反比例函數(shù)圖象的一個結(jié)論及其應(yīng)用

劉玉紅

圖1結(jié)論如圖1，正比例函數(shù)y1=k1x，y2=k2x（k1>k2>0）與反比例函數(shù)y3=k1x（k>0）的圖像在第一象限內(nèi)分別交于點A和點B，設(shè)直線AB的解析式為y=k0x+b，△OAB的面積為S。則k=2Sk1k21k1-k2，k0=-k1·k2.

證明如圖1，過點A作AC⊥x軸，垂足為C點，過點B作BD⊥x軸，垂足為D點，設(shè)點A（a，k1a），點B（m，k2m），其中a>0，m>0，因為點A，點B都在反比例函數(shù)y3=k1x（k>0）的圖像上，則AC=k1a，BD=k2m，k1a2=k，k2m2=k，所以a=k1k1，m=k1k2，所以S△AOC=S△BOD=112|k|。所以S△AOE+S△OCE=S△OCE+S四邊形BECD，所以S△AOE=S四邊形BECD，所以S△AOB=S四邊形ACDB。因為DC=m-a=k1k2-k1k1，所以S四邊形ACDB=112（AC+BD）×CD=112（k1·k1k1+k2·k1k2）×（k1k2-k1k1）=112（k1+k2）k×（k1-k21k1k2）×k=112（k1-k2）×k1k1k2，所以k=2Sk1k21k1-k2.

因為點A（a，k1a），點B（m，k2m）在直線y=k0x+b上，所以k0a+b=k1a，

k0m+b=k2m。所以k0（m-a）=（k2m-k1a），所以k0=（k2m-k1a）÷（m-a）=（k2·k1k2-k1·k1k1）÷（k1k2-k1k1）=（k2-k1）×k÷（k1-k2）×k1k1k2=-k1·k2.

下面談?wù)勥@個結(jié)論的應(yīng)用。

圖2例1如圖2，已知反比例函數(shù)y=k1x（k>0）的圖象經(jīng)過點（112，8），直線y=-x+b經(jīng)過該反比例函數(shù)圖象上的點Q（4，m）.

（1）求上述反比例函數(shù)和直線的函數(shù)表達式；

（2）設(shè)該直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，與反比例函數(shù)圖象的另一個交點為P，連結(jié)OP、OQ，求△OPQ的面積.

分析要想用結(jié)論求△POQ的面積需要確定出直線OP的比例系數(shù)，直線OQ的比例系數(shù)，反比例函數(shù)的比例系數(shù).

解（1）反比例函數(shù)y=k1x（k>0）的圖象經(jīng)過點（112，8），所以k=112×8=4，所以反比例函數(shù)的解析式為y=41x；點Q是反比例函數(shù)和直線y=-x+b的交點，所以m=1，所以點Q的坐標是（4，1），所以1=-4+b即b=5，所以直線的解析式為y=-x+5.

（2）因為直線y=-x+5與反比例函數(shù)y=41x相交，所以-x+5=41x，整理得x2-5x+4=0，解得x=1或x=4，所以點P的坐標為（1，4），因為正比例函數(shù)OP經(jīng)過點點（1，4），所以k1=4，因為正比例函數(shù)OQ經(jīng)過點點（4，1），所以k2=114，反比例函數(shù)的系數(shù)k=4，根據(jù)k=2Sk1k21k1-k2得4=2×S×4×11414-114，所以S=1512，所以△OPQ的面積為1512.

例2如圖3，直線l與反比例函數(shù)y=21x的圖像在第一象限內(nèi)交于A，B兩點，與x軸的正半軸交于點C，若AB∶BC=（m-1）∶1（m>1），則三角形OAB的面積（用m表示）為.

圖3分析借助比例線段，反比例函數(shù)的解析式，利用含m的代數(shù)式分別表示出點A、點B的坐標，從而確定直線OA，直線OB的比例系數(shù)，后根據(jù)公式即可完成問題的求解.

解過點A作AD⊥x軸，垂足為點D，過點B作BE⊥x軸，垂足為點E，則AD∥BE，所以△BCE∽△ACD，所以BE1AD=BC1CA，因為BC1AB=11m-1，所以BC1CA=11m，所以BE1AD=11m，設(shè)BE=a，則AD=ma，因為反比例函數(shù)y=k1x在第一象限的圖像經(jīng)過點A、B，所以點A的橫坐標為21am，點C的橫坐標為21a，所以直線OA的比例系數(shù)k1=a2m212，直線OC的比例系數(shù)k2=a212，反比例函數(shù)的系數(shù)k=2，根據(jù)k=2Sk1k21k1-k2得：2=2×S×a2m212×a2121a2m212-a212=2×S×a2m121（m2-1）×a212=2×S×m1m2-1，所以S=m2-11m.

圖4例3如圖4，雙曲線y=k1x經(jīng)過Rt△OMN斜邊上的點A，與直角邊MN相交于點B，已知OA=2AN，△OAB的面積為5，則k的值是.

分析借助比例線段，反比例函數(shù)的解析式，巧妙引入未知數(shù)a，并用a的代數(shù)式分別表示出點A，點B的坐標，從而確定直線OA，直線OB的比例系數(shù)，后根據(jù)公式即可完成問題的求解.

解過點A作AD⊥x軸，垂足為點D，則AD∥BM，所以△OAD∽△ONM，所以O(shè)D1OM=OA1ON，因為OA=2AN，所以O(shè)A1ON=213，所以O(shè)D1OM=213，設(shè)OD=2a，則OM=3a，因為反比例函數(shù)y=k1x在第一象限的圖像經(jīng)過點A、B，所以點A的縱坐標為k12a，點B的縱坐標為k13a，所以直線OA的比例系數(shù)k1=k14a2，直線OC的比例系數(shù)k2=k19a2，反比例函數(shù)的系數(shù)k，S=5，根據(jù)k=2Sk1k21k1-k2得

k=2×5×k14a2×k19a21k14a2-k19a2=2×5×k1（2×3）a215a2k136a4=12.

圖5例4如圖5，在平面直角坐標系xOy中，直線AB與x軸、y軸分別交于點A、B，與反比例函數(shù)y=k1x（k為常數(shù)，且k>0）在第一象限的圖象交于點E、F。過點E作EM⊥y軸于M，過點F作FN⊥x軸于N，直線EM與FN交于點C。若BE1BF=11m（m為大于1的常數(shù)）。記△OEF的面積為S1，△CEF的面積為S2，則S11S2=。（用含m的代數(shù)式表示）

分析確定出E、F、C的坐標是解題的關(guān)鍵.

解過點F作FD⊥y軸，垂足為點D，則BD∥EM，所以△BEM∽△BFD，所以ME1FD=BE1BF，因為BE1BF=11m，所以ME1FD=11m，設(shè)ME=a，則DF=ma，因為反比例函數(shù)y=k1x在第一象限的圖像經(jīng)過點E、F，所以點E的縱坐標為k1a，點F的縱坐標為k1am，所以直線OE的比例系數(shù)k1=k1a2，直線OF的比例系數(shù)k2=k1a2m2，反比例函數(shù)的系數(shù)k，三角形OEF的面積為S1，根據(jù)k=2Sk1k21k1-k2得k=2×S1×k1a2×k1a2m21k1a2-k1a2m2，所以S1=（m2-1）k12m.

因為FC=CN-FN=k1a-k1am=（m-1）k1am，EC=CM-EM=ma-a=（m-1）a，所以△CEF的面積為S2=112×FC×EC=112×（m-1）k1am×（m-1）a=（m-1）2k12m，所以S11S2=（m2-1）k12m÷（m-1）2k12m=m+11m-1.endprint

圖1結(jié)論如圖1，正比例函數(shù)y1=k1x，y2=k2x（k1>k2>0）與反比例函數(shù)y3=k1x（k>0）的圖像在第一象限內(nèi)分別交于點A和點B，設(shè)直線AB的解析式為y=k0x+b，△OAB的面積為S。則k=2Sk1k21k1-k2，k0=-k1·k2.

證明如圖1，過點A作AC⊥x軸，垂足為C點，過點B作BD⊥x軸，垂足為D點，設(shè)點A（a，k1a），點B（m，k2m），其中a>0，m>0，因為點A，點B都在反比例函數(shù)y3=k1x（k>0）的圖像上，則AC=k1a，BD=k2m，k1a2=k，k2m2=k，所以a=k1k1，m=k1k2，所以S△AOC=S△BOD=112|k|。所以S△AOE+S△OCE=S△OCE+S四邊形BECD，所以S△AOE=S四邊形BECD，所以S△AOB=S四邊形ACDB。因為DC=m-a=k1k2-k1k1，所以S四邊形ACDB=112（AC+BD）×CD=112（k1·k1k1+k2·k1k2）×（k1k2-k1k1）=112（k1+k2）k×（k1-k21k1k2）×k=112（k1-k2）×k1k1k2，所以k=2Sk1k21k1-k2.

因為點A（a，k1a），點B（m，k2m）在直線y=k0x+b上，所以k0a+b=k1a，

k0m+b=k2m。所以k0（m-a）=（k2m-k1a），所以k0=（k2m-k1a）÷（m-a）=（k2·k1k2-k1·k1k1）÷（k1k2-k1k1）=（k2-k1）×k÷（k1-k2）×k1k1k2=-k1·k2.

下面談?wù)勥@個結(jié)論的應(yīng)用。

圖2例1如圖2，已知反比例函數(shù)y=k1x（k>0）的圖象經(jīng)過點（112，8），直線y=-x+b經(jīng)過該反比例函數(shù)圖象上的點Q（4，m）.

（1）求上述反比例函數(shù)和直線的函數(shù)表達式；

（2）設(shè)該直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，與反比例函數(shù)圖象的另一個交點為P，連結(jié)OP、OQ，求△OPQ的面積.

分析要想用結(jié)論求△POQ的面積需要確定出直線OP的比例系數(shù)，直線OQ的比例系數(shù)，反比例函數(shù)的比例系數(shù).

解（1）反比例函數(shù)y=k1x（k>0）的圖象經(jīng)過點（112，8），所以k=112×8=4，所以反比例函數(shù)的解析式為y=41x；點Q是反比例函數(shù)和直線y=-x+b的交點，所以m=1，所以點Q的坐標是（4，1），所以1=-4+b即b=5，所以直線的解析式為y=-x+5.

（2）因為直線y=-x+5與反比例函數(shù)y=41x相交，所以-x+5=41x，整理得x2-5x+4=0，解得x=1或x=4，所以點P的坐標為（1，4），因為正比例函數(shù)OP經(jīng)過點點（1，4），所以k1=4，因為正比例函數(shù)OQ經(jīng)過點點（4，1），所以k2=114，反比例函數(shù)的系數(shù)k=4，根據(jù)k=2Sk1k21k1-k2得4=2×S×4×11414-114，所以S=1512，所以△OPQ的面積為1512.

例2如圖3，直線l與反比例函數(shù)y=21x的圖像在第一象限內(nèi)交于A，B兩點，與x軸的正半軸交于點C，若AB∶BC=（m-1）∶1（m>1），則三角形OAB的面積（用m表示）為.

圖3分析借助比例線段，反比例函數(shù)的解析式，利用含m的代數(shù)式分別表示出點A、點B的坐標，從而確定直線OA，直線OB的比例系數(shù)，后根據(jù)公式即可完成問題的求解.

解過點A作AD⊥x軸，垂足為點D，過點B作BE⊥x軸，垂足為點E，則AD∥BE，所以△BCE∽△ACD，所以BE1AD=BC1CA，因為BC1AB=11m-1，所以BC1CA=11m，所以BE1AD=11m，設(shè)BE=a，則AD=ma，因為反比例函數(shù)y=k1x在第一象限的圖像經(jīng)過點A、B，所以點A的橫坐標為21am，點C的橫坐標為21a，所以直線OA的比例系數(shù)k1=a2m212，直線OC的比例系數(shù)k2=a212，反比例函數(shù)的系數(shù)k=2，根據(jù)k=2Sk1k21k1-k2得：2=2×S×a2m212×a2121a2m212-a212=2×S×a2m121（m2-1）×a212=2×S×m1m2-1，所以S=m2-11m.

圖4例3如圖4，雙曲線y=k1x經(jīng)過Rt△OMN斜邊上的點A，與直角邊MN相交于點B，已知OA=2AN，△OAB的面積為5，則k的值是.

分析借助比例線段，反比例函數(shù)的解析式，巧妙引入未知數(shù)a，并用a的代數(shù)式分別表示出點A，點B的坐標，從而確定直線OA，直線OB的比例系數(shù)，后根據(jù)公式即可完成問題的求解.

解過點A作AD⊥x軸，垂足為點D，則AD∥BM，所以△OAD∽△ONM，所以O(shè)D1OM=OA1ON，因為OA=2AN，所以O(shè)A1ON=213，所以O(shè)D1OM=213，設(shè)OD=2a，則OM=3a，因為反比例函數(shù)y=k1x在第一象限的圖像經(jīng)過點A、B，所以點A的縱坐標為k12a，點B的縱坐標為k13a，所以直線OA的比例系數(shù)k1=k14a2，直線OC的比例系數(shù)k2=k19a2，反比例函數(shù)的系數(shù)k，S=5，根據(jù)k=2Sk1k21k1-k2得

k=2×5×k14a2×k19a21k14a2-k19a2=2×5×k1（2×3）a215a2k136a4=12.

圖5例4如圖5，在平面直角坐標系xOy中，直線AB與x軸、y軸分別交于點A、B，與反比例函數(shù)y=k1x（k為常數(shù)，且k>0）在第一象限的圖象交于點E、F。過點E作EM⊥y軸于M，過點F作FN⊥x軸于N，直線EM與FN交于點C。若BE1BF=11m（m為大于1的常數(shù)）。記△OEF的面積為S1，△CEF的面積為S2，則S11S2=。（用含m的代數(shù)式表示）

分析確定出E、F、C的坐標是解題的關(guān)鍵.

解過點F作FD⊥y軸，垂足為點D，則BD∥EM，所以△BEM∽△BFD，所以ME1FD=BE1BF，因為BE1BF=11m，所以ME1FD=11m，設(shè)ME=a，則DF=ma，因為反比例函數(shù)y=k1x在第一象限的圖像經(jīng)過點E、F，所以點E的縱坐標為k1a，點F的縱坐標為k1am，所以直線OE的比例系數(shù)k1=k1a2，直線OF的比例系數(shù)k2=k1a2m2，反比例函數(shù)的系數(shù)k，三角形OEF的面積為S1，根據(jù)k=2Sk1k21k1-k2得k=2×S1×k1a2×k1a2m21k1a2-k1a2m2，所以S1=（m2-1）k12m.

因為FC=CN-FN=k1a-k1am=（m-1）k1am，EC=CM-EM=ma-a=（m-1）a，所以△CEF的面積為S2=112×FC×EC=112×（m-1）k1am×（m-1）a=（m-1）2k12m，所以S11S2=（m2-1）k12m÷（m-1）2k12m=m+11m-1.endprint

圖1結(jié)論如圖1，正比例函數(shù)y1=k1x，y2=k2x（k1>k2>0）與反比例函數(shù)y3=k1x（k>0）的圖像在第一象限內(nèi)分別交于點A和點B，設(shè)直線AB的解析式為y=k0x+b，△OAB的面積為S。則k=2Sk1k21k1-k2，k0=-k1·k2.

證明如圖1，過點A作AC⊥x軸，垂足為C點，過點B作BD⊥x軸，垂足為D點，設(shè)點A（a，k1a），點B（m，k2m），其中a>0，m>0，因為點A，點B都在反比例函數(shù)y3=k1x（k>0）的圖像上，則AC=k1a，BD=k2m，k1a2=k，k2m2=k，所以a=k1k1，m=k1k2，所以S△AOC=S△BOD=112|k|。所以S△AOE+S△OCE=S△OCE+S四邊形BECD，所以S△AOE=S四邊形BECD，所以S△AOB=S四邊形ACDB。因為DC=m-a=k1k2-k1k1，所以S四邊形ACDB=112（AC+BD）×CD=112（k1·k1k1+k2·k1k2）×（k1k2-k1k1）=112（k1+k2）k×（k1-k21k1k2）×k=112（k1-k2）×k1k1k2，所以k=2Sk1k21k1-k2.

因為點A（a，k1a），點B（m，k2m）在直線y=k0x+b上，所以k0a+b=k1a，

k0m+b=k2m。所以k0（m-a）=（k2m-k1a），所以k0=（k2m-k1a）÷（m-a）=（k2·k1k2-k1·k1k1）÷（k1k2-k1k1）=（k2-k1）×k÷（k1-k2）×k1k1k2=-k1·k2.

下面談?wù)勥@個結(jié)論的應(yīng)用。

圖2例1如圖2，已知反比例函數(shù)y=k1x（k>0）的圖象經(jīng)過點（112，8），直線y=-x+b經(jīng)過該反比例函數(shù)圖象上的點Q（4，m）.

（1）求上述反比例函數(shù)和直線的函數(shù)表達式；

（2）設(shè)該直線與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，與反比例函數(shù)圖象的另一個交點為P，連結(jié)OP、OQ，求△OPQ的面積.

分析要想用結(jié)論求△POQ的面積需要確定出直線OP的比例系數(shù)，直線OQ的比例系數(shù)，反比例函數(shù)的比例系數(shù).

解（1）反比例函數(shù)y=k1x（k>0）的圖象經(jīng)過點（112，8），所以k=112×8=4，所以反比例函數(shù)的解析式為y=41x；點Q是反比例函數(shù)和直線y=-x+b的交點，所以m=1，所以點Q的坐標是（4，1），所以1=-4+b即b=5，所以直線的解析式為y=-x+5.

（2）因為直線y=-x+5與反比例函數(shù)y=41x相交，所以-x+5=41x，整理得x2-5x+4=0，解得x=1或x=4，所以點P的坐標為（1，4），因為正比例函數(shù)OP經(jīng)過點點（1，4），所以k1=4，因為正比例函數(shù)OQ經(jīng)過點點（4，1），所以k2=114，反比例函數(shù)的系數(shù)k=4，根據(jù)k=2Sk1k21k1-k2得4=2×S×4×11414-114，所以S=1512，所以△OPQ的面積為1512.

例2如圖3，直線l與反比例函數(shù)y=21x的圖像在第一象限內(nèi)交于A，B兩點，與x軸的正半軸交于點C，若AB∶BC=（m-1）∶1（m>1），則三角形OAB的面積（用m表示）為.

圖3分析借助比例線段，反比例函數(shù)的解析式，利用含m的代數(shù)式分別表示出點A、點B的坐標，從而確定直線OA，直線OB的比例系數(shù)，后根據(jù)公式即可完成問題的求解.

解過點A作AD⊥x軸，垂足為點D，過點B作BE⊥x軸，垂足為點E，則AD∥BE，所以△BCE∽△ACD，所以BE1AD=BC1CA，因為BC1AB=11m-1，所以BC1CA=11m，所以BE1AD=11m，設(shè)BE=a，則AD=ma，因為反比例函數(shù)y=k1x在第一象限的圖像經(jīng)過點A、B，所以點A的橫坐標為21am，點C的橫坐標為21a，所以直線OA的比例系數(shù)k1=a2m212，直線OC的比例系數(shù)k2=a212，反比例函數(shù)的系數(shù)k=2，根據(jù)k=2Sk1k21k1-k2得：2=2×S×a2m212×a2121a2m212-a212=2×S×a2m121（m2-1）×a212=2×S×m1m2-1，所以S=m2-11m.

圖4例3如圖4，雙曲線y=k1x經(jīng)過Rt△OMN斜邊上的點A，與直角邊MN相交于點B，已知OA=2AN，△OAB的面積為5，則k的值是.

分析借助比例線段，反比例函數(shù)的解析式，巧妙引入未知數(shù)a，并用a的代數(shù)式分別表示出點A，點B的坐標，從而確定直線OA，直線OB的比例系數(shù)，后根據(jù)公式即可完成問題的求解.

解過點A作AD⊥x軸，垂足為點D，則AD∥BM，所以△OAD∽△ONM，所以O(shè)D1OM=OA1ON，因為OA=2AN，所以O(shè)A1ON=213，所以O(shè)D1OM=213，設(shè)OD=2a，則OM=3a，因為反比例函數(shù)y=k1x在第一象限的圖像經(jīng)過點A、B，所以點A的縱坐標為k12a，點B的縱坐標為k13a，所以直線OA的比例系數(shù)k1=k14a2，直線OC的比例系數(shù)k2=k19a2，反比例函數(shù)的系數(shù)k，S=5，根據(jù)k=2Sk1k21k1-k2得

k=2×5×k14a2×k19a21k14a2-k19a2=2×5×k1（2×3）a215a2k136a4=12.

圖5例4如圖5，在平面直角坐標系xOy中，直線AB與x軸、y軸分別交于點A、B，與反比例函數(shù)y=k1x（k為常數(shù)，且k>0）在第一象限的圖象交于點E、F。過點E作EM⊥y軸于M，過點F作FN⊥x軸于N，直線EM與FN交于點C。若BE1BF=11m（m為大于1的常數(shù)）。記△OEF的面積為S1，△CEF的面積為S2，則S11S2=。（用含m的代數(shù)式表示）

分析確定出E、F、C的坐標是解題的關(guān)鍵.

解過點F作FD⊥y軸，垂足為點D，則BD∥EM，所以△BEM∽△BFD，所以ME1FD=BE1BF，因為BE1BF=11m，所以ME1FD=11m，設(shè)ME=a，則DF=ma，因為反比例函數(shù)y=k1x在第一象限的圖像經(jīng)過點E、F，所以點E的縱坐標為k1a，點F的縱坐標為k1am，所以直線OE的比例系數(shù)k1=k1a2，直線OF的比例系數(shù)k2=k1a2m2，反比例函數(shù)的系數(shù)k，三角形OEF的面積為S1，根據(jù)k=2Sk1k21k1-k2得k=2×S1×k1a2×k1a2m21k1a2-k1a2m2，所以S1=（m2-1）k12m.

因為FC=CN-FN=k1a-k1am=（m-1）k1am，EC=CM-EM=ma-a=（m-1）a，所以△CEF的面積為S2=112×FC×EC=112×（m-1）k1am×（m-1）a=（m-1）2k12m，所以S11S2=（m2-1）k12m÷（m-1）2k12m=m+11m-1.endprint