂散性；復(fù)勢；數(shù)字圖像處理

1.復(fù)變函數(shù)與積分變換在系統(tǒng)分析和信號(hào)分析中的作用

在電學(xué)專業(yè)中，相位整個(gè)概念隨處可見，而相位經(jīng)常是多值的，這就應(yīng)用到了復(fù)變函數(shù)論中的單葉區(qū)域和多葉區(qū)域的各方面內(nèi)容，尤其是在去相位模糊的時(shí)候，復(fù)變函數(shù)論中單葉和多葉之間的映射起到了關(guān)鍵作用.

在電學(xué)專業(yè)中，系統(tǒng)狀態(tài)例如系統(tǒng)的各種響應(yīng)特性，以及以各種響應(yīng)特性分析得到的系統(tǒng)的斂散性等是整個(gè)專業(yè)中最為根本的問題.尤其是在信號(hào)與系統(tǒng)和數(shù)字信號(hào)處理這兩門最為重要的專業(yè)課程中，復(fù)變函數(shù)和積分變換尤為重要.在系統(tǒng)分析和信號(hào)分析中主要應(yīng)用到的內(nèi)容大致有解析函數(shù)的冪級數(shù)、泰勒級數(shù)和洛朗級數(shù).在電學(xué)系統(tǒng)分析中，最為常用的是泰勒級數(shù)和洛朗級數(shù)，泰勒級數(shù)是典型的單邊級數(shù)，而洛朗級數(shù)是典型的雙邊級數(shù).對于級數(shù)的域的分析和各項(xiàng)系數(shù)的分析是分析系統(tǒng)斂散性的關(guān)鍵，在現(xiàn)階段也是最基本的工具.因此對于一個(gè)解析函數(shù)的冪級數(shù)展開、泰勒級數(shù)的展開還有洛朗級數(shù)的展開以及各項(xiàng)系數(shù)的求解在電學(xué)中都是極為重要的.

冪級數(shù)：

∑∞n=0cn（z-a）n=c0+c1（z-a）+c2（z-a）2+……

其中，c0，c1，c2……為復(fù)常數(shù).若此冪級數(shù)在某點(diǎn)z1（z1不為0）收斂，則它必在圓K：|z-a|<|z1-a|（即以a為圓心，通過圓周z1的圓）內(nèi)絕對收斂且內(nèi)閉一致收斂.即如果系統(tǒng)的零點(diǎn)在以a為圓心、通過圓周z1的圓外，則系統(tǒng)是收斂的.

泰勒級數(shù)及泰勒定理：

設(shè)f（z）在區(qū)域D內(nèi)解析，a∈D，只要圓K：|z-a|

f（z）=∑∞n=0cn（z-a）n

其中系數(shù)：cn=12πi∫Γρf（ζ）（ζ-a）n+1dζ=fn（a）n！其中（Γρ：|ζ-a|=ρ，0<ρ

洛朗級數(shù)：

f（z）=c0+c1（z-a）+c2（z-a）n+…+c-1z-a+c-2（z-a）2+…

其中：r<|z-a|0）

cn=12πi∫Γρf（ζ）（ζ-a）n+1dζ

由上式可見，洛朗級數(shù)為雙邊級數(shù)，并且f（z）在以a為圓心，從r到R的圓環(huán)內(nèi)處解析.泰勒級數(shù)為洛朗級數(shù)的特殊形式，即在r=0條件下的洛朗級數(shù).而使z=a為f（z）的0點(diǎn)或者極點(diǎn).

分析零點(diǎn)和極點(diǎn)對于數(shù)字信號(hào)處理中FIR和IIR濾波器的設(shè)計(jì)都有著很重要的意義，并且零點(diǎn)和極點(diǎn)的對消法是設(shè)計(jì)只具有相移特性的全通濾波器的唯一方法.因此對于一個(gè)系統(tǒng)響應(yīng)的洛朗級數(shù)展開式以及系數(shù)求法在整個(gè)電學(xué)系統(tǒng)分析和信號(hào)分析中都起著舉足輕重的作用.

復(fù)變函數(shù)論中柯西定理，柯西積分公式等內(nèi)容，以及留數(shù)理論及其應(yīng)用對于簡化復(fù)雜的計(jì)算過程，對于分析系統(tǒng)穩(wěn)定性等方面都有著重要意義.積分變換中的傅里葉變換，拉普拉斯變換是電學(xué)中對于系統(tǒng)分析和信號(hào)分析的最基本工具，它們直接將時(shí)域和頻域聯(lián)系起來，是最有利的數(shù)學(xué)變換工具.

2.復(fù)變函數(shù)與積分變換在電磁場與電磁波中的作用

復(fù)變函數(shù)論中有復(fù)勢這一概念，而復(fù)勢對于分析電場的電勢、磁勢等都有重要意義.例如電場的場強(qiáng)：

E（x，y，z）=Exi^+Eyj^+Ezz^

E（x，y，z）中的三個(gè)坐標(biāo)分量分別為：Ex，Ey，Ez.在交變電場中，這三個(gè)量除了與時(shí)間t有關(guān)，每一項(xiàng)還與其他兩個(gè)坐標(biāo)分量上的電場有一定關(guān)系，因此，Ex，Ey，Ez不是不相關(guān)的，它們是存在一定關(guān)系的，E（x，y，z）是解析的，并且是調(diào)和函數(shù).因此，解析函數(shù)的性質(zhì)與調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)對于電磁場中的很多計(jì)算問題都有重要意義.

在電磁場中很重要的安培環(huán)路定理應(yīng)用的就是柯西積分公式，另外電磁場中的各種矢量計(jì)算也都離不開復(fù)變函數(shù)論整個(gè)有力的工具.

3.復(fù)變函數(shù)與積分變換在數(shù)字圖像處理中的作用

數(shù)字圖像處理是近年來電學(xué)專業(yè)中得到突飛猛進(jìn)的發(fā)展的一個(gè)學(xué)科，它的主要處理對象為二維信號(hào).

復(fù)變函數(shù)論中的共形映射部分是圖像檢測、圖像匹配等方面，現(xiàn)階段一些比較流行的算法的基礎(chǔ).例如圖像檢測中要找到一條直線，一條在直角坐標(biāo)系下的直線通過某種變換在極坐標(biāo)系下重合成了一個(gè)點(diǎn)，只要對符合這個(gè)點(diǎn)的參數(shù)點(diǎn)在直角坐標(biāo)系下進(jìn)行連接，必可以得到所要找的直線.

另外在圖像平滑時(shí)，被最廣泛的應(yīng)用的是復(fù)變函數(shù)論中調(diào)和函數(shù)的平均值定理.

在圖像中，圖像越清晰，圖像所包含的高頻分量越多，圖像越模糊，圖像所包含的低頻分量越多.因此，通過積分變換中的離散傅里葉變換可以去除不想要的高頻以使圖像變得模糊，或者可以去除不想要的低頻使圖像更加清晰.

在調(diào)和函數(shù)中，經(jīng)常運(yùn)用到的就是拉普拉斯算子，這個(gè)算子應(yīng)用的圖像處理中可以接近完美的提取圖像邊緣.例如采用圖像中的5點(diǎn)：

對X方向求圖像f（i，j）步長為1的兩個(gè)微分：

將上兩式組合，得到X方向的拉普拉斯算子：

對Y方向求圖像f（x，y）步長為1的兩個(gè)微分：

將上兩式組合，得到Y(jié)方向的拉普拉斯算子：

得到算子矩陣：

此矩陣即為圖像f（i，j）拉普拉斯算子梯度，其最后得到模為：

令最后的邊緣圖像為L（i，j）為：L（i，j）=|4.結(jié) 論

復(fù)變函數(shù)與積分變換是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要課程，但是其在電學(xué)中的應(yīng)用意義已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越數(shù)學(xué)理論范圍.在電學(xué)中的各個(gè)分支，無論是強(qiáng)電還是弱電，無論是系統(tǒng)分析還是信號(hào)處理，無論是基本理論研究還是電學(xué)新發(fā)展理論研究，復(fù)變函數(shù)與積分變換都起著基礎(chǔ)工具的作用.它在電學(xué)專業(yè)中的系統(tǒng)分析，信號(hào)分析，各種場的分析，以及圖像分析中，隨著研究的深入，將起到越來越重要的作用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論（第三版）[M].北京：高等教育出版社.

[2]丁玉美，高西全.數(shù)字信號(hào)處理（第二版）[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社.

[3]鄭君里.信號(hào)與系統(tǒng)（第二版）[M].北京：清華大學(xué)出版社.

[4]秦勤.對于多種體制雷達(dá)多普勒干擾的探討.現(xiàn)代電子技術(shù)，2010年9月.