談一道期末練習(xí)題的解法及推廣

題目（北京市豐臺(tái)區(qū)2013～2014學(xué)年度第一學(xué)期期末練習(xí)第15題）定義a☆b=a+b-a-b12。例如，（-1）☆2=-1+2--1-212=-1.

（1）計(jì)算：（-6）☆8=；

（2）從-819，-719，-619，-519，-419，-319，-219，-119，0，119，219，319，419，519，619，719，819中任選兩個(gè)有理數(shù)分別為a，b的值，并計(jì)算a☆b，那么所有運(yùn)算結(jié)果中的最大值是.

（答案：（1）-6；（2）719。）

這道題目難度較大也很新穎（我校是北京市市級(jí)示范中學(xué)，我班是學(xué)校實(shí)驗(yàn)班，全班34人只有3人做全對）。考完后，我對這道題作了一些研究，給出該題第（2）問的三種詳細(xì)解答，還給出其推廣結(jié)論。寫成下文，供讀者鑒賞.

解法1當(dāng)a≥b時(shí)，a☆b=a+b-（a-b）12=b；當(dāng)a

所以，a☆b等于a，b中較小的數(shù).

所以題意即在所給的17個(gè)數(shù)中，先任選兩個(gè)不同的數(shù)，再選出這兩個(gè)數(shù)中的最小數(shù)，最后找出這些“最小數(shù)”中的最大值。可得所求答案是所給的17個(gè)數(shù)中的第二大數(shù)，即719.

解法2由a☆b=a+b-a-b12，知a☆b=b☆a.

在解法1中已得“當(dāng)a≥b時(shí)，a☆b=b”，所以“當(dāng)b≥a時(shí)，a☆b=b☆a=a”.也得a☆b等于a，b中較小的數(shù).

以下解法同解法1.

解法3題意即求a+b-a-b12的最大值（其中a，b是所給17個(gè)數(shù)中的任意兩個(gè)數(shù)），所以a+b應(yīng)盡可能大，a-b應(yīng)盡可能小，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=719，b=819或a=819，b=719時(shí)，a☆b=a+b-a-b12取到最大值，且最大值是719.

由解法1或解法2還可得到以下推廣結(jié)論：

結(jié)論設(shè)a1>a2>…>an（n≥2）.

（1）定義a☆b=a+b-a-b12，從a1，a2，…，an中任選兩個(gè)數(shù)分別為a，b的值，并計(jì)算a☆b，那么把所有的運(yùn)算結(jié)果（重復(fù)的值只寫一次）從大到小排列是a2>a3>…>an；

（2）定義a※b=a+b+a-b12，從a1，a2，…，an中任選兩個(gè)數(shù)分別為a，b的值，并計(jì)算a※b，那么把所有的運(yùn)算結(jié)果（重復(fù)的值只寫一次）從大到小排列是a1>a2>…>an-1.

作者簡介甘超一，北京豐臺(tái)二中學(xué)生。

題目（北京市豐臺(tái)區(qū)2013～2014學(xué)年度第一學(xué)期期末練習(xí)第15題）定義a☆b=a+b-a-b12。例如，（-1）☆2=-1+2--1-212=-1.

（1）計(jì)算：（-6）☆8=；

（2）從-819，-719，-619，-519，-419，-319，-219，-119，0，119，219，319，419，519，619，719，819中任選兩個(gè)有理數(shù)分別為a，b的值，并計(jì)算a☆b，那么所有運(yùn)算結(jié)果中的最大值是.

（答案：（1）-6；（2）719。）

這道題目難度較大也很新穎（我校是北京市市級(jí)示范中學(xué)，我班是學(xué)校實(shí)驗(yàn)班，全班34人只有3人做全對）?？纪旰?，我對這道題作了一些研究，給出該題第（2）問的三種詳細(xì)解答，還給出其推廣結(jié)論。寫成下文，供讀者鑒賞.

解法1當(dāng)a≥b時(shí)，a☆b=a+b-（a-b）12=b；當(dāng)a

所以，a☆b等于a，b中較小的數(shù).

所以題意即在所給的17個(gè)數(shù)中，先任選兩個(gè)不同的數(shù)，再選出這兩個(gè)數(shù)中的最小數(shù)，最后找出這些“最小數(shù)”中的最大值?？傻盟蟠鸢甘撬o的17個(gè)數(shù)中的第二大數(shù)，即719.

解法2由a☆b=a+b-a-b12，知a☆b=b☆a.

在解法1中已得“當(dāng)a≥b時(shí)，a☆b=b”，所以“當(dāng)b≥a時(shí)，a☆b=b☆a=a”.也得a☆b等于a，b中較小的數(shù).

以下解法同解法1.

解法3題意即求a+b-a-b12的最大值（其中a，b是所給17個(gè)數(shù)中的任意兩個(gè)數(shù)），所以a+b應(yīng)盡可能大，a-b應(yīng)盡可能小，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=719，b=819或a=819，b=719時(shí)，a☆b=a+b-a-b12取到最大值，且最大值是719.

由解法1或解法2還可得到以下推廣結(jié)論：

結(jié)論設(shè)a1>a2>…>an（n≥2）.

（1）定義a☆b=a+b-a-b12，從a1，a2，…，an中任選兩個(gè)數(shù)分別為a，b的值，并計(jì)算a☆b，那么把所有的運(yùn)算結(jié)果（重復(fù)的值只寫一次）從大到小排列是a2>a3>…>an；

（2）定義a※b=a+b+a-b12，從a1，a2，…，an中任選兩個(gè)數(shù)分別為a，b的值，并計(jì)算a※b，那么把所有的運(yùn)算結(jié)果（重復(fù)的值只寫一次）從大到小排列是a1>a2>…>an-1.

作者簡介甘超一，北京豐臺(tái)二中學(xué)生。

題目（北京市豐臺(tái)區(qū)2013～2014學(xué)年度第一學(xué)期期末練習(xí)第15題）定義a☆b=a+b-a-b12。例如，（-1）☆2=-1+2--1-212=-1.

（1）計(jì)算：（-6）☆8=；

（2）從-819，-719，-619，-519，-419，-319，-219，-119，0，119，219，319，419，519，619，719，819中任選兩個(gè)有理數(shù)分別為a，b的值，并計(jì)算a☆b，那么所有運(yùn)算結(jié)果中的最大值是.

（答案：（1）-6；（2）719。）

這道題目難度較大也很新穎（我校是北京市市級(jí)示范中學(xué)，我班是學(xué)校實(shí)驗(yàn)班，全班34人只有3人做全對）?？纪旰?，我對這道題作了一些研究，給出該題第（2）問的三種詳細(xì)解答，還給出其推廣結(jié)論。寫成下文，供讀者鑒賞.

解法1當(dāng)a≥b時(shí)，a☆b=a+b-（a-b）12=b；當(dāng)a

所以，a☆b等于a，b中較小的數(shù).

所以題意即在所給的17個(gè)數(shù)中，先任選兩個(gè)不同的數(shù)，再選出這兩個(gè)數(shù)中的最小數(shù)，最后找出這些“最小數(shù)”中的最大值?？傻盟蟠鸢甘撬o的17個(gè)數(shù)中的第二大數(shù)，即719.

解法2由a☆b=a+b-a-b12，知a☆b=b☆a.

在解法1中已得“當(dāng)a≥b時(shí)，a☆b=b”，所以“當(dāng)b≥a時(shí)，a☆b=b☆a=a”.也得a☆b等于a，b中較小的數(shù).

以下解法同解法1.

解法3題意即求a+b-a-b12的最大值（其中a，b是所給17個(gè)數(shù)中的任意兩個(gè)數(shù)），所以a+b應(yīng)盡可能大，a-b應(yīng)盡可能小，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=719，b=819或a=819，b=719時(shí)，a☆b=a+b-a-b12取到最大值，且最大值是719.

由解法1或解法2還可得到以下推廣結(jié)論：

結(jié)論設(shè)a1>a2>…>an（n≥2）.

（1）定義a☆b=a+b-a-b12，從a1，a2，…，an中任選兩個(gè)數(shù)分別為a，b的值，并計(jì)算a☆b，那么把所有的運(yùn)算結(jié)果（重復(fù)的值只寫一次）從大到小排列是a2>a3>…>an；

（2）定義a※b=a+b+a-b12，從a1，a2，…，an中任選兩個(gè)數(shù)分別為a，b的值，并計(jì)算a※b，那么把所有的運(yùn)算結(jié)果（重復(fù)的值只寫一次）從大到小排列是a1>a2>…>an-1.

作者簡介甘超一，北京豐臺(tái)二中學(xué)生。