“K”字形相似在不同載體下的廣泛應(yīng)用

戴小駒

【摘要】 從課本上的一道簡單的例題引申出這么多不同類型、不同載體的優(yōu)秀中考試題，實際上就是提醒我們，一定要重視課本例題的研究，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，不僅僅滿足對課本知識的掌握，要觸類旁通、舉一反三，充分挖掘基本圖形，探究題目本質(zhì)，以不變應(yīng)萬變，只有這樣才能體味數(shù)學(xué)的真諦，探求數(shù)學(xué)奧秘，建構(gòu)高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式.

【關(guān)鍵詞】 減負；高效；“K”字形相似；基本模塊；基本圖形

“減負”最近在全國掀起一股熱議，甚至從2013年8月22日起，教育部新擬定的《小學(xué)生減負十條規(guī)定》（征求意見稿）將在全社會公開征詢意見. 數(shù)學(xué)這門需要大量練習(xí)的學(xué)科也遺憾地成為眾矢之的，文匯報甚至撰文批評“被異化的數(shù)學(xué)正在訓(xùn)練大量肩上只有麻袋沒有腦袋的人”. 筆者作為從事中學(xué)數(shù)學(xué)一線教學(xué)十多年的教師，很是汗顏，也不禁反思起自己的教學(xué)來.

數(shù)學(xué)要想“減負”，特別是減輕學(xué)生回家作業(yè)的負擔(dān)，筆者認為唯有提高課堂的“高效”. 而以“問題串、低起點、快節(jié)奏、大容量、多層次”才是解決之道. 筆者以自己初三復(fù)習(xí)時帶領(lǐng)學(xué)生一起做過的一類源于課本又高于課本的“K”字形相似問題的研究談?wù)勛约旱恼J識與思考，供大家參考.

原題回放（蘇科版八年級（下）101頁）如圖1，若點E是線段AB上的一點，且∠CAE = ∠EBD = ∠CED = 90°，則△CAE∽△EBD.（當(dāng)CE = DE時，△CAE ≌ △EBD）（證明略）

我們把圖1稱為“K”字形相似問題中的基本模塊，相應(yīng)的解題方法稱為基本方法. 解決此類問題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)“三點一線（A，E，B），三角相等（∠A = ∠1 = ∠B）” 的基本圖形.

“K”字形相似的變形. 如圖2，把△EBD平移，使得點E移至點A處，此時CE和AD的交于點H，同時保證∠CHD = 90°.這里同樣可以利用基本方法證明出兩個三角形相似的結(jié)論.

圖3是圖2在動態(tài)的情況下的特殊情況，即當(dāng)點D作為動點，當(dāng)該點和點F重合后的情形.此時在正方形內(nèi)，△CAE和△EBD都變成了等腰直角三角形，如果點C和點E都作為動點的話，最后還會出現(xiàn)圖4這個特殊情況.

“K”字形相似的一般化. 如圖5，已知點A，E，B在同一直線上，且∠A = ∠1 = ∠B，則△CAE∽△EBD.證明方法與基本模塊相同.

實踐表明，認識和掌握基本圖形的特征和相關(guān)結(jié)論，可以使復(fù)雜的問題簡潔化、生疏的問題熟悉化；有助于學(xué)生思維的激活，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高分析問題、解決問題的能力.筆者結(jié)合近幾年中考試題中“K”字形相似在不同載體下的廣泛應(yīng)用，分類提煉如下，供大家參考.

一、以平行線為載體

案例1 如圖6，平面內(nèi)4條直線l1，l2，l3，l4是一組平行線，相鄰2條平行線的距離都是1個單位長度，正方形ABCD的4個頂點A，B，C，D都在這些平行線上，其中點A，C分別在直線l1，l4上，該正方形的面積是 平方單位.

分析與解 此題答案許多學(xué)生都誤填9，系因考慮問題不全面而導(dǎo)致錯誤.若能想到“K”字形相似問題中的基本模塊，把正方形ABCD斜過來放，問題便迎刃而解.

正確解法 如圖7，正方形邊長為3，顯然正方形ABCD的面積為9；如圖8，分別過B點、D點向l4作垂線段，垂足分別為M，N，運用基本模塊，易證△BMC ≌ △CND，∴ CN = BM = 1. ∵ DN = 2，∴ DC = . ∴正方形ABCD的面積為5.綜上，正方形面積為5或9.

點評 本題“K”字形相似基本模塊隱藏較深，學(xué)生需要一定的經(jīng)驗積累，方能水落石出. 該題緣于課本，卻又高于課本.

拓展 如圖9，正方形ABCD的四個頂點分別在四條平行線l1，l2，l3，l4上，這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為h1，h2，h3（h1 > 0，h2 > 0，h3 > 0）.

（1）求證：h1 = h3；

（2）設(shè)正方形ABCD的面積為S，求證：S = （h1 + h2）2 + h12；

（3）若h1 + h2 = 1，當(dāng)h1變化時，說明正方形ABCD的面積S隨h1的變化情況.

二、以三角形為載體

案例2 如圖10所示，直線y = -x + b與x軸相交于點A（4，0），與y軸相交于點B，將△AOB沿著y軸折疊，使點A落在x軸上，點A的對應(yīng)點為點C.

（1）求點C的坐標；（2）設(shè)點P為線段CA上的一個動點，點P與點A，C不重合，連接PB，以點P為端點作射線PM交AB于點M，使∠BPM = ∠BAC. ① 求證：△PBC ∽ △MPA；② 是否存在點P，使△PBM為直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

分析與解 （1）C（4，0）. （2）由△AOB沿y軸折疊，則∠BCO = ∠BAC. ∵∠BPM = ∠BAC，∴∠BCO = ∠BPM=∠BAC，則構(gòu)造了“K”字形相似的一般化模塊，易證△PBC∽△MPA.

（3）首先求得B的坐標，當(dāng)∠PBM = 90°時，則有△BPO∽△ABO，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等，即可求得PO的長，求得P的坐標；當(dāng)∠PMB = 90°時，則∠PMA = 90°時，BP⊥AC，則此時點P與點O重合，則P的坐標可以求得.

點評 本題是一次函數(shù)與相似三角形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用，正確利用“K”字形相似證明△PBC∽△MPA是關(guān)鍵.

三、以矩形為載體

案例3 已知：如圖12，矩形ABCD中，AD = 6，DC = 8，矩形EFGH的三個頂點E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH = 2，連接CF.

（1）如圖11，當(dāng)四邊形EFGH為正方形時，求AE的長和△FCG的面積；

（2）如圖12，設(shè)AE = x，△FCG的面積 = S1，求S1與x之間的函數(shù)關(guān)系式與S1的最大值；

（3）在（2）的條件下，如果矩形EFGH的頂點F始終在矩形ABCD內(nèi)部， 連接BF， 記△BEF的面積為S2，△BCF的面積為S3，試說明6S1 + 3S2 - 2S3是常數(shù).

分析與解 （1）過點F作FM⊥CD于M，利用“K”字形相似問題中的基本模塊證明△AEH ≌ △DHG ≌ △MGF，根據(jù)等三角形的對應(yīng)邊相等得出AE = DH = 4，DG = AH = FM = 2，∴ △FCG的面積 = × 6 × 2 = 6.（2）作FM⊥CD于M ，利用“K”字形相似問題中的基本模塊△AEH ∽ △DHG，∴ = ，即 = ，∴ DG = . ∴ CG = 8 - ，∵ FM = 2，∴ △FCG的面積 = S1 = 8 -

× 2 = 8 - .∵ 0 < x ≤ 8， ∴當(dāng)x = 8時，S1的最大值為7.

（3）類似上題可得S1 = 8 -

× 2 = 8 - ，S2 = （8 - x） × 4 = 16 - 2x，S3 = 8 - x -

× 6 = 24 - 3x - ，

∴ 6S1 + 3S2 - 2S3 = 68 -

+ 3（16 - 2x） - 224 - 3x -

= 48 - + 48 - 6x - 48 + 6x + = 48.

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，代數(shù)式的變形與計算能力，綜合性較強，難度適中.通過利用“K”字形相似證明三角形全等與相似得到邊之間的對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

四、以直角坐標系為載體

案例4 （1）如圖14，已知點A（-2，1），點B在直線y = -2x + 3上運動，若∠AOB = 90°，求此時點B的坐標；

（2）如圖14，過點A（-2，1）作x軸與y軸的平行線，交直線y = -2x + 3于點C、D，求點A關(guān)于直線CD的對稱點E的坐標.

分析與解 （1）①作AG⊥x軸于點G，BH⊥x軸于點H，∴△AGO∽△OHB. ∵ A（-2，1），∴ AG = 1，GO = 2. ∵點B在直線y = -2x + 3上. ∴設(shè)點B的坐標為（x，-2x + 3），∴ OH = x，BH = -2x + 3，B

，.

（2） 過點E作EN⊥AC的延長線于點N，過點D作DM⊥NE的延長線于點M. ∵A（-2，1），∴C點的縱坐標為1，D點的橫坐標為-2.∴ 1 = -2x + 3，y = -2 × （-2） + 3，∴ x = 1，y = 7. ∴ C（1，1），D（-2，7）. 設(shè)E（x，y），∴ DM = x + 2，ME = 7 - y，CN = x - 1，EN = y - 1，DE = AD = 6，CE = AC = 3，E

，.

點評 本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，軸對稱性質(zhì)的運用，方程組的運用，解答時靈活運用“K”字形相似三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵.

五、以拋物線和圓為載體

案例5 已知：函數(shù)y = -x2 + x + a的圖像的最高點在x軸上.

（1）求a；

（2）如圖17，設(shè)二次函數(shù)y = -x2 + x + a的圖像與y軸的交點為A，頂點為B，P為圖像上的一點，若以線段PB為直徑的圓與直線AB相切于點B，求P點的坐標；

（3）在（2）中，若圓與x軸另一交點C關(guān)于直線PB的對稱點為M，試探索點M是否在拋物線y = -x2 + x + a上？若在拋物線上，求出M點的坐標；若不在，請說明理由. 分析與解 （1）根據(jù)判別式得到關(guān)于a的方程，即可得到a的值； （2）由于PB是圓的直徑，且AB切圓于B，得PB⊥AB，由“K”字形相似可證得△PBC1∽△BAO，根據(jù)兩個相似三角形的對應(yīng)直角邊成比例，即可得到PC1，BC1的比例關(guān)系，可根據(jù)這個比例關(guān)系來設(shè)P點的坐標，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點的坐標； （3）連接CM，設(shè)CM與PB的交點為Q，由于C，M關(guān)于直線PB對稱，那么PB垂直平分CM，即CQ = QM；過M作MD⊥x軸于D，取CD的中點E，連接QE，則QE是Rt△CMD的中位線；在Rt△PCB中，CQ⊥OB，QE⊥BC，易證得∠BQE，∠QCE都和∠CPQ相等，因此它們的正切值都等于（在（2）題已經(jīng)求得）；由此可得到CE = 2QE = 4BE，（2）中已經(jīng)求出了CB的長，根據(jù)CE，BE的比例關(guān)系，即可求出BE，CE，QE的長，由此可得到Q點坐標，也就得到M點的坐標，然后將點M代入拋物線的解析式中進行判斷即可.

點評 此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及二次函數(shù)解析式的確定，圓周角定理，“K”字形相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形中位線定理，解直角三角形的應(yīng)用等重要知識.

六、以動點存在性問題為載體

案例6 如圖18，已知AB⊥BD，CD⊥BD.

（1）若AB = 9，CD = 4，BD = 10，請問在BD上是否存在P點，使以P，A，B三點為頂點的三角形與以P，C，D三點為頂點的三角形相似？若存在，求BP的長；若不存在，請說明理由；

（2）若AB = 9，CD = 4，BD = 12，請問在BD上存在多少個P點，使以P，A，B三點為頂點的三角形與以P，C，D三點為頂點的三角形相似？并求BP的長；

（3）若AB = 9，CD = 4，BD = 15，請問在BD上存在多少個P點，使以P，A，B三點為頂點的三角形與以P，C，D三點為頂點的三角形相似？并求BP的長；

（4）若AB = m，CD = n，BD = l ，請問在m、n、l 滿足什么關(guān)系時，存在以P，A，B三點為頂點的三角形與以P，C，D三點為頂點的三角形相似的一個P點？ 兩個P點？ 三個P點？

分析與解 （1）設(shè)BP = x，則DP = 10 - x. 如果是△ABP ∽ △CDP，則 = ，解得x = ；如果是△ABP ∽ △PDC，則 = ，得方程：x2 - 10x + 36 = 0，方程無解；所以BP = . （2）設(shè)BP = x，則DP = 12 - x. 如果是△ABP ∽ △CDP，則 = ，解得x = ；如果是△ABP ∽ △PDC，則 = ，得方程：x2 - 12 + 36 = 0，解得x = 6；所以BP = 6或.（3）設(shè)BP = x，則DP = 15 - x. 如果是△ABP ∽ △CDP，則 = ，解得x = ；如果是△ABP ∽ △PDC，則 = ，得方程：x2 - 12x + 36 = 0，解得x = 3或12. 所以BP = ，3或12.（4）設(shè)BP = x，則DP = l - x.如果是△ABP ∽ △CDP，則 = ，解得x = ；如果是△ABP ∽ △PDC，則 = ，得方程：x2 - lx + mn = 0，Δ = l2 - 4mn.當(dāng)Δ = l2 - 4mn < 0時存在以P，A，B三點為頂點的三角形與以P，C，D三點為頂點的三角形相似的一個P點；當(dāng)Δ = l2 - 4mn = 0時，存在以P，A，B三點為頂點的三角形與以P，C，D三點為頂點的三角形相似的兩個P點；當(dāng)Δ = l2 - 4mn > 0時，存在以P，A，B三點為頂點的三角形與以P，C，D三點為頂點的三角形相似的三個P點.

點評 本題三角形相似沒有明確對應(yīng)關(guān)系，得分情形來討論，由于本題是兩個直角三角形，所以對應(yīng)關(guān)系有兩種. 由于數(shù)量關(guān)系的制約，本題有一種對應(yīng)關(guān)系是始終存在的，另一種對應(yīng)關(guān)系（“K”字形相似）則需要通過一元二次方程的判別式來進行討論. 另外，點P的個數(shù)還可以理解為以AC為直徑的圓與BD的位置關(guān)系（相交、相離、相切）決定.

七、以動態(tài)幾何為載體

案例7 如圖19，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB = 10 cm，BC = 12 cm，點E，F(xiàn)，G分別從A，B，C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為1 cm/s，點F的運動速度為3 cm/s，點G的運動速度為1.5 cm/s，當(dāng)點F到達點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動.在運動過程中，△EBF關(guān)于直線EF的對稱圖形是△EB′F.設(shè)點E，F(xiàn)，G運動的時間為t（單位：s）.

（1）當(dāng)t = s時，四邊形EBFB′為正方形；

（2）若以點E，B，F(xiàn)為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似，求t的值；

（3）是否存在實數(shù)t，使得點B′與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

分析與解 （1）若四邊形EBFB′為正方形，則BE =BF，即：10 - t = 3t，解得t = 2.5.

（2）分兩種情況，討論如下：① 若△EBF ∽ △FCG，則有 = ，解得：t = 2.8；② 若△EBF ∽ △GCF，則有 = ，解得：t = -14 - 2（不合題意，舍去）或t = -14 + 2. ∴當(dāng)t = 2.8s或t = （-14 + 2）s時，以點E，B，F(xiàn)為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似.

（3）假設(shè)存在實數(shù)t，使得點B′與點O重合.如圖，過點O作OM⊥BC于點M，則在Rt△OFM中，OF = BF = 3t，F(xiàn)M = BC - BF = 6 - 3t，OM = 5，由勾股定理得：OM2 + FM2 = OF2，即：52 + （6 - 3t）2 = （3t）2，解得：t = ；過點E作EN⊥OM于點N，則在Rt△OEN中，OE = BE = 10 - t，EN = BE - BN = 10 - t - 5=5 - t，ON = 6，由勾股定理得：ON2 + EN2 = OE2，即：62 + （5 - t）2 = （10 - t）2，解得：t = 3.9. ∵ ≠ 3.9，∴ 不存在實數(shù)t，使得點B′與點O重合.

點評 本題為運動型綜合題，考查了矩形性質(zhì)、軸對稱、“K”字形相似三角形的判定性質(zhì)、勾股定理、解方程等知識點.題目并不復(fù)雜，但需要仔細分析題意，認真作答.第（2）問中，需要分類討論，避免漏解；第（3）問是存在型問題，可以先假設(shè)存在，然后通過推導(dǎo)出互相矛盾的結(jié)論，從而判定不存在.

通過上述七個案例的分析可以發(fā)現(xiàn)，“K”字形相似問題，無論其形式和載體如何變化，其本質(zhì)離不開八個字“三點一線，三角相等”.

從課本上的一道簡單的例題引申出這么多不同類型、不同載體的優(yōu)秀中考試題，實際上就是提醒我們，一定要重視課本例題的研究，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，不僅僅滿足對課本知識的掌握，要觸類旁通、舉一反三，充分挖掘基本圖形，探究題目本質(zhì)，以不變應(yīng)萬變，只有這樣才能體味數(shù)學(xué)的真諦，探求數(shù)學(xué)奧秘，建構(gòu)高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式.

【參考文獻】

[1]北京教育部.小學(xué)生減負十條規(guī)定（征求意見稿）.2013.

[2]李長春. 源于課本的“動點·最值”問題. 北京：中小學(xué)數(shù)學(xué)（中國教育學(xué)會主辦），2011（1-2）.