高中數(shù)學(xué)不等式解法探討

馬漢敏

不等式是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，是數(shù)學(xué)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的反映，是學(xué)生以后研究數(shù)量大小關(guān)系的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的基礎(chǔ).加強(qiáng)不等式的解法指導(dǎo)，提高不等式的教學(xué)效果，可以很好地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.下面筆者就此談?wù)剮c(diǎn)體會(huì).

一、不等式的概念及形式

所謂不等式就是由數(shù)學(xué)符號(hào)（“>”、“<”等符號(hào)）連接的兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，并表示它們之間不等的關(guān)系，這個(gè)式子就叫做不等式[1].不等式的形式主要包括以下幾種：

1.一元一次不等式：含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)為一次的不等式.

2.一元二次不等式：含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的不等式.

3.二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)均為一次的不等式.

4.高次不等式：未知數(shù)的最高次數(shù)大于2的不等式.

5.分式不等式：含有分式且分母中含有未知數(shù)的不等式.

6.無(wú)理不等式：含有根號(hào)且根號(hào)中含有未知數(shù)的不等式.

下面簡(jiǎn)單分析、探討高中數(shù)學(xué)部分不等式的解法.

二、不同類(lèi)型不等式的解法

1.一元二次不等式的解集求法

一元二次不等式主要包括ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0兩種形式.在高中解一元二次不等式時(shí)，應(yīng)該結(jié)合一元二次函數(shù)[2]，利用二次函數(shù)的圖像幫助學(xué)生理解不等式的解集.如，當(dāng)a>0時(shí)，一元二次不等式解集如下：（1）當(dāng)Δ>0時(shí)，方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，且x10的解集為{xx2}；不等式ax2+bx+c<0的解集為{x10的解集為{x∈R且x≠x0}，不等式ax2+bx+c<0的解集為；（3）當(dāng)Δ<0，方程ax2+bx+c=0無(wú)實(shí)根，不等式ax2+bx+c>0的解集為{x∈R}，不等式ax2+bx+c<0的解集為.

當(dāng)a<0時(shí)，可以在不等式的兩邊同時(shí)乘以-1，從而轉(zhuǎn)化為a>0時(shí)來(lái)解.

2.根軸法解一元高次不等式

一元高次不等式為f（x）=a（x-x1）（x-x2）…（x-xn），且（x10），當(dāng)x>xn時(shí)，f（x）>0.如果xn-10的解集；曲線在x軸下方的負(fù)區(qū)間則是f（x）<0的解集，這就是根軸法解一元高次不等式[3].

在用這種方法解不等式時(shí)，首先要求不等式的右邊為零，左邊因式的最高次項(xiàng)的系數(shù)要為正.同時(shí)要分清方程根的大小，在線軸上標(biāo)根時(shí)要考慮根的大小，而不是根的距離；其次曲線要從左上方開(kāi)始；最后遇到重根時(shí)，奇次重根則要穿透線軸，偶根穿而不透，做到“奇穿偶回”.寫(xiě)不等式解集時(shí)，應(yīng)做到：遇“=”取根，無(wú)“=”不取.

3.分式不等式的解法

無(wú)論何種分式不等式，都應(yīng)通過(guò)變形將其變?yōu)椤白筮叿质?，右邊?”的形式.

例如，解不等式3x2-8x+111x2-7x+12>1.

解：原式化為3x2-8x+111x2-7x+12-1>0

3x2-8x+11-（x2-7x+12）1x2-7x+12>0

即2x2-x-11x2-7x+12>0

（2x+1）（x-1）1（x-3）（x-4）>0

可以得出方程（2x+1）（x-1）（x-3）（x-4）=0的根為xa=-1/2、xb=1、xc=3、cd=4.所以其解集為{x∣x<-1/2或14}.

4.含絕對(duì)值的不等式的解法

眾所周知，解含有絕對(duì)值的不等式關(guān)鍵就是要去絕對(duì)值符號(hào)，一般方法主要有公式法、零點(diǎn)區(qū)間討論法和平方法[4].

（1）平方法

當(dāng)不等式兩邊都是非負(fù)數(shù)時(shí)，可以進(jìn)行平方處理且不等號(hào)的方向不會(huì)發(fā)生改變.

例如，解不等式∣x-2∣>∣3x-2∣.

解：∣x-2∣2>∣3x-2∣2

x2-4x+4>9x2-12x+4

8x2-8x<0

解集為{x∣0

（2）討論法

解不等式：∣x2-11x+11∣>x.

解：根據(jù)不等式的意義可知.當(dāng)x<0或者x=0時(shí)，這個(gè)不等式是恒成立的.所以我們要討論x>0的情況.

當(dāng)x>0時(shí)，不等式可化為x2-11x+11>x

x2-12x+11>0

（x-11）（x-1）>0

不等式是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，是數(shù)學(xué)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的反映，是學(xué)生以后研究數(shù)量大小關(guān)系的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的基礎(chǔ).加強(qiáng)不等式的解法指導(dǎo)，提高不等式的教學(xué)效果，可以很好地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.下面筆者就此談?wù)剮c(diǎn)體會(huì).

一、不等式的概念及形式

所謂不等式就是由數(shù)學(xué)符號(hào)（“>”、“<”等符號(hào)）連接的兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，并表示它們之間不等的關(guān)系，這個(gè)式子就叫做不等式[1].不等式的形式主要包括以下幾種：

1.一元一次不等式：含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)為一次的不等式.

2.一元二次不等式：含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的不等式.

3.二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)均為一次的不等式.

4.高次不等式：未知數(shù)的最高次數(shù)大于2的不等式.

5.分式不等式：含有分式且分母中含有未知數(shù)的不等式.

6.無(wú)理不等式：含有根號(hào)且根號(hào)中含有未知數(shù)的不等式.

下面簡(jiǎn)單分析、探討高中數(shù)學(xué)部分不等式的解法.

二、不同類(lèi)型不等式的解法

1.一元二次不等式的解集求法

一元二次不等式主要包括ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0兩種形式.在高中解一元二次不等式時(shí)，應(yīng)該結(jié)合一元二次函數(shù)[2]，利用二次函數(shù)的圖像幫助學(xué)生理解不等式的解集.如，當(dāng)a>0時(shí)，一元二次不等式解集如下：（1）當(dāng)Δ>0時(shí)，方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，且x10的解集為{xx2}；不等式ax2+bx+c<0的解集為{x10的解集為{x∈R且x≠x0}，不等式ax2+bx+c<0的解集為；（3）當(dāng)Δ<0，方程ax2+bx+c=0無(wú)實(shí)根，不等式ax2+bx+c>0的解集為{x∈R}，不等式ax2+bx+c<0的解集為.

當(dāng)a<0時(shí)，可以在不等式的兩邊同時(shí)乘以-1，從而轉(zhuǎn)化為a>0時(shí)來(lái)解.

2.根軸法解一元高次不等式

一元高次不等式為f（x）=a（x-x1）（x-x2）…（x-xn），且（x10），當(dāng)x>xn時(shí)，f（x）>0.如果xn-10的解集；曲線在x軸下方的負(fù)區(qū)間則是f（x）<0的解集，這就是根軸法解一元高次不等式[3].

在用這種方法解不等式時(shí)，首先要求不等式的右邊為零，左邊因式的最高次項(xiàng)的系數(shù)要為正.同時(shí)要分清方程根的大小，在線軸上標(biāo)根時(shí)要考慮根的大小，而不是根的距離；其次曲線要從左上方開(kāi)始；最后遇到重根時(shí)，奇次重根則要穿透線軸，偶根穿而不透，做到“奇穿偶回”.寫(xiě)不等式解集時(shí)，應(yīng)做到：遇“=”取根，無(wú)“=”不取.

3.分式不等式的解法

無(wú)論何種分式不等式，都應(yīng)通過(guò)變形將其變?yōu)椤白筮叿质?，右邊?”的形式.

例如，解不等式3x2-8x+111x2-7x+12>1.

解：原式化為3x2-8x+111x2-7x+12-1>0

3x2-8x+11-（x2-7x+12）1x2-7x+12>0

即2x2-x-11x2-7x+12>0

（2x+1）（x-1）1（x-3）（x-4）>0

可以得出方程（2x+1）（x-1）（x-3）（x-4）=0的根為xa=-1/2、xb=1、xc=3、cd=4.所以其解集為{x∣x<-1/2或14}.

4.含絕對(duì)值的不等式的解法

眾所周知，解含有絕對(duì)值的不等式關(guān)鍵就是要去絕對(duì)值符號(hào)，一般方法主要有公式法、零點(diǎn)區(qū)間討論法和平方法[4].

（1）平方法

當(dāng)不等式兩邊都是非負(fù)數(shù)時(shí)，可以進(jìn)行平方處理且不等號(hào)的方向不會(huì)發(fā)生改變.

例如，解不等式∣x-2∣>∣3x-2∣.

解：∣x-2∣2>∣3x-2∣2

x2-4x+4>9x2-12x+4

8x2-8x<0

解集為{x∣0

（2）討論法

解不等式：∣x2-11x+11∣>x.

解：根據(jù)不等式的意義可知.當(dāng)x<0或者x=0時(shí)，這個(gè)不等式是恒成立的.所以我們要討論x>0的情況.

當(dāng)x>0時(shí)，不等式可化為x2-11x+11>x

x2-12x+11>0

（x-11）（x-1）>0

不等式是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，是數(shù)學(xué)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的反映，是學(xué)生以后研究數(shù)量大小關(guān)系的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的基礎(chǔ).加強(qiáng)不等式的解法指導(dǎo)，提高不等式的教學(xué)效果，可以很好地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.下面筆者就此談?wù)剮c(diǎn)體會(huì).

一、不等式的概念及形式

所謂不等式就是由數(shù)學(xué)符號(hào)（“>”、“<”等符號(hào)）連接的兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，并表示它們之間不等的關(guān)系，這個(gè)式子就叫做不等式[1].不等式的形式主要包括以下幾種：

1.一元一次不等式：含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)為一次的不等式.

2.一元二次不等式：含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的不等式.

3.二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)均為一次的不等式.

4.高次不等式：未知數(shù)的最高次數(shù)大于2的不等式.

5.分式不等式：含有分式且分母中含有未知數(shù)的不等式.

6.無(wú)理不等式：含有根號(hào)且根號(hào)中含有未知數(shù)的不等式.

下面簡(jiǎn)單分析、探討高中數(shù)學(xué)部分不等式的解法.

二、不同類(lèi)型不等式的解法

1.一元二次不等式的解集求法

一元二次不等式主要包括ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0兩種形式.在高中解一元二次不等式時(shí)，應(yīng)該結(jié)合一元二次函數(shù)[2]，利用二次函數(shù)的圖像幫助學(xué)生理解不等式的解集.如，當(dāng)a>0時(shí)，一元二次不等式解集如下：（1）當(dāng)Δ>0時(shí)，方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，且x10的解集為{xx2}；不等式ax2+bx+c<0的解集為{x10的解集為{x∈R且x≠x0}，不等式ax2+bx+c<0的解集為；（3）當(dāng)Δ<0，方程ax2+bx+c=0無(wú)實(shí)根，不等式ax2+bx+c>0的解集為{x∈R}，不等式ax2+bx+c<0的解集為.

當(dāng)a<0時(shí)，可以在不等式的兩邊同時(shí)乘以-1，從而轉(zhuǎn)化為a>0時(shí)來(lái)解.

2.根軸法解一元高次不等式

一元高次不等式為f（x）=a（x-x1）（x-x2）…（x-xn），且（x10），當(dāng)x>xn時(shí)，f（x）>0.如果xn-10的解集；曲線在x軸下方的負(fù)區(qū)間則是f（x）<0的解集，這就是根軸法解一元高次不等式[3].

在用這種方法解不等式時(shí)，首先要求不等式的右邊為零，左邊因式的最高次項(xiàng)的系數(shù)要為正.同時(shí)要分清方程根的大小，在線軸上標(biāo)根時(shí)要考慮根的大小，而不是根的距離；其次曲線要從左上方開(kāi)始；最后遇到重根時(shí)，奇次重根則要穿透線軸，偶根穿而不透，做到“奇穿偶回”.寫(xiě)不等式解集時(shí)，應(yīng)做到：遇“=”取根，無(wú)“=”不取.

3.分式不等式的解法

無(wú)論何種分式不等式，都應(yīng)通過(guò)變形將其變?yōu)椤白筮叿质剑疫厼?”的形式.

例如，解不等式3x2-8x+111x2-7x+12>1.

解：原式化為3x2-8x+111x2-7x+12-1>0

3x2-8x+11-（x2-7x+12）1x2-7x+12>0

即2x2-x-11x2-7x+12>0

（2x+1）（x-1）1（x-3）（x-4）>0

可以得出方程（2x+1）（x-1）（x-3）（x-4）=0的根為xa=-1/2、xb=1、xc=3、cd=4.所以其解集為{x∣x<-1/2或14}.

4.含絕對(duì)值的不等式的解法

眾所周知，解含有絕對(duì)值的不等式關(guān)鍵就是要去絕對(duì)值符號(hào)，一般方法主要有公式法、零點(diǎn)區(qū)間討論法和平方法[4].

（1）平方法

當(dāng)不等式兩邊都是非負(fù)數(shù)時(shí)，可以進(jìn)行平方處理且不等號(hào)的方向不會(huì)發(fā)生改變.

例如，解不等式∣x-2∣>∣3x-2∣.

解：∣x-2∣2>∣3x-2∣2

x2-4x+4>9x2-12x+4

8x2-8x<0

解集為{x∣0

（2）討論法

解不等式：∣x2-11x+11∣>x.

解：根據(jù)不等式的意義可知.當(dāng)x<0或者x=0時(shí)，這個(gè)不等式是恒成立的.所以我們要討論x>0的情況.

當(dāng)x>0時(shí)，不等式可化為x2-11x+11>x

x2-12x+11>0

（x-11）（x-1）>0