Mathematica應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)統(tǒng)計互動教學(xué)

王先龍，林 昊，丁 輝，黃 健

(電子科技大學(xué) 生命科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 610054)

統(tǒng)計是數(shù)據(jù)的科學(xué)，在生物、醫(yī)學(xué)等生命科學(xué)領(lǐng)域有著基礎(chǔ)性重要地位[1]。生物醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(或稱生物統(tǒng)計)這門課程是生物技術(shù)專業(yè)、生物醫(yī)學(xué)工程、公共衛(wèi)生等學(xué)科的核心專業(yè)課程[2]。進(jìn)入21世紀(jì)以來，生命科學(xué)發(fā)展到后基因組和大數(shù)據(jù)時代，統(tǒng)計學(xué)方法發(fā)揮著關(guān)鍵作用[3]。因此，學(xué)好統(tǒng)計學(xué)對于相關(guān)專業(yè)學(xué)生面對來自大數(shù)據(jù)時代的挑戰(zhàn)至關(guān)重要。

從教學(xué)實(shí)踐來看，生物醫(yī)學(xué)統(tǒng)計對于生物技術(shù)等相關(guān)專業(yè)的學(xué)生難度較大。這在很大程度上是由這門課程的特點(diǎn)所決定的：一方面，生物醫(yī)學(xué)統(tǒng)計是建立在概率論和統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)上的，對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求較高；另一方面，它又是一門應(yīng)用性實(shí)踐性很強(qiáng)的課程，在應(yīng)用中要使用諸如SPSS(statistical product and service solutions)等大型統(tǒng)計軟件[4]，這就要求學(xué)生不僅能熟練掌握如何使用統(tǒng)計軟件來解決生命科學(xué)中的實(shí)際問題，更要了解各種統(tǒng)計檢驗(yàn)方法背后的理論基礎(chǔ)，包括假設(shè)基礎(chǔ)、適用的范圍和統(tǒng)計的意義等[5]。

現(xiàn)有的教學(xué)方式一般分為兩部分：課堂講授和上機(jī)實(shí)踐。課堂講授集中介紹理論和方法，囿于時間和空間的限制，所舉示例一般較為簡單，可以手動計算；在實(shí)踐環(huán)節(jié)中，介紹統(tǒng)計軟件的使用，學(xué)生掌握操作步驟。學(xué)生存在普遍的問題是對軟件的操作掌握很快，但對各種統(tǒng)計方法的選擇、假設(shè)和應(yīng)用條件，以及結(jié)果的統(tǒng)計學(xué)意義掌握不夠深入，往往對結(jié)果有錯誤的解讀；在實(shí)踐中，面對實(shí)際問題中大量、復(fù)雜的數(shù)據(jù)無從下手。產(chǎn)生這樣問題的緣由可能在于一方面課堂教學(xué)過于強(qiáng)調(diào)理論公式和數(shù)學(xué)計算，而對概念的理解與統(tǒng)計方法強(qiáng)調(diào)不足；另一方面軟件是個“黑盒子”，雖然應(yīng)用很簡單，但是其過程是不透明的，對結(jié)果數(shù)據(jù)本身不提供直接的結(jié)論。而且，SPSS等大型統(tǒng)計軟件是針對專業(yè)人士設(shè)計的，包含了統(tǒng)計學(xué)豐富、全面的方法，但對初學(xué)者易造成困惑，不太適用于學(xué)習(xí)。

針對上述問題，要提高教學(xué)質(zhì)量，需要教師在課堂上教給學(xué)生如何做統(tǒng)計，要通過大量實(shí)際數(shù)據(jù)來說明概念和講解方法，弱化公式和推導(dǎo)過程，把抽象的數(shù)學(xué)概念形象化、可視化。而Mathematica[6]這個軟件的諸多特性可以幫助我們在課堂上處理大量數(shù)據(jù)，展示統(tǒng)計檢驗(yàn)過程，以動態(tài)的交互式演示案例來改善教學(xué)效果[7]。下面分別從如何使用Mathematica制作一般性的課件、其獨(dú)特優(yōu)勢和在生物醫(yī)學(xué)統(tǒng)計教學(xué)中的實(shí)際案例來介紹我們在教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)。

1 如何使用Mathematica制作課件

Mathematica是Wolfram Research公司開發(fā)的一套基于λ代數(shù)的大型數(shù)學(xué)軟件，具有強(qiáng)大的符號運(yùn)算和數(shù)值計算功能。除計算功能外，該軟件具有方便的幻燈片和交互式動畫制作功能，非常適合數(shù)理背景較強(qiáng)的課程教學(xué)。此外，該軟件入門快，代碼模式簡單，只需學(xué)習(xí)極少量的代碼編程知識，即可制作高質(zhì)量的互動式教學(xué)課件。

1.1 幻燈片模式啟動

在Mathematica中有3種方式可以開啟幻燈片模式:一是在軟件啟動的時候，選擇歡迎屏上的Create New...下的Slide Show；二是在選單(菜單)欄中選擇File > New > Slide Show；第3種方式將在下面提及。在幻燈片模式啟動后，軟件自動生成一個由3張幻燈片組成的模板文檔(見圖1)，用戶可在此基礎(chǔ)上修改或刪除已有幻燈片、添加新的幻燈片。3張模板幻燈片分別展示了題頭、多層次文字編排和圖文混編版式。

圖1 Mathematica中幻燈片制作缺省模版

為了更方便地制作幻燈片，Mathematica還提供了一個Slide Show的控制小面板(Palette)，可通過選單欄中的“Palettes > Slide Show”來打開(見圖2)。該面板工具分為5組，從上至下分別為：演示控制、創(chuàng)建幻燈片文檔、插入幻燈片、文檔設(shè)置和窗口元素設(shè)置。演示控制在幻燈片制作和播放兩種模式間切換。創(chuàng)建幻燈片文檔提供了3個工具按鈕，分別是制作新的幻燈片文檔、把當(dāng)前文檔轉(zhuǎn)換為幻燈片、制作目錄頁；插入幻燈片欄提供了2個按鈕，分別是插入新模板頁和空白頁； 文檔設(shè)置欄提供了修改當(dāng)前文檔總體選項(xiàng)，如幻燈片頁與頁之間的切換模式、投影的分辨率等；窗口元素設(shè)置可選擇是否顯示諸如滾動條、狀態(tài)欄等窗口元素。

圖2 幻燈片制作控制面板

1.2 幻燈片課件制作

對Mathematica使用不太熟悉的用戶可以通過插入新的模板頁，然后修改模板頁上的文字、圖片和圖形等來實(shí)現(xiàn)幻燈片的快速制作。對于高級用戶來說，可以使用Mathematica命令、編輯方式來制作幻燈片內(nèi)容，或是利用從已有的筆記本文檔(notebook)內(nèi)容來創(chuàng)建幻燈片，畢竟幻燈片只是一種特殊形式的筆記本。Mathematica的筆記本由若干個元胞(cell)組成，每個元胞在最左側(cè)由藍(lán)色的中括號標(biāo)記?；脽羝Ｊ降奶厥庑栽谟诿繌埢脽羝坝袀€分頁符，它在演示時使得文檔按一張一張的先后順序來展示，而普通筆記本只在一頁中展示。

在文檔的空白處，輸入任意內(nèi)容，Mathematica就為用戶創(chuàng)建一個新元胞，其格式默認(rèn)為輸入(input)。用戶可通過Format >Style來選取其他格式，如在幻燈片制作中常用的文本格式，也可通過Window > Show Toolbar來開啟工具欄，可以更便捷地修改元胞的格式。比如，可以使用Section、Subsection、Subsubsection等將內(nèi)容組織得更有層次；再如，在幻燈片制作中常用到無序或有序列表的方式來枚舉內(nèi)容，這可使用Item及ItemNumbered等格式來實(shí)現(xiàn)。

圖片可通過拷貝、插入等方式嵌入到元胞中。而Mathematica強(qiáng)大的繪圖功能使用戶不借助其他工具就可方便地制作各種二維和三維圖形以及動畫。輸出圖形還可以通過雙擊圖形進(jìn)行的手動編輯。通過代碼方式，用戶還可從本地或互聯(lián)網(wǎng)上獲取圖片、聲音、數(shù)據(jù)等，以及使用Table、Grid等函數(shù)來制作表格。為了避免對學(xué)生造成注意力的干擾和簡潔性的考慮，我們一般不希望展示輸入代碼，而Mathematica自動隱藏功能很好地實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)：雙擊輸出元胞右側(cè)的藍(lán)色中括號后，相應(yīng)的輸入代碼就被隱藏起來，藍(lán)色的中括號上方變成實(shí)心的箭頭，見圖1，這樣，原始代碼既不需要刪除，也不影響展示。此外，如果是想隱藏輸出而展示輸入也很方便，只需要雙擊輸入/輸出這一組外側(cè)的藍(lán)色的中括號即可。演示模式效果見圖3。

圖3 幻燈片演示模式效果

在生物醫(yī)學(xué)統(tǒng)計講課中，經(jīng)常需要輸入各種數(shù)學(xué)公式，而Basic Math Assistant等面板可幫助用戶快速地輸入各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式。這些公式不僅在形式上同教科書上的完全一致，而且可用于實(shí)際的數(shù)學(xué)運(yùn)算或編程中，避免了重復(fù)輸入；另一方面，Import函數(shù)支持各種化學(xué)、生物等學(xué)科領(lǐng)域的文件格式，可以直觀地表現(xiàn)分子結(jié)構(gòu)等數(shù)據(jù)，而無需使用第三方工具。

1.3 模板和風(fēng)格選取

最新發(fā)布的Mathematica 9和以前的版本相比，在啟動Slide Show模式后，提供了8個可選的幻燈片模板。一般情況下，簡潔大方的缺省模板完全能滿足課堂教學(xué)的需要。除了系統(tǒng)提供的模板外，用戶還可通過設(shè)置文檔的風(fēng)格表(Format > Stylesheet)來快速改變幻燈片課件的整體風(fēng)格。高級用戶還可通過修改原有的風(fēng)格表或是創(chuàng)建全新的風(fēng)格表來達(dá)到個性化的展示目的。

1.4 課堂展示

在創(chuàng)建幻燈片時，需進(jìn)入默認(rèn)的Slide Show制作模式。在該模式中，所有的幻燈片都在同一頁面中顯示，方便用戶對整體內(nèi)容的把握。點(diǎn)擊Slide Show控制面板中的Start Presentation按鈕(見圖2)，切換到全屏演示模式(見圖3)。在該模式中，占據(jù)中間主要區(qū)域的是內(nèi)容顯示部分，與PowerPoint等軟件不同，該區(qū)域?qū)嶋H上并不受一屏的限制，而可以是任意的尺寸，超出一屏的部分可通過鼠標(biāo)方向鍵來控制，在滑動顯示內(nèi)容的過程中，幻燈片最上面和下面的控制條和狀態(tài)欄保持不動。

最上側(cè)的工具欄分為3組：中間的4個箭頭是播放按鈕，也可通過翻頁鍵來操作；左側(cè)的按鈕下拉框可實(shí)現(xiàn)快速跳轉(zhuǎn)到特定頁；最右側(cè)的按鈕實(shí)現(xiàn)在全屏和當(dāng)前大小兩種尺寸間進(jìn)行切換，方便用戶在不退出演示模式來進(jìn)行其他工作，如運(yùn)行其他程序等。全屏切換也可通過功能鍵F12來實(shí)現(xiàn)。

下側(cè)工具欄左側(cè)是狀態(tài)欄顯示總的幻燈片頁數(shù)和當(dāng)前頁碼。右側(cè)百分比側(cè)的箭頭提供放大功能：選擇合適的顯示比例，來顯示過大或過小的文字或圖形，而無需對原有內(nèi)容做字體大小上的改動。

2 獨(dú)特優(yōu)勢

除了上節(jié)提及的在幻燈片制作和演示中的各種優(yōu)勢外，Mathematica還具有如下4個方面的特點(diǎn)，使其在生物醫(yī)學(xué)統(tǒng)計課程教學(xué)中體現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢。

2.1 動態(tài)演示

自6.0版本，Mathematica增加了一組動態(tài)演示函數(shù)，如Manipulate、Animate、SlideShow等。這一改進(jìn)，使得用戶可以方便地創(chuàng)建動態(tài)內(nèi)容，進(jìn)行交互式的動畫演示。這里我們以最為常用的Manipulate函數(shù)為例，演示如何創(chuàng)建動態(tài)內(nèi)容(見圖4(a))。該例子演示了在自由度(ν)增大的過程中，Studentt分布的概率密度分布函數(shù)趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。其中自由度作為Manipulate函數(shù)的變量，其范圍設(shè)置為0～20，步長為1；Plot函數(shù)用來繪制兩種分布的密度函數(shù)曲線；為了更明顯地顯示兩者之間的差異，我們將兩條曲線間的區(qū)域用顏色標(biāo)記出來。該段輸入代碼只需運(yùn)行(evaluate)一次，獲得的動態(tài)輸出結(jié)果即可反復(fù)用于展示。在結(jié)果圖形上面有一個滑動條，演示時可以拖動該滑動條，自由度跟隨變動，展示的圖形變化為相應(yīng)自由度下的結(jié)果。除了手動拖動模式外，還存在著自動播放模式，該模式通過點(diǎn)擊滑動條邊的“+”號圖標(biāo)即可打開(見圖4(b))。在這一模式下，除了6個常見播放按鈕外，還有2個動畫速度調(diào)節(jié)按鈕。此外，還可直接輸入?yún)?shù)以達(dá)到精確控制的目的。為了避免不必要的困擾，我們可以雙擊輸出結(jié)果元胞右側(cè)藍(lán)色中括號來隱藏輸入代碼。

圖4 使用Manipulate函數(shù)展示動態(tài)內(nèi)容

這一動態(tài)特性是Mathematica在幻燈片演示中最大的優(yōu)勢，在改善課堂教學(xué)演示互動性上有非常大的幫助。在下一節(jié)中，我們將通過3個較為復(fù)雜的實(shí)例來展示其在生物統(tǒng)計教學(xué)中的應(yīng)用。

2.2 全面的概率統(tǒng)計函數(shù)

除了非常豐富的數(shù)學(xué)函數(shù)外，Mathematica還內(nèi)置了數(shù)以千計的概率統(tǒng)計相關(guān)函數(shù)?？煞譃樗拇箢悾?1)基礎(chǔ)概率函數(shù)。如各種概率密度分布函數(shù)、隨機(jī)數(shù)生成和隨機(jī)采樣函數(shù)。(2)參數(shù)和非參數(shù)統(tǒng)計檢驗(yàn)函數(shù)。如方差分析、Spearman秩檢驗(yàn)。(3)數(shù)據(jù)表現(xiàn)函數(shù)。如箱線圖、主干枝葉圖。(4)數(shù)據(jù)挖掘函數(shù)。如聚類分析。其內(nèi)容覆蓋范圍非常廣，包括了生物統(tǒng)計和數(shù)據(jù)挖掘中許多最新研究成果。其用法可通過其幫助文檔中心(documentation center)來查詢，或是在筆記本任意處輸入“?”加函數(shù)名來快速查詢；另一方面，如果我們想把統(tǒng)計檢驗(yàn)的運(yùn)算過程展現(xiàn)給學(xué)生看，也可通過一步的賦值運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)，或是編寫相應(yīng)的新統(tǒng)計函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。前者模擬了學(xué)生學(xué)習(xí)過程的手動計算過程，可使學(xué)生更直觀地掌握具體的過程，后者效率更高，可提高學(xué)生程序設(shè)計及抽象概括能力。

2.3 豐富的在線教學(xué)資源

Wolfram公司主辦了一個由全世界用戶貢獻(xiàn)的在線示范項(xiàng)目(wolfram demonstrations project)[8]。該項(xiàng)目涵蓋各種學(xué)科中不同的主題，提供了豐富的學(xué)習(xí)資源，每一個示范資源都由至少一個交互式動態(tài)演示動畫、問題背景介紹和使用方法，既可以下載用在課堂教學(xué)演示中，也可分發(fā)給學(xué)生，讓其自主探索，用戶完全無需掌握Mathematica的編程基礎(chǔ)即可操作；另一方面，該項(xiàng)目的所有資源的源代碼都可下載，感興趣的教師可以通過這些代碼學(xué)習(xí)如何制作更多的互動演示課件。

2.4 方便的傳播模式

Mathematica制作的課件除了進(jìn)行投影展示外，還可通過多種形式分發(fā)給學(xué)生，以便課后學(xué)習(xí)。比如可以轉(zhuǎn)化成PDF格式文件，或是打印成文稿在課堂上分發(fā)，但最為方便的是Mathematica提供了一種可計算的文檔格式(computable document format,CDF)，該類型的文件可由Wolfram公司提供的免費(fèi)軟件Mathematica Player來播放，學(xué)生無需購買Mathematica即可在課下探索教師分發(fā)的課件，自主地進(jìn)行更為詳盡的動態(tài)交互學(xué)習(xí)，而不受時間限制。

3 教學(xué)案例

本小節(jié)通過3組實(shí)例來展示Mathematica在進(jìn)行互動性教學(xué)中的優(yōu)勢。這些案例在Mathematica中可方便地通過Manipulate等函數(shù)進(jìn)行少量的代碼來實(shí)現(xiàn)，而在PowerPoint等其他軟件中很難實(shí)現(xiàn)。

3.1 數(shù)據(jù)變換

在統(tǒng)計檢驗(yàn)中，原始數(shù)據(jù)經(jīng)常需要進(jìn)行變換，如開方或取對數(shù)等，獲得對稱的或是近似正態(tài)分布的數(shù)據(jù)，以方便進(jìn)一步的統(tǒng)計檢驗(yàn)[9]。在本示例(見圖5)中，采用指數(shù)變換(power transformation)來處理隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)[10-11]，通過箱線圖(box-whisker plot)來展現(xiàn)變換后的數(shù)據(jù)分布，動態(tài)而又直觀地來指導(dǎo)指數(shù)λ的選取。樣本容量(n)提供了兩種選擇：50和999。模擬的數(shù)據(jù)可按照5種分布隨機(jī)產(chǎn)生：正態(tài)分布、指數(shù)分布、對數(shù)正態(tài)分布、逆高斯分布和Weibull分布。 指數(shù)變換如下所示

我們通過箱線圖來考察變換的效果，選取數(shù)據(jù)近似對稱的、最為簡單的變換。λ范圍設(shè)置為-2到2。λ等于-1、0、 0.5、1分別對應(yīng)倒數(shù)、導(dǎo)數(shù)、平方根和無變換。

圖5 指數(shù)數(shù)據(jù)變換動態(tài)演示效果圖

在箱線圖之上，給出了兩種偏態(tài)度(skewness)的統(tǒng)計參數(shù)：常見的Pearson偏態(tài)度(g3)和Bowley偏態(tài)度(B)[12]。

在課堂演示中，我們可以選取特定的分布類型來隨機(jī)生成原始數(shù)據(jù)，然后拖動λ值來查看變換后的數(shù)據(jù)分布情況。

3.2 統(tǒng)計能效

在教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)一般來說學(xué)生對第1類誤差和置信區(qū)間掌握得比較好，但對第2類誤差和檢驗(yàn)?zāi)苄?power)掌握較弱。在這個例子中，我們采用動態(tài)圖示來講解統(tǒng)計能效(見圖6)。該示例展示了在對稱的雙邊檢驗(yàn)中，檢驗(yàn)?zāi)苄绾闻c顯著性水平、p值和檢驗(yàn)統(tǒng)計參數(shù)的分布相關(guān)聯(lián)。

圖6 檢驗(yàn)?zāi)苄а菔拘Ч麍D

在演示的過程中，我們可先將替代假設(shè)(Ha)隱藏，先后調(diào)整第1類誤差(α)和檢驗(yàn)統(tǒng)計量的數(shù)值，來展示兩者如何影響檢驗(yàn)結(jié)論：是否拋棄空假設(shè)(H0)。待學(xué)生對第1類誤差有非常直觀的印象后，我們再展示替代假設(shè)(即樣本均值和總體均值之間的確存在顯著性差異)的分布曲線。在把差異水平增加的過程中(向右)，我們可以觀察到均值差異越大，替代假設(shè)的分布曲線越向右側(cè)移動，無效假設(shè)和替代假設(shè)分布曲線的重疊越小，而檢驗(yàn)?zāi)苄г酱?右側(cè)紅色區(qū)域)；接著我們可以滑動α值，可觀測到第2類誤差(β)和第1類誤差(α)此消彼漲的關(guān)系，如果把第1類誤差控制在相對較低水平(即提高顯著性水平)，會導(dǎo)致檢驗(yàn)?zāi)苄p失。

該交互示例非常清晰地演示了第1類誤差和第2類誤差、顯著性水平和檢驗(yàn)?zāi)苄чg的互斥關(guān)系，要想同時提高顯著性水平和檢驗(yàn)?zāi)苄В梢蕴岣卟町愃?。?dāng)然，樣本容量也是重要影響因素之一。我們可以提高樣本容量來改善檢驗(yàn)?zāi)苄В娤聜€示例。這一計算的過程較為復(fù)雜，不要求學(xué)生掌握，但要求學(xué)生掌握定性地影響樣本容量的因素有哪些，如何影響。

3.3 樣本容量

假設(shè)研究人員需要考察某項(xiàng)治療手段應(yīng)用在某個總體是否有效，在設(shè)計實(shí)驗(yàn)時，為了獲得一定的置信水平和檢驗(yàn)?zāi)苄В覀冃枰_定最小的樣本容量，這往往是唯一可控的因素。在上述示例中，樣本容量的因素沒有討論，實(shí)際上它是通過H0和Ha分布的形狀來影響置信水平和檢驗(yàn)?zāi)苄?。根?jù)中心極限定理(central limit theorem)，我們知道當(dāng)樣本容量增加時，H0和Ha分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差降低，即兩者曲線都變窄，導(dǎo)致的結(jié)果是置信水平和檢驗(yàn)?zāi)苄瑫r都有所提高。該因素的影響也可包含在示例3.2節(jié)中進(jìn)行互動演示，感興趣的讀者可嘗試實(shí)現(xiàn)。但在實(shí)際應(yīng)用中，我們關(guān)注的是逆問題：即在特定的置信水平和檢驗(yàn)?zāi)苄氯绾未_定最小樣本容量。本示例(見圖7)動態(tài)地展示了各個影響因素的作用效果。

圖7 樣本容量需求動態(tài)演示效果圖

在該示例中，我們以分類數(shù)據(jù)的比率為例。假設(shè)某種處理造成的總體缺陷率為p，采樣的精確概率分布應(yīng)該使用二項(xiàng)式分布，但通常在樣本容量足夠大的情況下(np和n(1-p)都大于5)，也可以使用正態(tài)分布來近似二項(xiàng)式分布。影響樣本容量的統(tǒng)計因素包括：選取的第1類和第2類誤差(α和β)的水平、總體缺陷的比率(通常根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或估計來獲得，而對于定量數(shù)據(jù)來說應(yīng)該是總體分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差)及要檢測的變化水平(δ，即近似為上述示例中Ha和H0均值之差)。

在變動p值的過程中，可以觀測到在p=0.5時，所需最低樣本容量最大，因?yàn)榇藭r對應(yīng)的總體標(biāo)準(zhǔn)偏差最大。而δ在增大的過程中，樣本容量需求降低，即要檢測的差異比較大時，只需要較少的樣本即可達(dá)到同樣的置信水平和檢測能效。

置信水平和檢驗(yàn)?zāi)苄ǔＴO(shè)定在α=5%,β=10%。通過拖動滑動條，我們也可看到在α或β下降的過程中，對樣本容量的要求逐漸提高。

4 結(jié)束語

通過上述的簡單介紹和示例演示，我們向讀者展現(xiàn)了Mathematica在生物統(tǒng)計課程教學(xué)中的獨(dú)特優(yōu)勢，它不僅可以方便、快捷地制作圖文并茂的幻燈片課件在課堂上展示，還能把復(fù)雜的統(tǒng)計過程以形象簡單的動畫展現(xiàn)出來，更有操作互動性，能提高學(xué)生參與度，更好地掌握生物統(tǒng)計中的基本理論、關(guān)鍵概念和重要的統(tǒng)計檢驗(yàn)方法。

[1] Indrayan A.Medical Biostatistics[M].Boca Raton: CRC Press,2014.

[2] Gordon F,Gordon S.Statistics for the Twenty-First Century[M].Washington,DC: The Mathematical Association of America,1992.

[3] Storey J D,TIBSHIRAN R.Statistical significance for genomewide studies[J].Proc Natl Acad Sci U S A.2003,100(16)：9440-9445.

[4] IBM Corp.IBM SPSS Statistics for Windows,Version 21.0 [CP/DK].2012.

[5] Nuzzo R.Scientific method: statistical errors[J].Nature,2014,506,150-152.

[6] WOLFRAM RESEARCH INC.Mathematica 9[CP/DK].2012.

[7] 熊青玲，潘林封，程衍富.Mathematica軟件在示波器實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用[J].實(shí)驗(yàn)科學(xué)與技術(shù),2013,11(2):37-39.

[8] WOLFRAM RESEARCH INC.Wolfram Demonstrations Project[EB/OL].http://demonstrations.wolfram.com.

[9] CLEVELAND W S.Visualizing Data[M].Summit,NJ: Hobart Press,1993.

[10] Box G E P,Cox D R.An analysis of transformations[J].Journal of the Royal Statistical Society B,1964,26(2): 211-252.

[11] Hinkley D V.On power transformations to symmetry [J].Biometrika,1975,62: 101-111.

[12] VON HIPPEL P T.Mean,median,and skew: Correcting a textbook rule[J/OL].Journal of Statistics Education,2005,13(2):www.amstat.org/publications/jse/v13n2/vonhippel.html.