讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)生在思維的過程中
——基于多元變量問題的教學(xué)研究

☉廣東省惠州大亞灣經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)大亞灣第一中學(xué) 鄧淑花

這些年的數(shù)學(xué)教學(xué)生涯，讓筆者領(lǐng)悟到一個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的真理——在數(shù)學(xué)課堂中，要讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)生在思維的過程中，才能讓學(xué)生得到真正的發(fā)展.這就需要我們教師在教學(xué)的過程中遵循“讓學(xué)生有學(xué)習(xí)的空間，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)動(dòng)思維的鏈條.”文章以筆者最近一節(jié)主題為“多元變量問題”的高三復(fù)習(xí)課為例，敘述如何讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)生在思維的過程中.

例題（2017年亭湖高級(jí)中學(xué)試題）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+2xy-1=0，則x2+y2的最小值是多少？

師：你們覺得這個(gè)問題的意圖是什么呢？（引導(dǎo)學(xué)生明確思考的方向——最值問題）

生：考查最值問題.（整齊的回答，表明大部分學(xué)生能夠捕捉到考查的內(nèi)容）

師：對(duì)于最值問題的考查，大家能夠聯(lián)系到的知識(shí)點(diǎn)有哪些呢？（處理最值問題的方法有很多種，而且是學(xué)生處在不同階段學(xué)習(xí)的，故而這樣的提問給予了學(xué)生思考的空間，讓學(xué)生把前后知識(shí)聯(lián)系起來，從而產(chǎn)生知識(shí)體系）

生：函數(shù)的方法、不等式、導(dǎo)數(shù)、線性規(guī)劃……（學(xué)生間歇性的表達(dá)，表明學(xué)生雖然掌握了一些求最值的方法，但還未能夠?qū)⑺鼈冋嬲卮?lián)起來形成知識(shí)體系）

師：在高中階段，我們所學(xué)的函數(shù)均是一元函數(shù)，因此若要用函數(shù)來解決本題我們首先要做什么工作呢？（意在引導(dǎo)學(xué)生生成降低元個(gè)數(shù)與建構(gòu)函數(shù)之間的因果聯(lián)系）

生：題目中含有兩個(gè)未知數(shù)，如果能夠把兩個(gè)變成一個(gè)就好了.（學(xué)生樸素的語言表明雖有降元的直覺，但卻未能形成這樣的解題意識(shí)）

師：說得不錯(cuò)，如果兩個(gè)未知數(shù)變成一個(gè)，那么這個(gè)表達(dá)式就可以看成是某個(gè)未知數(shù)的函數(shù)了，同學(xué)們回憶一下我們通常是如何將多個(gè)未知數(shù)變成一個(gè)的呢？（引導(dǎo)學(xué)生向常見的降低元個(gè)數(shù)的方法——消元或換元上思考）

生甲：老師，我們可以用x來表示y或者用y來表示x，然后代入即可表示成只關(guān)于x或y的函數(shù).（顯然學(xué)生已經(jīng)有消元的意識(shí)，但還是不能將這種思想明確地表達(dá)為消元思想）

師：很好，乙同學(xué)利用導(dǎo)數(shù)研究了函數(shù)的單調(diào)性，并利用單調(diào)性求出函數(shù)的最值，我們不妨就記作方法一.請(qǐng)大家再觀察一下所求表達(dá)式，大家還能有什么樣的發(fā)現(xiàn)呢？（讓學(xué)生觀察表達(dá)式的結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生向基本不等式方向去思考）

噢……（一聲驚嘆，有學(xué)生似乎明白了什么）

生丙：這個(gè)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)能夠滿足基本不等式的構(gòu)成要件（一正，二定，三相等），而且由于積為定值，所以和有最小值.所以

生：首先，我們用x來表示y，將表達(dá)式中的兩個(gè)未知數(shù)轉(zhuǎn)變成一個(gè)未知數(shù)，然后可以從函數(shù)的角度用導(dǎo)數(shù)的思想求最值，也可以從基本不等式的角度來求最值.（學(xué)生能夠歸納成這樣已基本形成了這種意識(shí)，但仍然需要將這種朦朧的意識(shí)轉(zhuǎn)化成明確的知識(shí)）

師：很好，我們觀察到條件與所求結(jié)論均是二元，從數(shù)學(xué)的通性通法角度來考慮，在處理多元問題時(shí)我們通常是利用消元的方法將兩個(gè)元消成一個(gè)元，從而轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的問題，然后考慮求函數(shù)值域的方法來求最值，又或者倘若表達(dá)式結(jié)構(gòu)已滿足基本不等式的條件，可以利用基本不等式來快速解決問題.

師：我們一起回顧一下三角函數(shù)中的經(jīng)典例題“已知tanα=2，求sin2α+2sinαcosα的值”，你的處理方式是什么？（回憶經(jīng)典例題，讓學(xué)生的思維對(duì)相似的問題情境產(chǎn)生知識(shí)遷移）

生：這樣的式子我們稱作齊次表達(dá)式，將表達(dá)式除以1再用sin2α+cos2α=1來進(jìn)行“1”的代換，分子分母同時(shí)除以cos2α來構(gòu)造tanα.

師：聯(lián)系這個(gè)例子，對(duì)于本題大家有什么新的想法嗎？（引導(dǎo)學(xué)生去建構(gòu)齊次表達(dá)式，利用整體思想進(jìn)行換元求解）

……（學(xué)生低頭不語，顯然思維還不能進(jìn)行知識(shí)遷移，當(dāng)然可能是引導(dǎo)的步子跨得太大）

師：條件是x2+2xy=1，而待求的問題是x2+y2，這與三角函數(shù)中的例題結(jié)構(gòu)相似嗎？（改變條件的形式，讓學(xué)生能直觀地感受到兩者在本質(zhì)上是相同的，從而能夠?qū)⒎椒ㄟM(jìn)行遷移）

生：條件與結(jié)論都是齊二次的表達(dá)式，而x2+2xy=1，所以我們可用“1”的代換，將原表達(dá)式同時(shí)除以1，即由方法一可知x≠0，所以分子分母同時(shí)除以x2化簡(jiǎn)后可得

師：很好，但大家覺得這樣的解法存在問題嗎？（為增加學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性而進(jìn)行的提問）

生：t的取值范圍不定，不能用基本不等式.

師：那t的取值是什么呢？（非選擇性的問題，暗示著學(xué)生需要思考的方向）

……（學(xué)生沉默，表明這一步引導(dǎo)還需要再分成幾個(gè)部分）

師：我們不妨看一看t由何而來.（進(jìn)一步縮小引導(dǎo)的步子，讓學(xué)生的思維有個(gè)支點(diǎn)）

生：t是由x2+2xy除x2得到.（大多數(shù)學(xué)生都可以意識(shí)到這一點(diǎn)，但他們的思維需要更進(jìn)一步的提升）

生丙：哦，x2+2xy=1，所以t的本質(zhì)是，是大于0的，所以基本不等式的運(yùn)用是對(duì)的.

師：很好，方法三本質(zhì)上是基本不等式的一種常見的類型，即形如（a，d≠0）的表達(dá)式可以用基本不等式來解決，本題的難點(diǎn)其實(shí)在于用“1”的代換去構(gòu)造這樣的形式.

師：所以對(duì)于能夠因式分解的代數(shù)式，可將等式因式分解后采用雙換元的方法將待求的二次表達(dá)式變成換元后的二次表達(dá)式，然后再結(jié)合基本不等式來處理.那么本題是否也可依此而做呢？

……（學(xué)生進(jìn)行討論）

生：x2+2xy=1?x（x+2y）=1，不妨令x=m，x+2y=n，其中mn=1，用m，n表示x，y，代入待求的表達(dá)式中得x2+y2=

師：通過這道題目的四種不同解法，大家對(duì)于多元最值問題的處理有什么感悟嗎？

……（學(xué)生再次討論）

生：對(duì)于多元問題處理的主導(dǎo)思想應(yīng)當(dāng)是以題設(shè)所給的等量關(guān)系或以已知定理、公理為橋梁，用消元或換元為手段，將多個(gè)元的問題轉(zhuǎn)變成一個(gè)元的問題，然后再考慮用函數(shù)或基本不等式等方法來求最值.

師：解題過程中有什么需要注意的嗎？（意在撥動(dòng)學(xué)生思維，讓其考慮新元的取值范圍）

……（學(xué)生再次討論）

生：在減少元個(gè)數(shù)的過程中一定要特別注意新元的取值范圍的問題.

教學(xué)反思：在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)過程中教師常報(bào)怨學(xué)生的思維太差，學(xué)不了數(shù)學(xué).其實(shí)筆者覺得并不是學(xué)生學(xué)不了數(shù)學(xué)，而是我們的教師未能轉(zhuǎn)動(dòng)學(xué)生的思維鏈條，激發(fā)他們不斷地思考.學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)往往不是一下子便能直擊關(guān)鍵，他們的思維需要被一步步的引向問題的核心.因此在教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)給予學(xué)生思考的空間，設(shè)法讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)生在思維過程中，這樣才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生.