平行四邊形的一條性質及其應用

左效平

平行四邊形是一種比較特殊的四邊形，其特殊性決定了它的一條特殊性質，利用這條性質，可以幫助我們靈活解題.

性質平行四邊形一邊上的一點與對邊兩個端點構成的三角形的面積等于平行四邊形面積的一半.

圖1如圖1，點E是ABCD的邊AB上的一點，連接ED、EC，設三角形EDC的面積為S△EDC，ABCD的面積為SABCD.

求證：S△EDC=112SABCD.

證明如圖1，過點E作EF⊥DC，垂足為F，所以EF既是平行四邊形ABCD的高，也是△EDC的高。

所以SABCD=DC×EF，S△EDC=112×DC×EF，

所以S△EDC=112SABCD.

推論點E是ABCD的邊AB上的一點，連接ED，EC，設△EDC的面積為S1，△ADE的面積為S2，△CBE的面積為S3，則S1=S2+S3.

證明：由性質得：S1=112SABCD，所以S2+S3=112SABCD，所以S1=S2+S3.

此性質和結論可以直接引申到矩形，菱形，正方形中加以應用.

下面舉例說明性質和推論的具體應用.

1平行四邊形中，判斷四個三角形面積之間的關系

圖2例1如圖2，點P是ABCD內(nèi)一點，連接PA，PB，PC，PD，設△PAB的面積為S1，△PBC的面積為S2，△PCD的面積為S3，△PAD的面積為S4，則下面結論一定正確的是（）

A。S1+S2=S3+S4B。S1+S3=S2+S4

C。S1S2=S3S4D。S1S3=S2S4

分析過點P作AB的平行線，從而將點P置于平行四邊形的一邊上，利用推論問題就順利得證.

解如圖2，過點P作EF，使得EF∥AB，交AD于點E，交BC于點F，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB∥CD，AE∥BF，所以EF∥CD，所以四邊形ABFE是平行四邊形，四邊形CDEF是平行四邊形，所以S1=S△PBF+S△PAE，S3=S△PFC+S△PED，

所以S1+S3=S△PBF+S△PAE+S△PFC+S△PED。

因為S△PBF+S△PFC=S2，S△PAE+S△PED=S4，所以S2+S4=S△PBF+S△PAE+S△PFC+S△PED，所以S1+S3=S2+S4，所以選B.

2矩形中，判斷兩個矩形面積之間的關系

例2如圖3，四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個矩形，點B在EF邊上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別是S1，S2，則S1，S2的大小關系是

A。S1=S2B。S1=S2

C。S1

圖3分析觀察圖形特點知道，兩個矩形有一個公共部分，這就是△ABC，有性質，知道矩形ABCD的面積等于△ABC面積的2倍，矩形AEFC的面積等于△ABC面積的2倍，所以可以判斷兩個矩形面積的大小關系.

解設△ABC的面積為S，因為四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個矩形，所以S=112×AB×BC=112×AC×AE，S1=AB×BC，S2=AC×AE，所以S1=2S，S2=2S，所以S1=S2，所以選擇B.

3正方形中，判斷兩個正方形重疊部分的面積與一個正方形面積之間的關系

例3已知正方形ABCD對角線交于點O，正方形OEFP的大小與正方形ABCD相同，設正方形ABCD的面積為S，四邊形OMDN的面積為S1，則S11S=.

圖4分析如圖4，過點O作GH∥DC，交AD于點H，交BC于點G，易證四邊形DHGC是矩形，由O是正方形對角線的交點，知道直線GH是正方形的一條對稱軸，所以矩形DHGC的面積是正方形ABCD面積的一半。連接OD，OC，易得△DOC的面積等于矩形DHGC面積的一半，所以△DOC的面積等于正方形ABCD面積的114。利用正方形的性質易證△DOM≌△CON，所以四邊形OMDN的面積為S1等于△DOC的面積，因此S11S=114。所以應該填114.

4梯形中，判斷三角形的面積與梯形面積之間的關系

例4如圖5，梯形ABCD中，AB∥CD，點E是梯形BC的中點，連接AE，DE，設△ADE的面積為S1，梯形ABCD的面積為S。求證：S1=112S.

分析過點E作GH∥AD，交AB的延長線于點G，交DC于點H，易證四邊形AGHD是一個平行四邊形，為性質得應用奠定基礎.

證明過點E作GH∥AD，交AB的延長線于點G，交DC于點H，因為GH∥AD，AG∥DH，

所以四邊形AGHD是平行四邊形。所以S1=112SAGHD。因為點E是BC的中點，所以BE=EC，因為AG∥DH，所以∠G=∠EHC，∠GBE=∠C，所以△BGE≌△CHE，所以SAGHD=S，所以S1=112S.

圖5圖6例5如圖6所示，已知EF是梯形ABCD的中位線，△DEF的面積為4cm2，則梯形ABCD的面積為cm2.

分析如圖6，連接EC，根據(jù)例4的結論得到：梯形ABCD的面積等于2倍△DEC的面積；由EF是梯形ABCD的中位線，所以△DEF和△CEF是兩個等底同高的三角形，所以它們的面積是相等的，即S△DEC=2S△DEF，因此，梯形ABCD的面積等于4倍△DEF的面積，因為△DEF的面積為4cm2，所以梯形ABCD的面積為16.所以應填16cm2.

平行四邊形是一種比較特殊的四邊形，其特殊性決定了它的一條特殊性質，利用這條性質，可以幫助我們靈活解題.

性質平行四邊形一邊上的一點與對邊兩個端點構成的三角形的面積等于平行四邊形面積的一半.

圖1如圖1，點E是ABCD的邊AB上的一點，連接ED、EC，設三角形EDC的面積為S△EDC，ABCD的面積為SABCD.

求證：S△EDC=112SABCD.

證明如圖1，過點E作EF⊥DC，垂足為F，所以EF既是平行四邊形ABCD的高，也是△EDC的高。

所以SABCD=DC×EF，S△EDC=112×DC×EF，

所以S△EDC=112SABCD.

推論點E是ABCD的邊AB上的一點，連接ED，EC，設△EDC的面積為S1，△ADE的面積為S2，△CBE的面積為S3，則S1=S2+S3.

證明：由性質得：S1=112SABCD，所以S2+S3=112SABCD，所以S1=S2+S3.

此性質和結論可以直接引申到矩形，菱形，正方形中加以應用.

下面舉例說明性質和推論的具體應用.

1平行四邊形中，判斷四個三角形面積之間的關系

圖2例1如圖2，點P是ABCD內(nèi)一點，連接PA，PB，PC，PD，設△PAB的面積為S1，△PBC的面積為S2，△PCD的面積為S3，△PAD的面積為S4，則下面結論一定正確的是（）

A。S1+S2=S3+S4B。S1+S3=S2+S4

C。S1S2=S3S4D。S1S3=S2S4

分析過點P作AB的平行線，從而將點P置于平行四邊形的一邊上，利用推論問題就順利得證.

解如圖2，過點P作EF，使得EF∥AB，交AD于點E，交BC于點F，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB∥CD，AE∥BF，所以EF∥CD，所以四邊形ABFE是平行四邊形，四邊形CDEF是平行四邊形，所以S1=S△PBF+S△PAE，S3=S△PFC+S△PED，

所以S1+S3=S△PBF+S△PAE+S△PFC+S△PED。

因為S△PBF+S△PFC=S2，S△PAE+S△PED=S4，所以S2+S4=S△PBF+S△PAE+S△PFC+S△PED，所以S1+S3=S2+S4，所以選B.

2矩形中，判斷兩個矩形面積之間的關系

例2如圖3，四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個矩形，點B在EF邊上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別是S1，S2，則S1，S2的大小關系是

A。S1=S2B。S1=S2

C。S1

圖3分析觀察圖形特點知道，兩個矩形有一個公共部分，這就是△ABC，有性質，知道矩形ABCD的面積等于△ABC面積的2倍，矩形AEFC的面積等于△ABC面積的2倍，所以可以判斷兩個矩形面積的大小關系.

解設△ABC的面積為S，因為四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個矩形，所以S=112×AB×BC=112×AC×AE，S1=AB×BC，S2=AC×AE，所以S1=2S，S2=2S，所以S1=S2，所以選擇B.

3正方形中，判斷兩個正方形重疊部分的面積與一個正方形面積之間的關系

例3已知正方形ABCD對角線交于點O，正方形OEFP的大小與正方形ABCD相同，設正方形ABCD的面積為S，四邊形OMDN的面積為S1，則S11S=.

圖4分析如圖4，過點O作GH∥DC，交AD于點H，交BC于點G，易證四邊形DHGC是矩形，由O是正方形對角線的交點，知道直線GH是正方形的一條對稱軸，所以矩形DHGC的面積是正方形ABCD面積的一半。連接OD，OC，易得△DOC的面積等于矩形DHGC面積的一半，所以△DOC的面積等于正方形ABCD面積的114。利用正方形的性質易證△DOM≌△CON，所以四邊形OMDN的面積為S1等于△DOC的面積，因此S11S=114。所以應該填114.

4梯形中，判斷三角形的面積與梯形面積之間的關系

例4如圖5，梯形ABCD中，AB∥CD，點E是梯形BC的中點，連接AE，DE，設△ADE的面積為S1，梯形ABCD的面積為S。求證：S1=112S.

分析過點E作GH∥AD，交AB的延長線于點G，交DC于點H，易證四邊形AGHD是一個平行四邊形，為性質得應用奠定基礎.

證明過點E作GH∥AD，交AB的延長線于點G，交DC于點H，因為GH∥AD，AG∥DH，

所以四邊形AGHD是平行四邊形。所以S1=112SAGHD。因為點E是BC的中點，所以BE=EC，因為AG∥DH，所以∠G=∠EHC，∠GBE=∠C，所以△BGE≌△CHE，所以SAGHD=S，所以S1=112S.

圖5圖6例5如圖6所示，已知EF是梯形ABCD的中位線，△DEF的面積為4cm2，則梯形ABCD的面積為cm2.

分析如圖6，連接EC，根據(jù)例4的結論得到：梯形ABCD的面積等于2倍△DEC的面積；由EF是梯形ABCD的中位線，所以△DEF和△CEF是兩個等底同高的三角形，所以它們的面積是相等的，即S△DEC=2S△DEF，因此，梯形ABCD的面積等于4倍△DEF的面積，因為△DEF的面積為4cm2，所以梯形ABCD的面積為16.所以應填16cm2.

平行四邊形是一種比較特殊的四邊形，其特殊性決定了它的一條特殊性質，利用這條性質，可以幫助我們靈活解題.

性質平行四邊形一邊上的一點與對邊兩個端點構成的三角形的面積等于平行四邊形面積的一半.

圖1如圖1，點E是ABCD的邊AB上的一點，連接ED、EC，設三角形EDC的面積為S△EDC，ABCD的面積為SABCD.

求證：S△EDC=112SABCD.

證明如圖1，過點E作EF⊥DC，垂足為F，所以EF既是平行四邊形ABCD的高，也是△EDC的高。

所以SABCD=DC×EF，S△EDC=112×DC×EF，

所以S△EDC=112SABCD.

推論點E是ABCD的邊AB上的一點，連接ED，EC，設△EDC的面積為S1，△ADE的面積為S2，△CBE的面積為S3，則S1=S2+S3.

證明：由性質得：S1=112SABCD，所以S2+S3=112SABCD，所以S1=S2+S3.

此性質和結論可以直接引申到矩形，菱形，正方形中加以應用.

下面舉例說明性質和推論的具體應用.

1平行四邊形中，判斷四個三角形面積之間的關系

圖2例1如圖2，點P是ABCD內(nèi)一點，連接PA，PB，PC，PD，設△PAB的面積為S1，△PBC的面積為S2，△PCD的面積為S3，△PAD的面積為S4，則下面結論一定正確的是（）

A。S1+S2=S3+S4B。S1+S3=S2+S4

C。S1S2=S3S4D。S1S3=S2S4

分析過點P作AB的平行線，從而將點P置于平行四邊形的一邊上，利用推論問題就順利得證.

解如圖2，過點P作EF，使得EF∥AB，交AD于點E，交BC于點F，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB∥CD，AE∥BF，所以EF∥CD，所以四邊形ABFE是平行四邊形，四邊形CDEF是平行四邊形，所以S1=S△PBF+S△PAE，S3=S△PFC+S△PED，

所以S1+S3=S△PBF+S△PAE+S△PFC+S△PED。

因為S△PBF+S△PFC=S2，S△PAE+S△PED=S4，所以S2+S4=S△PBF+S△PAE+S△PFC+S△PED，所以S1+S3=S2+S4，所以選B.

2矩形中，判斷兩個矩形面積之間的關系

例2如圖3，四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個矩形，點B在EF邊上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別是S1，S2，則S1，S2的大小關系是

A。S1=S2B。S1=S2

C。S1

圖3分析觀察圖形特點知道，兩個矩形有一個公共部分，這就是△ABC，有性質，知道矩形ABCD的面積等于△ABC面積的2倍，矩形AEFC的面積等于△ABC面積的2倍，所以可以判斷兩個矩形面積的大小關系.

解設△ABC的面積為S，因為四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個矩形，所以S=112×AB×BC=112×AC×AE，S1=AB×BC，S2=AC×AE，所以S1=2S，S2=2S，所以S1=S2，所以選擇B.

3正方形中，判斷兩個正方形重疊部分的面積與一個正方形面積之間的關系

例3已知正方形ABCD對角線交于點O，正方形OEFP的大小與正方形ABCD相同，設正方形ABCD的面積為S，四邊形OMDN的面積為S1，則S11S=.

圖4分析如圖4，過點O作GH∥DC，交AD于點H，交BC于點G，易證四邊形DHGC是矩形，由O是正方形對角線的交點，知道直線GH是正方形的一條對稱軸，所以矩形DHGC的面積是正方形ABCD面積的一半。連接OD，OC，易得△DOC的面積等于矩形DHGC面積的一半，所以△DOC的面積等于正方形ABCD面積的114。利用正方形的性質易證△DOM≌△CON，所以四邊形OMDN的面積為S1等于△DOC的面積，因此S11S=114。所以應該填114.

4梯形中，判斷三角形的面積與梯形面積之間的關系

例4如圖5，梯形ABCD中，AB∥CD，點E是梯形BC的中點，連接AE，DE，設△ADE的面積為S1，梯形ABCD的面積為S。求證：S1=112S.

分析過點E作GH∥AD，交AB的延長線于點G，交DC于點H，易證四邊形AGHD是一個平行四邊形，為性質得應用奠定基礎.

證明過點E作GH∥AD，交AB的延長線于點G，交DC于點H，因為GH∥AD，AG∥DH，

所以四邊形AGHD是平行四邊形。所以S1=112SAGHD。因為點E是BC的中點，所以BE=EC，因為AG∥DH，所以∠G=∠EHC，∠GBE=∠C，所以△BGE≌△CHE，所以SAGHD=S，所以S1=112S.

圖5圖6例5如圖6所示，已知EF是梯形ABCD的中位線，△DEF的面積為4cm2，則梯形ABCD的面積為cm2.

分析如圖6，連接EC，根據(jù)例4的結論得到：梯形ABCD的面積等于2倍△DEC的面積；由EF是梯形ABCD的中位線，所以△DEF和△CEF是兩個等底同高的三角形，所以它們的面積是相等的，即S△DEC=2S△DEF，因此，梯形ABCD的面積等于4倍△DEF的面積，因為△DEF的面積為4cm2，所以梯形ABCD的面積為16.所以應填16cm2.